Solución:

Como $12^{12} = 2^{24} 3^{12}$, $6^6 = 2^6 3^6$ y $8^8 = 2^{24}$, el número $k$ no puede contener primos distintos de $2$ y $3$, así que escribimos $k = 2^a 3^b$. El mínimo común múltiplo de los tres números es entonces $2^{\max(24,\,a)} \, 3^{\max(6,\,b)}$.

Igualarlo a $2^{24} 3^{12}$ exige $\max(24, a) = 24$, es decir $0 \le a \le 24$, y $\max(6, b) = 12$, es decir $b = 12$. Eso da $25$ opciones para $a$ y una para $b$, así que hay $25$ valores de $k$.

Solución:

Las cadenas se desglosan en cuatro condiciones: $x \le 2y$, $2y \le 60$, $y \le 2x$ y $2x \le 60$. Así que $(x, y)$ está en el cuadrado $1 \le x, y \le 30$, y dentro de él debemos evitar $x \gt 2y$ y $y \gt 2x$, que no pueden ocurrir a la vez.

Pares con $y \gt 2x$: para cada $x$ de $1$ a $14$, los valores $y = 2x + 1, \ldots, 30$ funcionan, lo que da $\sum_{x=1}^{14} (30 - 2x)$ $= 420 - 210$ $= 210$ pares. Por la simetría de intercambiar $x$ e $y$, también hay $210$ pares con $x \gt 2y$.

Así que la respuesta es $30 \cdot 30 - 210 - 210 = 480$.

Solución:

Para $x \ge 0$, reescribe la ecuación como $2x(y + 20)$ $= 400 - y^2$ $= (20 - y)(20 + y)$, de modo que $y = -20$ o $y = 20 - 2x$. Para $x \le 0$ se vuelve $2x(y - 20) = -(y - 20)(y + 20)$, de modo que $y = 20$ o $y = -20 - 2x$. Por lo tanto, la gráfica consta de dos rayos horizontales y dos rayos de pendiente $-2$.

Estos rayos acotan un paralelogramo: el lado superior va de $(-20, 20)$ a $(0, 20)$ a lo largo de $y = 20$, el lado inferior de $(0, -20)$ a $(20, -20)$ a lo largo de $y = -20$, y los dos lados inclinados de pendiente $-2$ los conectan.

El paralelogramo tiene base horizontal $20$ y altura $40$ entre las rectas $y = 20$ y $y = -20$, así que su área es $20 \cdot 40 = 800$.

Solución:

Las tres fichas de un jugador tienen suma impar exactamente cuando el jugador tiene un número impar de fichas impares, una o tres. Las nueve fichas incluyen cinco impares y cuatro pares, y la única manera de repartir cinco fichas impares en tres grupos de tamaño uno o tres es $3 + 1 + 1$.

Cuenta los repartos favorables: elige qué jugador recibe tres fichas impares ($3$ formas), elige las fichas impares de ese jugador ($\binom{5}{3} = 10$ formas), da una de las dos fichas impares restantes a cada uno de los otros dos jugadores ($2$ formas), y luego reparte las cuatro fichas pares dos y dos entre esos jugadores ($\binom{4}{2} = 6$ formas), lo que da $3 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 6 = 360$ repartos. El número total de repartos es $\binom{9}{3}\binom{6}{3} = 84 \cdot 20 = 1680$.

La probabilidad es $\frac{360}{1680} = \frac{3}{14}$, así que $m + n = 3 + 14 = 17$.

Solución:

Como $k(k-1)$ es par, $n_k = \frac{k(k-1)}{2}$ es un entero y $\cos\frac{k(k-1)\pi}{2}$ $= \cos(n_k \pi)$ $= (-1)^{n_k}$. La paridad del número triangular $n_k$ depende solo de $k \bmod 4$: es par para $k \equiv 0, 1 \pmod 4$ e impar para $k \equiv 2, 3 \pmod 4$. Así que $A_k = n_k$ cuando $k \equiv 0, 1 \pmod 4$ y $A_k = -n_k$ cuando $k \equiv 2, 3 \pmod 4$.

Agrupa los $80$ términos en $20$ bloques consecutivos de cuatro empezando en $k = 19 \equiv 3 \pmod 4$. Usando $n_{j+1} - n_j = j$, cada bloque con $k \equiv 3 \pmod 4$ se simplifica: $$\begin{aligned} &A_k + A_{k+1} \\ &\quad {}+ A_{k+2} + A_{k+3} \\ &= (n_{k+1} - n_k) \\ &\quad {}- (n_{k+3} - n_{k+2}) \\ &= k - (k + 2) \\ &= -2. \end{aligned}$$

El total es $20 \cdot (-2) = -40$, así que el valor absoluto pedido es $40$.

Solución:

Sea $a = \frac{PA}{AD}$. Como $AQ \parallel DC$, los triángulos $PAQ$ y $PDC$ son semejantes, así que $\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD} = \frac{a}{a+1}$. Como $BC \parallel AD$, es decir $BC \parallel PD$, los triángulos $RBC$ y $RDP$ son semejantes, así que $\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD} = \frac{1}{a+1}$, lo que da $\frac{RC}{PC} = \frac{1}{a+2}$.

Escribiendo $PC = L$, obtenemos $PQ = \frac{a}{a+1}L$, $RC = \frac{L}{a+2}$, y $$\begin{aligned} QR &= L - PQ - RC \\ &= \frac{L}{(a+1)(a+2)}. \end{aligned}$$ Por lo tanto $\frac{PQ}{QR} = a(a+2) = \frac{735}{112} = \frac{105}{16}$, así que $16a^2 + 32a - 105 = 0$, que se factoriza como $(4a - 7)(4a + 15) = 0$, dando $a = \frac{7}{4}$.

Finalmente $RC = (a + 1)\,QR$ $= \frac{11}{4} \cdot 112$ $= 308$.

Solución:

Escribe $x_i = 2y_i - 1$, donde cada $y_i$ es un entero positivo. Entonces $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98$ se vuelve $2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) - 4 = 98$, así que $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 51$.

Por estrellas y barras, el número de soluciones en enteros positivos es $\binom{50}{3} = 19600$. Por lo tanto $\frac{n}{100} = 196$.

Solución:

Calculando términos, $a_3 = 1000 - x$, $a_4 = 2x - 1000$, $a_5 = 2000 - 3x$, $a_6 = 5x - 3000$, y en general $$\begin{aligned} a_{2k+1} &= 1000 F_{2k-1} - x F_{2k}, \\ a_{2k+2} &= x F_{2k+1} - 1000 F_{2k}, \end{aligned}$$ donde $F_1 = F_2 = 1$, $F_3 = 2, \ldots$ son los números de Fibonacci. La sucesión continúa exactamente mientras sus términos permanezcan no negativos, así que una sucesión larga requiere que $\frac{x}{1000}$ quede encajado entre las razones $\frac{F_{2k}}{F_{2k+1}}$ y $\frac{F_{2k-1}}{F_{2k}}$ para $k$ cada vez mayores.

Para que los primeros $13$ términos sean no negativos necesitamos $a_{12} = 89x - 55000 \ge 0$ y $a_{13} = 89000 - 144x \ge 0$, es decir $617.9\ldots \le x \le 618.05\ldots$, así que $x = 618$. Si $x \le 617$, la sucesión se vuelve negativa en $a_{12}$, y si $x \ge 619$ se vuelve negativa en $a_{13}$, así que cualquier otro entero da una sucesión más corta.

En efecto, $x = 618$ produce $1000, 618, 382, 236, 146$, $90, 56, 34, 22, 12$, $10, 2, 8, -6$, una sucesión de $14$ términos, la máxima posible. La respuesta es $618$.

Solución:

Sean los tiempos de llegada $x$ e $y$ minutos después de las 9 a.m., de modo que $(x, y)$ es uniforme en un cuadrado $60 \times 60$. Las dos personas se encuentran exactamente cuando $|x - y| \lt m$.

La región de no encuentro $|x - y| \ge m$ consta de dos triángulos rectángulos con catetos $60 - m$, con área total $(60 - m)^2$. Encontrarse con probabilidad $40\%$ significa $$(60 - m)^2 = 0.6 \cdot 3600 = 2160,$$ así que $60 - m = \sqrt{2160} = 12\sqrt{15}$.

Por lo tanto $m = 60 - 12\sqrt{15}$, y $a + b + c = 60 + 12 + 15 = 87$.

Solución:

Los ocho centros están a altura $100$, en los vértices de un octágono regular de lado $200$ (las esferas adyacentes son tangentes). Si la novena esfera tiene radio $r$, descansa sobre la superficie con su centro a altura $r$ directamente sobre el centro del octágono, y la tangencia con cada esfera da $\sqrt{R^2 + (r - 100)^2} = r + 100$, donde $R$ es el circunradio del octágono. Por lo tanto $$\begin{aligned} R^2 &= (r + 100)^2 - (r - 100)^2 \\ &= 400r. \end{aligned}$$

Un lado de un octágono regular subtiende $45^\circ$ en el centro, así que $200 = 2R \sin 22.5^\circ$ y, usando $\sin^2 22.5^\circ = \frac{1 - \cos 45^\circ}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$, $$\begin{aligned} R^2 &= \frac{10000}{\sin^2 22.5^\circ} \\ &= \frac{40000}{2 - \sqrt{2}} \\ &= 20000\,(2 + \sqrt{2}). \end{aligned}$$

Entonces $r = \frac{R^2}{400}$ $= 50\,(2 + \sqrt{2})$ $= 100 + 50\sqrt{2}$, así que $a + b + c = 100 + 50 + 2 = 152$.

Solución:

El cubo tiene lado $20$. Toma $B = (0,0,0)$, $A = (20,0,0)$, $C = (0,20,0)$ y $D = (0,20,20)$, de modo que $\overline{AD}$ es una diagonal interior. Entonces $P = (15, 0, 0)$, $Q = (0, 15, 0)$, $R = (0, 20, 10)$, y el plano que pasa por ellos es $2x + 2y - z = 30$.

Evaluando $2x + 2y - z$ en los vértices del cubo y comprobando las doce aristas, el plano también cruza las aristas en $(5, 20, 20)$, $(20, 5, 20)$ y $(20, 0, 10)$, así que la sección transversal es el hexágono con vértices $(15,0,0)$, $(0,15,0)$, $(0,20,10)$, $(5,20,20)$, $(20,5,20)$, $(20,0,10)$ en orden. Su proyección sobre el plano $xy$ es el hexágono $(15,0)$, $(0,15)$, $(0,20)$, $(5,20)$, $(20,5)$, $(20,0)$, cuya área por la fórmula del cordón de zapato es $175$.

El vector normal unitario del plano $\frac{1}{3}(2, 2, -1)$ tiene componente vertical de magnitud $\frac{1}{3}$, así que proyectar sobre el plano $xy$ multiplica el área por $\frac{1}{3}$. Por lo tanto, la sección transversal tiene área $3 \cdot 175 = 525$.