Question

Melinda tiene tres cajas vacías y $12$ libros de texto, tres de los cuales son de matemáticas. Una caja contendrá tres cualesquiera de sus libros, otra contendrá cuatro cualesquiera, y otra contendrá cinco cualesquiera. Si Melinda empaca sus libros en estas cajas en orden aleatorio, la probabilidad de que los tres libros de matemáticas terminen en la misma caja puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Melinda has three empty boxes and $12$ textbooks, three of which are mathematics textbooks. One box will hold any three of her textbooks, one will hold any four of her textbooks, and one will hold any five of her textbooks. If Melinda packs her textbooks into these boxes in random order, the probability that all three mathematics textbooks end up in the same box can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Concéntrate en una caja a la vez. La caja de $k$ libros recibe un subconjunto de $k$ elementos elegido uniformemente al azar entre los $12$ libros, así que la probabilidad de que contenga los tres libros de matemáticas es $\binom{9}{k-3}\big/\binom{12}{k}.$ Para $k = 3, 4, 5$ esto da $\frac{1}{220},$ $\frac{9}{495} = \frac{1}{55},$ y $\frac{36}{792} = \frac{1}{22}.$

Los eventos son disjuntos, así que la probabilidad total es $\begin{aligned} \frac{1}{220} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22} &= \frac{1 + 4 + 10}{220} \\ &= \frac{15}{220} = \frac{3}{44}, \end{aligned}$ y $m + n = 3 + 44 = 47.$

Focus on one box at a time. The box of $k$ books receives a uniformly random $k$ -subset of the $12$ books, so the probability that it contains all three math books is $\binom{9}{k-3}\big/\binom{12}{k}.$ For $k = 3, 4, 5$ this gives $\frac{1}{220},$ $\frac{9}{495} = \frac{1}{55},$ and $\frac{36}{792} = \frac{1}{22}.$

The events are disjoint, so the total probability is $\begin{aligned} \frac{1}{220} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22} &= \frac{1 + 4 + 10}{220} \\ &= \frac{15}{220} = \frac{3}{44}, \end{aligned}$ and $m + n = 3 + 44 = 47.$

2013 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años