Question

El punto $B$ está en el exterior del polígono regular de $n$ lados $A_1A_2\cdots A_n,$ y $A_1A_2B$ es un triángulo equilátero. ¿Cuál es el mayor valor de $n$ para el cual $A_n,$ $A_1,$ y $B$ son vértices consecutivos de un polígono regular?

Point $B$ is in the exterior of the regular $n$ -sided polygon $A_1A_2\cdots A_n,$ and $A_1A_2B$ is an equilateral triangle. What is the largest value of $n$ for which $A_n,$ $A_1,$ and $B$ are consecutive vertices of a regular polygon?

Respuesta

Solución:

Como $B$ está fuera del $n$ -ágono, los ángulos en $A_1,$ a saber el ángulo interior $\angle A_nA_1A_2 = \frac{(n-2)180^\circ}{n},$ el ángulo equilátero $\angle A_2A_1B = 60^\circ,$ y $\angle BA_1A_n,$ completan una vuelta entera, así que $\begin{aligned} \angle BA_1A_n &= 300^\circ - \frac{(n-2)180^\circ}{n} \\ &= 120^\circ + \frac{360^\circ}{n}. \end{aligned}$ Además $A_nA_1 = A_1B,$ ya que ambos son iguales al lado del $n$ -ágono.

Para que $A_n,$ $A_1,$ $B$ sean vértices consecutivos de un $m$ -ágono regular, este ángulo debe ser el ángulo interior del $m$ -ágono: $120^\circ + \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{m},$ que se simplifica a $\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n},$ así que $m = \frac{6n}{n - 6} = 6 + \frac{36}{n - 6}.$

Por lo tanto $n - 6$ debe dividir a $36,$ y la mayor opción es $n - 6 = 36,$ es decir $n = 42$ (con $m = 7$ ).

Since $B$ is outside the $n$ -gon, the angles at $A_1$ — the interior angle $\angle A_nA_1A_2 = \frac{(n-2)180^\circ}{n},$ the equilateral angle $\angle A_2A_1B = 60^\circ,$ and $\angle BA_1A_n$ — fill a full revolution, so $\begin{aligned} \angle BA_1A_n &= 300^\circ - \frac{(n-2)180^\circ}{n} \\ &= 120^\circ + \frac{360^\circ}{n}. \end{aligned}$ Also $A_nA_1 = A_1B,$ since both equal the side of the $n$ -gon.

For $A_n,$ $A_1,$ $B$ to be consecutive vertices of a regular $m$ -gon, this angle must be the $m$ -gon's interior angle: $120^\circ + \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{m},$ which simplifies to $\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n},$ so $m = \frac{6n}{n - 6} = 6 + \frac{36}{n - 6}.$

Thus $n - 6$ must divide $36,$ and the largest choice is $n - 6 = 36,$ i.e. $n = 42$ (with $m = 7$ ).

1997 AIME Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años