Question

Una tabla plana tiene un agujero circular de radio $1$ y un agujero circular de radio $2$ tales que la distancia entre los centros de los dos agujeros es $7.$ Dos esferas de radios iguales se asientan en los dos agujeros de modo que las esferas son tangentes entre sí. El cuadrado del radio de las esferas es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

A flat board has a circular hole with radius $1$ and a circular hole with radius $2$ such that the distance between the centers of the two holes is $7.$ Two spheres with equal radii sit in the two holes such that the spheres are tangent to each other. The square of the radius of the spheres is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Una esfera de radio $r$ apoyada en un agujero circular de radio $a$ tiene su centro sobre el eje del agujero; como el centro está a distancia $r$ de cada punto del borde del agujero, se sitúa a distancia $\sqrt{r^2 - a^2}$ del plano de la tabla. Así que los dos centros están a profundidades $\sqrt{r^2 - 1}$ y $\sqrt{r^2 - 4}$ del mismo lado de la tabla, con separación horizontal $7.$

La tangencia de las esferas significa que los centros están a $2r$ de distancia: $\begin{aligned} &49 + \left(\sqrt{r^2 - 1} - \sqrt{r^2 - 4}\right)^2 \\ &= 4r^2. \end{aligned}$ Al desarrollar se obtiene $49 + 2r^2 - 5$ $- 2\sqrt{(r^2 - 1)(r^2 - 4)}$ $= 4r^2,$ así que $\sqrt{(r^2 - 1)(r^2 - 4)} = 22 - r^2.$ Al elevar al cuadrado, $r^4 - 5r^2 + 4 = 484 - 44r^2 + r^4,$ por lo que $39r^2 = 480$ y $r^2 = \frac{160}{13}.$

Por lo tanto $m + n = 160 + 13 = 173.$

A sphere of radius $r$ resting in a circular hole of radius $a$ has its center on the axis of the hole; since the center is at distance $r$ from every point of the hole's rim, it sits at distance $\sqrt{r^2 - a^2}$ from the plane of the board. So the two centers lie at depths $\sqrt{r^2 - 1}$ and $\sqrt{r^2 - 4}$ on the same side of the board, with horizontal separation $7.$

Tangency of the spheres means the centers are $2r$ apart: $\begin{aligned} &49 + \left(\sqrt{r^2 - 1} - \sqrt{r^2 - 4}\right)^2 \\ &= 4r^2. \end{aligned}$ Expanding gives $49 + 2r^2 - 5$ $- 2\sqrt{(r^2 - 1)(r^2 - 4)}$ $= 4r^2,$ so $\sqrt{(r^2 - 1)(r^2 - 4)} = 22 - r^2.$ Squaring, $r^4 - 5r^2 + 4 = 484 - 44r^2 + r^4,$ hence $39r^2 = 480$ and $r^2 = \frac{160}{13}.$

Thus $m + n = 160 + 13 = 173.$

2020 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años