Question

Un club formado por $11$ hombres y $12$ mujeres necesita elegir un comité de entre sus miembros de modo que el número de mujeres en el comité sea uno más que el número de hombres en el comité. El comité podría tener tan solo $1$ miembro o hasta $23$ miembros. Sea $N$ el número de tales comités que se pueden formar. Halle la suma de los números primos que dividen a $N.$

A club consisting of $11$ men and $12$ women needs to choose a committee from among its members so that the number of women on the committee is one more than the number of men on the committee. The committee could have as few as $1$ member or as many as $23$ members. Let $N$ be the number of such committees that can be formed. Find the sum of the prime numbers that divide $N.$

Respuesta

Solución:

Un comité con $k$ hombres tiene $k + 1$ mujeres, así que $\begin{aligned} N &= \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k}\binom{12}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k}\binom{12}{11-k} \\ &= \binom{23}{11} \end{aligned}$ por la identidad de Vandermonde (ambos lados cuentan las formas de elegir $11$ personas de las $23$ en total).

Ahora factorice $\binom{23}{11} = \frac{23!}{11!\,12!}.$ Los primos $13,$ $17,$ $19,$ $23$ aparecen cada uno en el numerador pero no en el denominador. Por la fórmula de Legendre el exponente de $2$ es $19 - 8 - 10 = 1,$ el de $3$ es $9 - 4 - 5 = 0,$ el de $5$ es $4 - 2 - 2 = 0,$ el de $7$ es $3 - 1 - 1 = 1,$ y el de $11$ es $2 - 1 - 1 = 0.$ Por lo tanto $N = 2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23.$

La suma de los primos que dividen a $N$ es $2 + 7 + 13 + 17 + 19 + 23 = 81.$

A committee with $k$ men has $k + 1$ women, so $\begin{aligned} N &= \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k}\binom{12}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k}\binom{12}{11-k} \\ &= \binom{23}{11} \end{aligned}$ by Vandermonde's identity (both sides count ways to choose $11$ people from all $23$ ).

Now factor $\binom{23}{11} = \frac{23!}{11!\,12!}.$ The primes $13,$ $17,$ $19,$ $23$ each appear in the numerator but not the denominator. By Legendre's formula the exponent of $2$ is $19 - 8 - 10 = 1,$ of $3$ is $9 - 4 - 5 = 0,$ of $5$ is $4 - 2 - 2 = 0,$ of $7$ is $3 - 1 - 1 = 1,$ and of $11$ is $2 - 1 - 1 = 0.$ Hence $N = 2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23.$

The sum of the primes dividing $N$ is $2 + 7 + 13 + 17 + 19 + 23 = 81.$

2020 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años