Question

Los cuadrados $ABCD$ y $EFGH$ tienen un centro común y $\overline{AB} \parallel \overline{EF}.$ El área de $ABCD$ es $2016,$ y el área de $EFGH$ es un entero positivo menor. Se construye el cuadrado $IJKL$ de modo que cada uno de sus vértices esté sobre un lado de $ABCD$ y cada vértice de $EFGH$ esté sobre un lado de $IJKL.$ Halla la diferencia entre el mayor y el menor valor entero posible para el área de $IJKL.$

Squares $ABCD$ and $EFGH$ have a common center and $\overline{AB} \parallel \overline{EF}.$ The area of $ABCD$ is $2016,$ and the area of $EFGH$ is a smaller positive integer. Square $IJKL$ is constructed so that each of its vertices lies on a side of $ABCD$ and each vertex of $EFGH$ lies on a side of $IJKL.$ Find the difference between the largest and smallest possible integer values for the area of $IJKL.$

Respuesta

Solución:

Si un cuadrado de lado $t$ tiene sus vértices sobre los lados de un cuadrado concéntrico de lado $s$ y está inclinado un ángulo $\theta,$ cada lado del cuadrado exterior se divide en trozos $t\cos\theta$ y $t\sin\theta,$ así que $s = t(\cos\theta + \sin\theta).$ Esto se aplica a $IJKL$ (lado $t$ ) dentro de $ABCD$ (lado $s$ ) con algún ángulo $\theta.$ Como $\overline{EF} \parallel \overline{AB},$ el cuadrado $EFGH$ (lado $u$ ) forma el mismo ángulo $\theta$ con $IJKL,$ así que también $t = u(\cos\theta + \sin\theta).$

Por tanto $\frac{s}{t} = \frac{t}{u},$ así que las tres áreas forman una progresión geométrica: el área de $EFGH$ es igual a $\frac{T^2}{2016},$ donde $T$ es el área de $IJKL.$ Cuando $\theta$ recorre $\left(0^\circ, 90^\circ\right),$ el factor $(\cos\theta + \sin\theta)^2$ toma todos los valores de $(1, 2],$ así que $T = \frac{2016}{(\cos\theta + \sin\theta)^2}$ toma todos los valores de $[1008, 2016)$ ( $\theta = 0^\circ$ se excluye porque $EFGH$ es menor que $ABCD$ ). Para que $\frac{T^2}{2016}$ sea entero, $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ debe dividir a $T^2,$ lo que obliga a que $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 168$ divida a $T.$

Los múltiplos de $168$ en $[1008, 2016)$ van desde $1008$ hasta $1848,$ y cada uno se alcanza con un $\theta$ apropiado, siendo entonces el área de $EFGH$ un entero positivo menor que $2016.$ La diferencia es $1848 - 1008 = 840.$

If a square of side $t$ has its vertices on the sides of a concentric square of side $s$ and is tilted by angle $\theta,$ each side of the outer square is split into pieces $t\cos\theta$ and $t\sin\theta,$ so $s = t(\cos\theta + \sin\theta).$ This applies to $IJKL$ (side $t$ ) in $ABCD$ (side $s$ ) with some angle $\theta.$ Since $\overline{EF} \parallel \overline{AB},$ square $EFGH$ (side $u$ ) makes the same angle $\theta$ with $IJKL,$ so also $t = u(\cos\theta + \sin\theta).$

Hence $\frac{s}{t} = \frac{t}{u},$ so the three areas form a geometric progression: the area of $EFGH$ equals $\frac{T^2}{2016},$ where $T$ is the area of $IJKL.$ As $\theta$ ranges over $\left(0^\circ, 90^\circ\right),$ the factor $(\cos\theta + \sin\theta)^2$ takes every value in $(1, 2],$ so $T = \frac{2016}{(\cos\theta + \sin\theta)^2}$ takes every value in $[1008, 2016)$ ( $\theta = 0^\circ$ is excluded because $EFGH$ is smaller than $ABCD$ ). For $\frac{T^2}{2016}$ to be an integer, $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ must divide $T^2,$ which forces $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 168$ to divide $T.$

The multiples of $168$ in $[1008, 2016)$ run from $1008$ to $1848,$ and each is attained by an appropriate $\theta,$ with the area of $EFGH$ then a positive integer less than $2016.$ The difference is $1848 - 1008 = 840.$

2016 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años