Question

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 9,$ $BC = 5\sqrt{3},$ y $AC = 12.$ Los puntos $A = P_0, P_1, P_2, \ldots, P_{2450} = B$ están sobre el segmento $\overline{AB}$ con $P_k$ entre $P_{k-1}$ y $P_{k+1}$ para $k = 1, 2, \ldots, 2449,$ y los puntos $A = Q_0, Q_1, Q_2, \ldots, Q_{2450} = C$ están sobre el segmento $\overline{AC}$ con $Q_k$ entre $Q_{k-1}$ y $Q_{k+1}$ para $k = 1, 2, \ldots, 2449.$ Además, cada segmento $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1, 2, \ldots, 2449,$ es paralelo a $\overline{BC}.$ Los segmentos dividen el triángulo en $2450$ regiones, formadas por $2449$ trapecios y $1$ triángulo. Cada una de las $2450$ regiones tiene la misma área. Halla el número de segmentos $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1, 2, \ldots, 2450,$ que tienen longitud racional.

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 9,$ $BC = 5\sqrt{3},$ and $AC = 12.$ Points $A = P_0, P_1, P_2, \ldots, P_{2450} = B$ are on segment $\overline{AB}$ with $P_k$ between $P_{k-1}$ and $P_{k+1}$ for $k = 1, 2, \ldots, 2449,$ and points $A = Q_0, Q_1, Q_2, \ldots, Q_{2450} = C$ are on segment $\overline{AC}$ with $Q_k$ between $Q_{k-1}$ and $Q_{k+1}$ for $k = 1, 2, \ldots, 2449.$ Furthermore, each segment $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1, 2, \ldots, 2449,$ is parallel to $\overline{BC}.$ The segments cut the triangle into $2450$ regions, consisting of $2449$ trapezoids and $1$ triangle. Each of the $2450$ regions has the same area. Find the number of segments $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1, 2, \ldots, 2450,$ that have rational length.

Respuesta

Solución:

Como las $2450$ regiones tienen áreas iguales, el triángulo $AP_kQ_k$ (la unión de las primeras $k$ regiones) tiene área $\frac{k}{2450}$ del triángulo $ABC.$ Cada triángulo $AP_kQ_k$ es semejante a $ABC,$ y las longitudes escalan como la raíz cuadrada de las áreas, así que $\begin{aligned} P_kQ_k &= 5\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{k}{2450}} \\ &= 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{k}}{35\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6k}}{14}. \end{aligned}$

Esto es racional exactamente cuando $6k$ es un cuadrado perfecto, lo que ocurre exactamente cuando $k = 6j^2$ para un entero positivo $j.$ La condición $6j^2 \le 2450$ da $j^2 \le 408,$ así que $j = 1, 2, \ldots, 20.$ Hay $20$ segmentos de este tipo.

Since the $2450$ regions have equal areas, triangle $AP_kQ_k$ (the union of the first $k$ regions) has area $\frac{k}{2450}$ of triangle $ABC.$ Each triangle $AP_kQ_k$ is similar to $ABC,$ and lengths scale as the square root of areas, so $\begin{aligned} P_kQ_k &= 5\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{k}{2450}} \\ &= 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{k}}{35\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6k}}{14}. \end{aligned}$

This is rational exactly when $6k$ is a perfect square, which happens exactly when $k = 6j^2$ for a positive integer $j.$ The condition $6j^2 \le 2450$ gives $j^2 \le 408,$ so $j = 1, 2, \ldots, 20.$ There are $20$ such segments.

2018 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años