Question

Se extraen al azar y sin reemplazo tres números, $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ del conjunto $\{1,2,3,\ldots,1000\}.$ Luego se extraen al azar y sin reemplazo otros tres números, $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ del conjunto restante de $997$ números. Sea $p$ la probabilidad de que, después de una rotación adecuada, un ladrillo de dimensiones $a_1\times a_2\times a_3$ pueda encerrarse en una caja de dimensiones $b_1\times b_2\times b_3,$ con los lados del ladrillo paralelos a los de la caja. Si $p$ se escribe como fracción en su mínima expresión, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?

Three numbers, $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ are drawn randomly and without replacement from the set $\{1,2,3,\ldots,1000\}.$ Three other numbers, $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ are then drawn randomly and without replacement from the remaining set of $997$ numbers. Let $p$ be the probability that, after a suitable rotation, a brick of dimensions $a_1\times a_2\times a_3$ can be enclosed in a box of dimensions $b_1\times b_2\times b_3,$ with the sides of the brick parallel to the sides of the box. If $p$ is written as a fraction in lowest terms, what is the sum of the numerator and denominator?

Respuesta

Respuesta: 5

Conceptos:probabilidad básica Número de Catalan muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Fija los seis valores seleccionados y, en orden creciente, registra solo si cada uno pertenece al ladrillo o a la caja

Condition on the six selected values and record only whether each belongs to the brick or the box in increasing order

Pista grande:

El ladrillo cabe exactamente cuando cada prefijo de esta palabra de seis letras contiene al menos tantas $a$ como $b$

The brick fits exactly when every prefix of this six-letter word contains at least as many $a$ ’s as $b$ ’s

Solución:

Una vez fijados y ordenados los seis valores distintos, cada una de las $\binom63=20$ asignaciones de tres valores al ladrillo es igualmente probable. Las dimensiones ordenadas del ladrillo caben en las dimensiones ordenadas de la caja exactamente cuando, en cada prefijo de la palabra resultante de tres $a$ y tres $b$ , el número de $a$ es al menos el número de $b$ . Hay $C_3=5$ palabras de este tipo. Por lo tanto, $p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4},$ y la suma pedida es $1+4=5.$

After the six distinct values are fixed and sorted, each of the $\binom63=20$ assignments of three values to the brick is equally likely. The sorted brick dimensions fit the sorted box dimensions exactly when, in every prefix of the resulting word of three $a$ ’s and three $b$ ’s, the number of $a$ ’s is at least the number of $b$ ’s. There are $C_3=5$ such words. Thus $p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4},$ and the requested sum is $1+4=5.$

1993 AIME Problema 7

Respuesta: 5

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años