Question

Si se suma el entero $k$ a cada uno de los números $36,$ $300,$ y $596,$ se obtienen los cuadrados de tres términos consecutivos de una progresión aritmética. Halla $k.$

If the integer $k$ is added to each of the numbers $36,$ $300,$ and $596,$ one obtains the squares of three consecutive terms of an arithmetic series. Find $k.$

Respuesta

Respuesta: 925

Conceptos:sucesión aritmética diferencia de cuadrados sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Escribe los tres términos de la progresión aritmética como $x,$ $x+r,$ y $x+2r$

Write the three arithmetic-sequence terms as $x,$ $x+r,$ and $x+2r$

Pista grande:

Resta ecuaciones de cuadrados adyacentes y después resta entre sí las dos ecuaciones resultantes

Subtract adjacent square equations, then subtract those two resulting equations

Solución:

Sean los tres términos $x,$ $x+r,$ y $x+2r.$ Al restar las ecuaciones de los cuadrados se obtiene $r(2x+r)=300-36=264$ y $r(2x+3r)=596-300=296.$ Su diferencia es $2r^2=32,$ así que $r=\pm4.$ Cambiar de signo los tres términos no altera sus cuadrados, por lo que podemos tomar $r=4.$ Luego, $4(2x+4)=264,$ de donde $x=31.$ Por lo tanto, $k=x^2-36=961-36=925.$

Let the three terms be $x,$ $x+r,$ and $x+2r.$ Subtracting the square equations gives $r(2x+r)=300-36=264$ and $r(2x+3r)=596-300=296.$ Their difference is $2r^2=32,$ so $r=\pm4.$ Negating all three terms does not change their squares, so take $r=4.$ Then $4(2x+4)=264,$ giving $x=31.$ Therefore $k=x^2-36=961-36=925.$

1989 AIME Problema 7

Respuesta: 925

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años