Question

Para ciertos pares ordenados $(a,b)$ de números reales, el sistema de ecuaciones $\begin{aligned}ax+by&=1,\\x^2+y^2&=50\end{aligned}$ tiene al menos una solución, y cada solución es un par ordenado $(x,y)$ de enteros. ¿Cuántos pares ordenados $(a,b)$ hay?

For certain ordered pairs $(a,b)$ of real numbers, the system of equations $\begin{aligned}ax+by&=1,\\x^2+y^2&=50\end{aligned}$ has at least one solution, and each solution is an ordered pair $(x,y)$ of integers. How many such ordered pairs $(a,b)$ are there?

Respuesta

Respuesta: 72

Conceptos:punto reticular cuerda recta tangente

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Enumera todos los puntos enteros de $x^2+y^2=50$

List all integer points on $x^2+y^2=50$

Pista grande:

Cuenta tanto las cuerdas que pasan por dos puntos enteros no antipodales como las tangentes en un solo punto entero

Count both chords through two non-antipodal lattice points and tangents at one lattice point

Solución:

El círculo tiene los $12$ puntos enteros obtenidos de $(\pm1,\pm7),$ $(\pm5,\pm5),$ y $(\pm7,\pm1).$ Una secante que satisface la condición queda determinada por dos puntos enteros no antipodales cualesquiera. Esto da $\binom{12}{2}-6=60$ rectas; se excluyen los pares antipodales porque su recta pasa por el origen y no puede tener ecuación $ax+by=1.$ También hay $12$ tangentes, una en cada punto entero. Cada recta tiene una normalización única $ax+by=1,$ así que el total es $60+12=72.$

The circle has the $12$ lattice points obtained from $(\pm1,\pm7),$ $(\pm5,\pm5),$ and $(\pm7,\pm1).$ A secant satisfying the condition is determined by any two non-antipodal lattice points. This gives $\binom{12}{2}-6=60$ lines; antipodal pairs are excluded because their line passes through the origin and cannot have equation $ax+by=1.$ There are also $12$ tangents, one at each lattice point. Each line has a unique normalization $ax+by=1,$ so the total is $60+12=72.$

1994 AIME Problema 7

Respuesta: 72

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años