1994 AIME — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

La sucesión creciente $3,$ $15,$ $24,$ $48,$ $\ldots$ consta de los múltiplos positivos de $3$ que son una unidad menores que un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el residuo cuando el término $1994$ de la sucesión se divide entre $1000$ ?

The increasing sequence $3,$ $15,$ $24,$ $48,$ $\ldots$ consists of those positive multiples of $3$ that are one less than a perfect square. What is the remainder when the $1994$ th term of the sequence is divided by $1000?$

Respuesta

Respuesta: 63

Conceptos:aritmética modular conteo de enteros en un rango cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

El número $k^2-1$ es divisible por $3$ exactamente cuando $k$ no es divisible por $3$

A number $k^2-1$ is divisible by $3$ exactly when $k$ is not divisible by $3$

Pista grande:

Agrupa de dos en dos los valores admisibles de $k$ y luego reduce el cuadrado requerido módulo $1000$

Index the eligible values of $k$ in pairs, then reduce the required square modulo $1000$

Solución:

Los términos son $k^2-1$ para los enteros $k\geq2$ que no son divisibles por $3.$ En cada bloque de tres valores consecutivos de $k$ hay dos admisibles. El término $1994=2\cdot997$ corresponde a $k=3(997)+1=2992.$ Como $2992\equiv992\equiv-8\pmod {1000},$ $\begin{aligned}k^2-1&\equiv(-8)^2-1\\&\equiv63\pmod {1000}.\end{aligned}$

The terms are $k^2-1$ for integers $k\geq2$ not divisible by $3.$ In each block of three consecutive $k$ ’s there are two eligible values. The $1994=2\cdot997$ th corresponds to $k=3(997)+1=2992.$ Since $2992\equiv992\equiv-8\pmod {1000},$ $\begin{aligned}k^2-1&\equiv(-8)^2-1\\&\equiv63\pmod {1000}.\end{aligned}$

2.

Un círculo cuyo diámetro $\overline{PQ}$ mide $10$ es tangente interiormente en $P$ a un círculo de radio $20.$ Se construye el cuadrado $ABCD$ con $A$ y $B$ sobre el círculo mayor, $\overline{CD}$ tangente en $Q$ al círculo menor y el círculo menor fuera de $ABCD.$ La longitud de $\overline{AB}$ puede escribirse en la forma $m+\sqrt n,$ donde $m$ y $n$ son enteros. Halla $m+n.$

A circle with diameter $\overline{PQ}$ of length $10$ is internally tangent at $P$ to a circle of radius $20.$ Square $ABCD$ is constructed with $A$ and $B$ on the larger circle, $\overline{CD}$ tangent at $Q$ to the smaller circle, and the smaller circle outside $ABCD.$ The length of $\overline{AB}$ can be written in the form $m+\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are integers. Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 312

Conceptos:cuerda cuadrado (geometría)cuadrática

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Coloca el círculo grande en el origen y sitúa $P$ y $Q$ sobre un diámetro

Place the large circle at the origin and put $P$ and $Q$ on a diameter

Pista grande:

Si el lado del cuadrado mide $s$ , su lado-cuerda $AB$ está a una distancia $|10-s|$ del centro del círculo grande

If the square’s side is $s$ , its chord side $AB$ lies at distance $|10-s|$ from the large circle’s center

Solución:

Coloca el círculo grande en el origen con $P=(20,0)$ y $Q=(10,0).$ Sea $s$ el lado del cuadrado. Como el círculo menor está fuera del cuadrado, $\overline{CD}$ se encuentra sobre $x=10$ y la cuerda paralela $\overline{AB}$ se encuentra sobre $x=10-s.$ La fórmula para una cuerda del círculo de radio $20$ da $s=2\sqrt{400-(10-s)^2}.$ Al elevar al cuadrado se obtiene $s^2-16s-240=0,$ de modo que $s=8+4\sqrt{19}=8+\sqrt{304}.$ Por lo tanto, $m+n=8+304=312.$

Put the large circle at the origin with $P=(20,0)$ and $Q=(10,0).$ Let the square’s side be $s.$ Because the smaller circle is outside the square, $\overline{CD}$ lies on $x=10$ and the parallel chord $\overline{AB}$ lies on $x=10-s.$ A chord of the radius- $20$ circle then gives $s=2\sqrt{400-(10-s)^2}.$ Squaring yields $s^2-16s-240=0,$ so $s=8+4\sqrt{19}=8+\sqrt{304}.$ Thus $m+n=8+304=312.$

3.

La función $f$ tiene la propiedad de que, para todo número real $x,$ $f(x)+f(x-1)=x^2.$ Si $f(19)=94,$ ¿cuál es el residuo al dividir $f(94)$ entre $1000$ ?

The function $f$ has the property that, for each real number $x,$ $f(x)+f(x-1)=x^2.$ If $f(19)=94,$ what is the remainder when $f(94)$ is divided by $1000?$

Respuesta

Respuesta: 561

Conceptos:recursión sumatoria aritmética modular

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Primero usa $x=20$ para hallar $f(20)$

First use $x=20$ to find $f(20)$

Pista grande:

Elimina los términos alternados deduciendo una recurrencia de $f(x)$ a $f(x-2)$

Eliminate alternating terms by deriving a recurrence from $f(x)$ to $f(x-2)$

Solución:

Primero, $f(20)=20^2-f(19)=306.$ Al avanzar dos pasos se obtiene $\begin{aligned}f(x)&=x^2-(x-1)^2+f(x-2)\\&=2x-1+f(x-2).\end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned}f(94)&=306+\sum_{j=11}^{47}(4j-1)\\&=306+4(1073)-37\\&=4561.\end{aligned}$ El residuo pedido es $561.$

First $f(20)=20^2-f(19)=306.$ Subtracting through two steps gives $\begin{aligned}f(x)&=x^2-(x-1)^2+f(x-2)\\&=2x-1+f(x-2).\end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned}f(94)&=306+\sum_{j=11}^{47}(4j-1)\\&=306+4(1073)-37\\&=4561.\end{aligned}$ The requested remainder is $561.$

4.

Halla el entero positivo $n$ para el cual $\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994.\end{aligned}$ (Para un número real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero que no excede a $x.$ )

Find the positive integer $n$ for which $\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994.\end{aligned}$ (For real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

Respuesta

Respuesta: 312

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo potencia de 2

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Agrupa los enteros que tienen el mismo valor de $\lfloor\log_2 k\rfloor$

Group integers having the same value of $\lfloor\log_2 k\rfloor$

Pista grande:

Calcula la suma hasta $255$ ; a partir de ahí, cada nuevo término aporta inicialmente $8$

Compute the sum through $255$ , after which every new term initially contributes $8$

Solución:

Para $2^j\leq k<2^{j+1},$ el sumando es $j.$ Por lo tanto, la suma hasta $255=2^8-1$ es $\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538.$ La diferencia $1994-1538=456$ es $57\cdot8,$ así que incluimos $57$ enteros más a partir de $256.$ Por consiguiente, $n=255+57=312.$

For $2^j\leq k<2^{j+1},$ the summand is $j.$ Thus the sum through $255=2^8-1$ is $\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538.$ The remaining $1994-1538=456$ is $57\cdot8,$ so we include $57$ more integers beginning with $256.$ Hence $n=255+57=312.$

5.

Dado un entero positivo $n,$ sea $p(n)$ el producto de las cifras no nulas de $n.$ (Si $n$ tiene una sola cifra, entonces $p(n)$ es igual a esa cifra). Sea $\begin{aligned}S&=p(1)+p(2)+p(3)\\&\quad+\cdots+p(999).\end{aligned}$ ¿Cuál es el mayor factor primo de $S$ ?

Given a positive integer $n,$ let $p(n)$ be the product of the nonzero digits of $n.$ (If $n$ has only one digit, then $p(n)$ is equal to that digit.) Let $\begin{aligned}S&=p(1)+p(2)+p(3)\\&\quad+\cdots+p(999).\end{aligned}$ What is the largest prime factor of $S?$

Respuesta

Respuesta: 103

Conceptos:dígitos principio de multiplicación factorización en primos

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Escribe con tres cifras cada número desde $000$ hasta $999$ y haz que una cifra cero aporte un factor de $1$

Write every number from $000$ through $999$ using three digits and let a zero digit contribute a factor of $1$

Pista grande:

La suma se factoriza por posiciones decimales; recuerda quitar la contribución de $000$

The sum factors by digit position; remember to remove the contribution of $000$

Solución:

Para una posición decimal, la suma de sus factores efectivos es $1+1+2+\cdots+9=46,$ donde el primer $1$ representa la cifra $0.$ Por lo tanto, la suma desde $000$ hasta $999$ es $46^3.$ Al quitar la contribución artificial $1$ de $000$ se obtiene $\begin{aligned}S&=46^3-1\\&=45(46^2+46+1)\\&=45\cdot2163.\end{aligned}$ Como $2163=3\cdot721=3\cdot7\cdot103,$ el mayor factor primo es $103.$

For one digit position, the sum of its effective factors is $1+1+2+\cdots+9=46,$ where the first $1$ represents digit $0.$ Thus the sum over $000$ through $999$ is $46^3.$ Removing the artificial contribution $1$ from $000$ gives $\begin{aligned}S&=46^3-1\\&=45(46^2+46+1)\\&=45\cdot2163.\end{aligned}$ Since $2163=3\cdot721=3\cdot7\cdot103,$ the largest prime factor is $103.$

6.

Para $k=-10,$ $-9,$ $-8,$ $\ldots,$ $9,$ $10,$ se dibujan en el plano cartesiano las gráficas de las ecuaciones $\begin{aligned}y&=k,\\y&=\sqrt3x+2k,\\y&=-\sqrt3x+2k.\end{aligned}$ Estas $63$ rectas dividen parte del plano en triángulos equiláteros de lado $\frac{2}{\sqrt3}.$ ¿Cuántos de esos triángulos se forman?

The graphs of the equations $\begin{aligned}y&=k,\\y&=\sqrt3x+2k,\\y&=-\sqrt3x+2k,\end{aligned}$ are drawn in the coordinate plane for $k=-10,$ $-9,$ $-8,$ $\ldots,$ $9,$ $10.$ These $63$ lines cut part of the plane into equilateral triangles of side $\frac{2}{\sqrt3}.$ How many such triangles are formed?

Respuesta

Respuesta: 660

Conceptos:triángulo equilátero conteo de regiones conteo de pares

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Indexa una recta de cada familia mediante $i,j,k$ en $[-10,10]$

Index one line from each family by $i,j,k$ in $[-10,10]$

Pista grande:

Una celda triangular mínima aparece exactamente cuando $i=j+k+1$ o $i=j+k-1$

A smallest triangular cell occurs precisely when $i=j+k+1$ or $i=j+k-1$

Solución:

Una celda triangular unitaria queda determinada por índices $i,j,k\in[-10,10]$ que satisfacen $i=j+k\pm1.$ Para el signo más, $-11\leq j+k\leq9.$ Hay $21-|s|$ pares ordenados $(j,k)$ cuya suma es $s,$ así que esta orientación aporta $\sum_{s=-11}^{9}(21-|s|)=330.$ Por simetría, la otra orientación también aporta $330,$ para un total de $660.$

A unit triangular cell is determined by indices $i,j,k\in[-10,10]$ satisfying $i=j+k\pm1.$ For the plus sign, $-11\leq j+k\leq9.$ There are $21-|s|$ ordered pairs $(j,k)$ with sum $s,$ so this orientation contributes $\sum_{s=-11}^{9}(21-|s|)=330.$ By symmetry the other orientation also contributes $330,$ for a total of $660.$

7.

Para ciertos pares ordenados $(a,b)$ de números reales, el sistema de ecuaciones $\begin{aligned}ax+by&=1,\\x^2+y^2&=50\end{aligned}$ tiene al menos una solución, y cada solución es un par ordenado $(x,y)$ de enteros. ¿Cuántos pares ordenados $(a,b)$ hay?

For certain ordered pairs $(a,b)$ of real numbers, the system of equations $\begin{aligned}ax+by&=1,\\x^2+y^2&=50\end{aligned}$ has at least one solution, and each solution is an ordered pair $(x,y)$ of integers. How many such ordered pairs $(a,b)$ are there?

Respuesta

Respuesta: 72

Conceptos:punto reticular cuerda recta tangente

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Enumera todos los puntos enteros de $x^2+y^2=50$

List all integer points on $x^2+y^2=50$

Pista grande:

Cuenta tanto las cuerdas que pasan por dos puntos enteros no antipodales como las tangentes en un solo punto entero

Count both chords through two non-antipodal lattice points and tangents at one lattice point

Solución:

El círculo tiene los $12$ puntos enteros obtenidos de $(\pm1,\pm7),$ $(\pm5,\pm5),$ y $(\pm7,\pm1).$ Una secante que satisface la condición queda determinada por dos puntos enteros no antipodales cualesquiera. Esto da $\binom{12}{2}-6=60$ rectas; se excluyen los pares antipodales porque su recta pasa por el origen y no puede tener ecuación $ax+by=1.$ También hay $12$ tangentes, una en cada punto entero. Cada recta tiene una normalización única $ax+by=1,$ así que el total es $60+12=72.$

The circle has the $12$ lattice points obtained from $(\pm1,\pm7),$ $(\pm5,\pm5),$ and $(\pm7,\pm1).$ A secant satisfying the condition is determined by any two non-antipodal lattice points. This gives $\binom{12}{2}-6=60$ lines; antipodal pairs are excluded because their line passes through the origin and cannot have equation $ax+by=1.$ There are also $12$ tangents, one at each lattice point. Each line has a unique normalization $ax+by=1,$ so the total is $60+12=72.$

8.

Los puntos $(0,0),$ $(a,11),$ y $(b,37)$ son los vértices de un triángulo equilátero. Halla el valor de $ab.$

The points $(0,0),$ $(a,11),$ and $(b,37)$ are the vertices of an equilateral triangle. Find the value of $ab.$

Respuesta

Respuesta: 315

Conceptos:geometría analítica vector triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

El vector $(b,37)$ es una rotación de $(a,11)$ por $60^\circ$ o por $-60^\circ$

The vector $(b,37)$ is a rotation of $(a,11)$ through $60^\circ$ or $-60^\circ$

Pista grande:

Usa primero la segunda coordenada de la rotación y luego calcula la primera

Use the second coordinate of the rotation first, then compute the first coordinate

Solución:

Para una rotación de $60^\circ,$ $37=\frac{\sqrt3}{2}a+\frac{11}{2},$ de donde $a=21\sqrt3.$ La primera coordenada es entonces $b=\frac a2-\frac{11\sqrt3}{2}=5\sqrt3.$ La orientación opuesta cambia ambos signos y deja invariante el producto. Por lo tanto, $ab=(21\sqrt3)(5\sqrt3)=315.$

For a $60^\circ$ rotation, $37=\frac{\sqrt3}{2}a+\frac{11}{2},$ so $a=21\sqrt3.$ The first coordinate is then $b=\frac a2-\frac{11\sqrt3}{2}=5\sqrt3.$ The opposite orientation changes both signs and leaves the product unchanged. Hence $ab=(21\sqrt3)(5\sqrt3)=315.$

9.

Se juega un solitario de la siguiente manera. Se colocan en una bolsa seis pares distintos de fichas iguales. El jugador extrae fichas al azar, una por una, y las conserva, excepto que un par de fichas iguales se aparta tan pronto como aparece en su mano. El juego termina si el jugador llega a tener tres fichas sin que haya dos iguales; de lo contrario, continúa sacando hasta vaciar la bolsa. La probabilidad de vaciar la bolsa es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos coprimos. Halla $p+q.$

A solitaire game is played as follows. Six distinct pairs of matched tiles are placed in a bag. The player randomly draws tiles one at a time from the bag and retains them, except that matching tiles are put aside as soon as they appear in the player’s hand. The game ends if the player ever holds three tiles, no two of which match; otherwise the drawing continues until the bag is empty. The probability that the bag will be emptied is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p+q.$

Respuesta

Respuesta: 394

Conceptos:probabilidad recursiva muestreo sin reemplazo simulación de procesos

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Registra el número $r$ de pares aún no vistos y el número $h$ de fichas sin pareja que se tienen en la mano

Track the number $r$ of unseen pairs and the number $h$ of unmatched tiles currently held

Pista grande:

Desde el estado $(r,h)$ , la ficha siguiente empareja una de las $h$ fichas en la mano o abre uno de los $r$ pares aún no vistos

From state $(r,h)$ , the next tile either matches one of the $h$ held tiles or opens one of the $r$ unseen pairs

Solución:

Sea $F(r,h)$ la probabilidad de éxito cuando quedan $r$ pares aún no vistos y se tienen $h\leq2$ fichas sin pareja. Entre las $2r+h$ fichas restantes, $h$ cierran un par abierto y $2r$ abren un nuevo par; este último caso produce una derrota cuando $h=2.$ Por tanto, $\begin{aligned}F(r,h)&=\frac{hF(r,h-1)}{2r+h}\\&\quad+\frac{2rF(r-1,h+1)}{2r+h},\end{aligned}$ donde se omite el segundo término cuando $h=2,$ y $F(0,h)=1.$ Al evaluar esta recurrencia de tres estados se obtiene $\begin{aligned}F(r,0):\quad&1,\ 1,\ \frac35,\ \frac9{35},\\&\frac3{35},\ \frac9{385}\end{aligned}$ para $r=1,2,\ldots,6.$ Por consiguiente, $\frac{p}{q}=\frac{9}{385}$ y $p+q=394.$

Let $F(r,h)$ be the chance of success with $r$ unseen pairs and $h\leq2$ unmatched tiles held. Among $2r+h$ remaining tiles, $h$ close an open pair and $2r$ open a new pair; the latter move fails when $h=2.$ Thus $\begin{aligned}F(r,h)&=\frac{hF(r,h-1)}{2r+h}\\&\quad+\frac{2rF(r-1,h+1)}{2r+h},\end{aligned}$ omitting the second term when $h=2,$ with $F(0,h)=1.$ Evaluating this three-state recursion gives $\begin{aligned}F(r,0):\quad&1,\ 1,\ \frac35,\ \frac9{35},\\&\frac3{35},\ \frac9{385}\end{aligned}$ for $r=1,2,\ldots,6.$ Hence $\frac{p}{q}=\frac{9}{385}$ and $p+q=394.$

10.

En el triángulo $ABC,$ el ángulo $C$ es recto y la altura desde $C$ corta a $\overline{AB}$ en $D.$ Las longitudes de los lados de $\triangle ABC$ son enteras, $BD=29^3,$ y $\cos B=\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m+n.$

In triangle $ABC,$ angle $C$ is a right angle and the altitude from $C$ meets $\overline{AB}$ at $D.$ The lengths of the sides of $\triangle ABC$ are integers, $BD=29^3,$ and $\cos B=\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 450

Conceptos:altura Terna pitagórica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Usa la semejanza para escribir $BD=\frac{BC^2}{AB}$

Use similarity to write $BD=\frac{BC^2}{AB}$

Pista grande:

Expresa $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ en su mínima expresión y usa la factorización prima de $29^3$

Express $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ in lowest terms and use the prime factorization of $29^3$

Solución:

Escribe $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ en su mínima expresión, con $BC=km$ y $AB=kn.$ La semejanza da $29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}.$ Por lo tanto, $k$ es divisible por $n;$ si escribimos $k=nt$ , obtenemos $tm^2=29^3.$ La posibilidad $m=1$ no puede ser un cateto de un triángulo rectángulo entero no degenerado, así que $m=29.$ Si llamamos $u$ al otro cateto de la terna primitiva, entonces $(n-u)(n+u)=29^2,$ lo que da $n=421$ y $u=420.$ Por consiguiente, $m+n=29+421=450.$

Write $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ in lowest terms, with $BC=km$ and $AB=kn.$ Similarity gives $29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}.$ Hence $k$ is divisible by $n;$ writing $k=nt$ gives $tm^2=29^3.$ The possibility $m=1$ cannot be a leg of a nondegenerate integer right triangle, so $m=29.$ Writing the other leg of the primitive triple as $u,$ we have $(n-u)(n+u)=29^2,$ giving $n=421$ and $u=420.$ Therefore $m+n=29+421=450.$

11.

Noventa y cuatro ladrillos, cada uno de dimensiones $4''\times10''\times19'',$ se apilan uno encima de otro para formar una torre de $94$ ladrillos de altura. Cada ladrillo puede orientarse para aportar $4'',$ $10'',$ o $19''$ a la altura total. ¿Cuántas alturas diferentes se pueden obtener usando los $94$ ladrillos?

Ninety-four bricks, each measuring $4''\times10''\times19'',$ are to be stacked one on top of another to form a tower $94$ bricks tall. Each brick can be oriented so it contributes $4'',$ $10'',$ or $19''$ to the total height of the tower. How many different tower heights can be achieved using all $94$ of the bricks?

Respuesta

Respuesta: 465

Conceptos:Ecuación diofántica paridad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Comienza con todos los ladrillos aportando $4$ pulgadas y cuenta los incrementos posibles

Start with all bricks contributing $4$ inches and count possible increments

Pista grande:

Si $c$ ladrillos aportan $19$ pulgadas, los incrementos restantes forman un intervalo de paridad fija a medida que varía el número de ladrillos de $10$ pulgadas

If $c$ bricks contribute $19$ inches, the remaining increments form a parity interval as the number of $10$ -inch bricks varies

Solución:

Si $b$ ladrillos usan la altura $10$ y $c$ usan la altura $19,$ el total es $376+3(2b+5c),$ donde $b,c\geq0$ y $b+c\leq94.$ Para un $c$ fijo, el valor $v=2b+5c$ avanza de dos en dos desde $5c$ hasta $188+3c.$ Los intervalos con $c$ par cubren todos los valores pares de $v$ desde $0$ hasta $464,$ además de $470,$ y solo faltan $466$ y $468.$ Los intervalos con $c$ impar cubren todos los valores impares de $v$ desde $5$ hasta $461,$ además de $465$ y $467,$ y solo faltan $1,$ $3,$ $463,$ y $469.$ Por lo tanto, hay $471-6=465$ alturas distintas.

If $b$ bricks use height $10$ and $c$ use height $19,$ the total is $376+3(2b+5c),$ where $b,c\geq0$ and $b+c\leq94.$ For fixed $c,$ the value $v=2b+5c$ runs by twos from $5c$ to $188+3c.$ The even- $c$ intervals cover every even $v$ from $0$ through $464,$ as well as $470,$ missing only $466$ and $468.$ The odd- $c$ intervals cover every odd $v$ from $5$ through $461,$ as well as $465$ and $467,$ missing only $1,$ $3,$ $463,$ and $469.$ Thus there are $471-6=465$ distinct heights.

12.

Un campo rectangular cercado mide $24$ metros por $52$ metros. Una investigadora agrícola dispone de $1994$ metros de cerca para dividir interiormente el campo en parcelas de prueba cuadradas y congruentes. Hay que dividir todo el campo y los lados de los cuadrados deben ser paralelos a sus bordes. ¿Cuál es el mayor número de parcelas cuadradas en que puede dividirse el campo usando todos o algunos de los $1994$ metros de cerca?

A fenced, rectangular field measures $24$ meters by $52$ meters. An agricultural researcher has $1994$ meters of fence that can be used for internal fencing to partition the field into congruent, square test plots. The entire field must be partitioned, and the sides of the squares must be parallel to the edges of the field. What is the largest number of square test plots into which the field can be partitioned using all or some of the $1994$ meters of fence?

Respuesta

Respuesta: 702

Conceptos:teselado divisibilidad optimización

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Si hay $m$ filas y $n$ columnas, la igualdad de los lados de los cuadrados obliga a que $m:n=6:13$

If there are $m$ rows and $n$ columns, equality of square side lengths forces $m:n=6:13$

Pista grande:

Escribe $m=6k$ y $n=13k$ , y luego calcula únicamente la longitud de la cerca interior

Write $m=6k$ and $n=13k$ , then calculate only the internal fence length

Solución:

Sea la cuadrícula de $6k$ filas y $13k$ columnas, de modo que cada cuadrado tiene lado $\frac{4}{k}.$ Las cercas verticales y horizontales interiores tienen longitud total $\begin{aligned}&52(6k-1)+24(13k-1)\\&\quad=624k-76.\end{aligned}$ Exigir que esto no supere $1994$ da $k\leq3.$ Con $k=3,$ el número de parcelas es $(6k)(13k)=78k^2=702.$

Let the grid have $6k$ rows and $13k$ columns, so each square has side $\frac{4}{k}.$ The internal vertical and horizontal fences have total length $\begin{aligned}&52(6k-1)+24(13k-1)\\&\quad=624k-76.\end{aligned}$ Requiring this to be at most $1994$ gives $k\leq3.$ With $k=3,$ the number of plots is $(6k)(13k)=78k^2=702.$

13.

La ecuación $x^{10}+(13x-1)^{10}=0$ tiene $10$ raíces complejas $r_1,$ $\overline{r_1},$ $r_2,$ $\overline{r_2},$ $r_3,$ $\overline{r_3},$ $r_4,$ $\overline{r_4},$ $r_5,$ $\overline{r_5},$ donde la barra indica conjugación compleja. Halla el valor de $\begin{aligned}&\frac1{r_1\overline{r_1}}+\frac1{r_2\overline{r_2}}+\frac1{r_3\overline{r_3}}\\&\quad+\frac1{r_4\overline{r_4}}+\frac1{r_5\overline{r_5}}.\end{aligned}$

The equation $x^{10}+(13x-1)^{10}=0$ has $10$ complex roots $r_1,$ $\overline{r_1},$ $r_2,$ $\overline{r_2},$ $r_3,$ $\overline{r_3},$ $r_4,$ $\overline{r_4},$ $r_5,$ $\overline{r_5},$ where the bar denotes complex conjugation. Find the value of $\begin{aligned}&\frac1{r_1\overline{r_1}}+\frac1{r_2\overline{r_2}}+\frac1{r_3\overline{r_3}}\\&\quad+\frac1{r_4\overline{r_4}}+\frac1{r_5\overline{r_5}}.\end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 850

Conceptos:raíces de la unidad número complejo sumatoria

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Define $\frac{x}{13x-1}=\zeta,$ donde $\zeta^{10}=-1$

Set $\frac{x}{13x-1}=\zeta,$ where $\zeta^{10}=-1$

Pista grande:

Expresa $\frac{1}{|x|^2}$ en términos de $\zeta+\overline\zeta$ y suma sobre los cinco pares conjugados

Express $\frac{1}{|x|^2}$ in terms of $\zeta+\overline\zeta$ and sum over the five conjugate pairs

Solución:

Sea $\zeta=\frac{x}{13x-1},$ de modo que $\zeta^{10}=-1$ y $\begin{aligned}x&=\frac{\zeta}{13\zeta-1},\\\frac1x&=13-\zeta^{-1}.\end{aligned}$ Como $|\zeta|=1,$ $\begin{aligned}\frac1{|x|^2}&=|13-\zeta^{-1}|^2\\&=170-13(\zeta+\overline\zeta).\end{aligned}$ Sumar un valor por cada uno de los cinco pares conjugados da $5\cdot170$ menos $13$ veces la suma de las diez raíces de $z^{10}+1,$ que es $0.$ El valor pedido es $850.$

Let $\zeta=\frac{x}{13x-1},$ so $\zeta^{10}=-1$ and $\begin{aligned}x&=\frac{\zeta}{13\zeta-1},\\\frac1x&=13-\zeta^{-1}.\end{aligned}$ Since $|\zeta|=1,$ $\begin{aligned}\frac1{|x|^2}&=|13-\zeta^{-1}|^2\\&=170-13(\zeta+\overline\zeta).\end{aligned}$ Summing one value for each of the five conjugate pairs gives $5\cdot170$ minus $13$ times the sum of all ten roots of $z^{10}+1,$ which is $0.$ The requested value is $850.$

14.

Un rayo de luz incide en $\overline{BC}$ en el punto $C$ con ángulo de incidencia $\alpha=19.94^\circ$ y se refleja con el mismo ángulo, como se muestra. El rayo continúa su trayectoria y se refleja en los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ según la regla de que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. Dado que $\beta=\frac{\alpha}{10}=1.994^\circ$ y $AB=BC,$ determina cuántas veces rebotará el rayo en los dos segmentos. Incluye en la cuenta la primera reflexión en $C.$

A beam of light strikes $\overline{BC}$ at point $C$ with angle of incidence $\alpha=19.94^\circ$ and reflects with an equal angle of reflection as shown. The light beam continues its path, reflecting off line segments $\overline{AB}$ and $\overline{BC}$ according to the rule: angle of incidence equals angle of reflection. Given that $\beta=\frac{\alpha}{10}=1.994^\circ$ and $AB=BC,$ determine the number of times the light beam will bounce off the two line segments. Include the first reflection at $C$ in your count.

Respuesta

Respuesta: 71

Conceptos:reflexión (geometría)persecución de ángulos funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 2790

Pista pequeña:

Despliega cada reflexión reflejando la siguiente copia del ángulo formado por los dos segmentos en vez de reflejar el rayo

Unfold each reflection by reflecting the next copy of the two-segment angle instead of reflecting the beam

Pista grande:

Después de $k$ reflexiones posteriores a la primera, la semirrecta límite correspondiente ha girado $k\beta$

After $k$ reflections beyond the first one, the relevant boundary ray has turned through $k\beta$

Solución:

Despliega la trayectoria en cada rebote, de modo que el rayo se convierte en una recta que cruza copias reflejadas sucesivas del ángulo en $B.$ Después de $k$ reflexiones posteriores a la inicial en $C,$ la siguiente semirrecta límite forma un ángulo $k\beta$ con la original. Al usar $AB=BC,$ el cruce permanece sobre los segmentos finitos exactamente mientras $k\beta\leq180^\circ-2\alpha.$ Por lo tanto, $k\leq\frac{180-2(19.94)}{1.994}\approx70.27,$ así que hay $70$ reflexiones más. Al incluir la primera reflexión en $C$ , se obtienen $71.$

Unfold the path at each bounce, so the beam becomes one straight line crossing successive reflected copies of the angle at $B.$ After $k$ reflections beyond the initial reflection at $C,$ the next boundary ray makes angle $k\beta$ with the original one. Using $AB=BC,$ the crossing remains on the finite segments exactly while $k\beta\leq180^\circ-2\alpha.$ Therefore $k\leq\frac{180-2(19.94)}{1.994}\approx70.27,$ so there are $70$ further reflections. Including the first reflection at $C$ gives $71.$

15.

Dado un punto $P$ en una hoja triangular $ABC,$ considera los pliegues que se forman al doblar $A,$ $B,$ y $C$ sobre $P.$ Llamemos a $P$ punto de plegado de $\triangle ABC$ si estos pliegues, que son tres salvo cuando $P$ es uno de los vértices, no se cortan. Supón que $AB=36,$ $AC=72,$ y $\angle B=90^\circ.$ Entonces el área del conjunto de todos los puntos de plegado de $\triangle ABC$ puede escribirse como $q\pi-r\sqrt s,$ donde $q,$ $r,$ y $s$ son enteros positivos y $s$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuál es $q+r+s$ ?

Given a point $P$ on a triangular piece of paper $ABC,$ consider the creases that are formed in the paper when $A,$ $B,$ and $C$ are folded onto $P.$ Let us call $P$ a fold point of $\triangle ABC$ if these creases, which number three unless $P$ is one of the vertices, do not intersect. Suppose that $AB=36,$ $AC=72,$ and $\angle B=90^\circ.$ Then the area of the set of all fold points of $\triangle ABC$ can be written in the form $q\pi-r\sqrt s,$ where $q,$ $r,$ and $s$ are positive integers and $s$ is not divisible by the square of any prime. What is $q+r+s?$

Respuesta

Respuesta: 597

Conceptos:plegado de papel mediatriz descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Dos pliegues se cortan en el circuncentro del triángulo formado por $P$ y los dos vértices correspondientes

Two fold creases meet at the circumcenter of the triangle formed by $P$ and the corresponding two vertices

Pista grande:

El lugar geométrico de los puntos de plegado es la intersección de los discos con diámetros $AB$ y $BC$

The fold-point locus is the intersection of the disks with diameters $AB$ and $BC$

Solución:

Los pliegues correspondientes a dos vértices se cortan en el circuncentro del triángulo formado con $P.$ Esta intersección queda fuera del papel exactamente cuando el ángulo en $P$ es obtuso, de modo que el lugar de los puntos de plegado es la intersección de los tres discos de diámetros $AB,$ $BC,$ y $CA.$ El disco de diámetro $CA$ contiene todo el triángulo rectángulo, por lo que queda la intersección de los discos de diámetros $AB$ y $BC$ .

Aquí $BC=\sqrt{72^2-36^2}=36\sqrt3.$ Los dos radios relevantes son $18$ y $18\sqrt3,$ y su lente consta de segmentos circulares con ángulos centrales $120^\circ$ y $60^\circ.$ Su área es $\begin{aligned}&\left(\frac\pi3\cdot18^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12\cdot18^2\sin120^\circ\right)\\&+\left(\frac\pi6(18\sqrt3)^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12(18\sqrt3)^2\sin60^\circ\right)\\&=270\pi-324\sqrt3.\end{aligned}$ Por tanto, $q+r+s$ es igual a $270+324+3=597.$

The creases for two vertices meet at the circumcenter of the triangle formed with $P.$ This intersection lies off the paper exactly when the angle at $P$ is obtuse, so the fold-point locus is the intersection of the three diameter disks for $AB,$ $BC,$ and $CA.$ The $CA$ disk contains the entire right triangle, leaving the intersection of the $AB$ and $BC$ disks.

Here $BC=\sqrt{72^2-36^2}=36\sqrt3.$ The two relevant radii are $18$ and $18\sqrt3,$ and their lens consists of circular segments with central angles $120^\circ$ and $60^\circ.$ Its area is $\begin{aligned}&\left(\frac\pi3\cdot18^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12\cdot18^2\sin120^\circ\right)\\&+\left(\frac\pi6(18\sqrt3)^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12(18\sqrt3)^2\sin60^\circ\right)\\&=270\pi-324\sqrt3.\end{aligned}$ Thus $q+r+s$ equals $270+324+3=597.$

Problemas del 1994 AIME

Respuesta: 63

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 312

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 561

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 312

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 103

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 660

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 72

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 315

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 394

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 450

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 465

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 702

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 850

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 71

Nivel de dificultad: 2790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 597

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: