Question

En el triángulo $ABC,$ el ángulo $C$ es recto y la altura desde $C$ corta a $\overline{AB}$ en $D.$ Las longitudes de los lados de $\triangle ABC$ son enteras, $BD=29^3,$ y $\cos B=\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m+n.$

In triangle $ABC,$ angle $C$ is a right angle and the altitude from $C$ meets $\overline{AB}$ at $D.$ The lengths of the sides of $\triangle ABC$ are integers, $BD=29^3,$ and $\cos B=\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 450

Conceptos:altura Terna pitagórica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Usa la semejanza para escribir $BD=\frac{BC^2}{AB}$

Use similarity to write $BD=\frac{BC^2}{AB}$

Pista grande:

Expresa $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ en su mínima expresión y usa la factorización prima de $29^3$

Express $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ in lowest terms and use the prime factorization of $29^3$

Solución:

Escribe $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ en su mínima expresión, con $BC=km$ y $AB=kn.$ La semejanza da $29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}.$ Por lo tanto, $k$ es divisible por $n;$ si escribimos $k=nt$ , obtenemos $tm^2=29^3.$ La posibilidad $m=1$ no puede ser un cateto de un triángulo rectángulo entero no degenerado, así que $m=29.$ Si llamamos $u$ al otro cateto de la terna primitiva, entonces $(n-u)(n+u)=29^2,$ lo que da $n=421$ y $u=420.$ Por consiguiente, $m+n=29+421=450.$

Write $\frac{BC}{AB}=\frac{m}{n}$ in lowest terms, with $BC=km$ and $AB=kn.$ Similarity gives $29^3=BD=\frac{BC^2}{AB}=\frac{km^2}{n}.$ Hence $k$ is divisible by $n;$ writing $k=nt$ gives $tm^2=29^3.$ The possibility $m=1$ cannot be a leg of a nondegenerate integer right triangle, so $m=29.$ Writing the other leg of the primitive triple as $u,$ we have $(n-u)(n+u)=29^2,$ giving $n=421$ and $u=420.$ Therefore $m+n=29+421=450.$

1994 AIME Problema 10

Respuesta: 450

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años