Question

Dos cadenas de tres letras, $aaa$ y $bbb,$ se transmiten electrónicamente. Cada cadena se envía letra por letra. Debido a una falla del equipo, cada una de las seis letras tiene una probabilidad de $\frac{1}{3}$ de recibirse incorrectamente: como $a$ cuando debía ser $b,$ o como $b$ cuando debía ser $a.$ Sin embargo, que una letra dada se reciba correcta o incorrectamente es independiente de la recepción de cualquier otra letra.

Sea $S_a$ la cadena de tres letras que se recibe cuando se transmite $aaa$ , y sea $S_b$ la cadena de tres letras que se recibe cuando se transmite $bbb$ . Sea $p$ la probabilidad de que $S_a$ aparezca antes que $S_b$ en orden alfabético. Cuando $p$ se escribe como una fracción en su mínima expresión, ¿cuál es su numerador?

Two three-letter strings, $aaa$ and $bbb,$ are transmitted electronically. Each string is sent letter by letter. Due to faulty equipment, each of the six letters has a $\frac{1}{3}$ chance of being received incorrectly, as an $a$ when it should have been a $b,$ or as a $b$ when it should be an $a.$ However, whether a given letter is received correctly or incorrectly is independent of the reception of any other letter.

Let $S_a$ be the three-letter string received when $aaa$ is transmitted and let $S_b$ be the three-letter string received when $bbb$ is transmitted. Let $p$ be the probability that $S_a$ comes before $S_b$ in alphabetical order. When $p$ is written as a fraction in lowest terms, what is its numerator?

Respuesta

Respuesta: 532

Conceptos:eventos independientes sucesión geométrica probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

El orden se decide en la primera posición en la que difieren las dos cadenas recibidas

The ordering is decided at the first position where the two received strings differ

Pista grande:

En una posición, calcula las probabilidades de que las letras coincidan y de que se reciba $a$ en $S_a$ y $b$ en $S_b$

At one position, compute the probabilities of equality and of receiving $a$ in $S_a$ and $b$ in $S_b$

Solución:

En cualquier posición, las letras recibidas coinciden con probabilidad $2\left(\frac23\right)\left(\frac13\right)=\frac49.$ La primera diferencia favorable, que $S_a$ reciba $a$ y $S_b$ reciba $b,$ tiene probabilidad $(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}.$ Puede ocurrir en la primera, segunda o tercera posición después de cero, una o dos coincidencias. Por tanto, $\begin{aligned}p&=\frac49\left(1+\frac49+\left(\frac49\right)^2\right)\\&=\frac{532}{729}.\end{aligned}$ Esta fracción está en su mínima expresión, así que su numerador es $532.$

At any position, the received letters agree with probability $2\left(\frac23\right)\left(\frac13\right)=\frac49.$ The favorable first difference, $S_a$ receiving $a$ and $S_b$ receiving $b,$ has probability $(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}.$ It can occur in the first, second, or third position after zero, one, or two agreements. Hence $\begin{aligned}p&=\frac49\left(1+\frac49+\left(\frac49\right)^2\right)\\&=\frac{532}{729}.\end{aligned}$ This fraction is in lowest terms, so its numerator is $532.$

1991 AIME Problema 10

Respuesta: 532

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años