Question

Los números $1447,$ $1005,$ y $1231$ tienen algo en común: cada uno es un número de cuatro cifras que comienza con $1$ y tiene exactamente dos cifras idénticas. ¿Cuántos números de este tipo hay?

The numbers $1447,$ $1005,$ and $1231$ have something in common: each is a four-digit number beginning with $1$ that has exactly two identical digits. How many such numbers are there?

Respuesta

Respuesta: 432

Conceptos:dígitos análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Separa el caso en que la cifra repetida es $1$ del caso en que no lo es

Separate the case where the repeated digit is $1$ from the case where it is not

Pista grande:

En cada caso, elige las posiciones de la cifra repetida antes de elegir la cifra distinta restante

In each case, choose the repeated digit’s positions before choosing the remaining distinct digit

Solución:

Si $1$ es la cifra repetida, exactamente una de las últimas tres posiciones contiene un $1.$ Hay $3$ opciones para esa posición, $9$ opciones para la siguiente cifra y $8$ para la última, pues esas dos cifras deben diferir entre sí y de $1.$ Esto da $3\cdot9\cdot8=216$ números.

Si se repite una cifra distinta de $1$ , hay $9$ opciones para esa cifra, $3$ maneras de elegir sus dos posiciones entre las últimas tres y $8$ opciones para la cifra restante. Esto da otros $9\cdot3\cdot8=216$ números. El total es $216+216=432.$

If $1$ is the repeated digit, exactly one of the last three positions contains $1.$ There are $3$ choices for that position, $9$ choices for the next digit, and $8$ for the last digit, since those two digits must differ from each other and from $1.$ This gives $3\cdot9\cdot8=216$ numbers.

If a digit other than $1$ is repeated, there are $9$ choices for that digit, $3$ ways to choose its two positions among the last three, and $8$ choices for the remaining digit. This gives another $9\cdot3\cdot8=216$ numbers. The total is $216+216=432.$

1983 AIME Problema 10

Respuesta: 432

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años