Question

Sean $a,$ $b,$ $c$ los tres lados de un triángulo, y sean $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ los ángulos opuestos a ellos. Si $a^2+b^2=1989c^2,$ halla $\frac{\cot\gamma}{\cot\alpha+\cot\beta}.$

Let $a,$ $b,$ $c$ be the three sides of a triangle, and let $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ be the angles opposite them. If $a^2+b^2=1989c^2,$ find $\frac{\cot\gamma}{\cot\alpha+\cot\beta}.$

Respuesta

Respuesta: 994

Conceptos:ley de los cosenos ley de los senos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2530

Pista pequeña:

Simplifica $\cot\alpha+\cot\beta$ usando $\alpha+\beta=\pi-\gamma$

Simplify $\cot\alpha+\cot\beta$ using $\alpha+\beta=\pi-\gamma$

Pista grande:

Usa la ley de los senos para los factores de seno resultantes y la ley de los cosenos para $\cos\gamma$

Use the Law of Sines for the resulting sine factors and the Law of Cosines for $\cos\gamma$

Solución:

Primero, $\begin{aligned}\cot\alpha+\cot\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\&=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}.\end{aligned}$ Por consiguiente, la razón pedida es $\frac{\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta}{\sin^2\gamma}=\frac{ab\cos\gamma}{c^2},$ donde se usó la ley de los senos en la última igualdad. Por la ley de los cosenos, $\begin{aligned}2ab\cos\gamma&=a^2+b^2-c^2\\&=1988c^2.\end{aligned}$ Por lo tanto, la razón es $\frac{1988}{2}=994.$

First, $\begin{aligned}\cot\alpha+\cot\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\\&=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}.\end{aligned}$ Hence the desired ratio is $\frac{\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta}{\sin^2\gamma}=\frac{ab\cos\gamma}{c^2},$ where the Law of Sines was used in the final equality. By the Law of Cosines, $\begin{aligned}2ab\cos\gamma&=a^2+b^2-c^2\\&=1988c^2.\end{aligned}$ Therefore the ratio is $\frac{1988}{2}=994.$

1989 AIME Problema 10

Respuesta: 994

Nivel de dificultad: 2530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años