Question

Se da una muestra de $121$ enteros, cada uno entre $1$ y $1000$ , inclusive, con repeticiones permitidas. La muestra tiene una moda única (el valor más frecuente). Sea $D$ la diferencia entre la moda y la media aritmética de la muestra. ¿Cuál es el mayor valor posible de $\lfloor D\rfloor$ ? (Para un número real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$ )

A sample of $121$ integers is given, each between $1$ and $1000$ inclusive, with repetitions allowed. The sample has a unique mode (most frequent value). Let $D$ be the difference between the mode and the arithmetic mean of the sample. What is the largest possible value of $\lfloor D\rfloor?$ (For real $x,$ $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Respuesta: 947

Conceptos:media moda optimización

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Por simetría, coloca la moda en el extremo inferior y haz que las demás entradas sean tan grandes como permita la restricción de frecuencia

By symmetry, place the mode at the low endpoint and push every other entry as high as the frequency restriction allows

Pista grande:

Si la moda aparece $f$ veces, cada otro valor puede aparecer como máximo $f-1$ veces; optimiza por separado para cada $f$

If the mode occurs $f$ times, every other value may occur at most $f-1$ times; optimize separately over $f$

Solución:

Al transformar cada valor $x$ en $1001-x,$ basta maximizar la media menos la moda. Para una frecuencia modal fija $f,$ la muestra extrema tiene $f$ copias de $1,$ y luego se completa con los mayores enteros disponibles, con a lo sumo $f-1$ copias de cada uno.

Escribe $121-f=q(f-1)+r,$ donde $0\leq r<f-1.$ Las entradas distintas de la moda son $f-1$ copias de cada uno de $1000,$ $999,$ $\ldots,$ $1001-q,$ seguidas de $r$ copias de $1000-q.$ Para $f=2,$ $f=3,$ $f=4,$ $f=5,$ y $f=6,$ esta fórmula da, respectivamente, las partes enteras $924,$ $945,$ $947,$ $944,$ y $939.$ Si $f\geq7,$ hay como máximo $114$ términos distintos de la moda, por lo que basta incluso la cota más débil $D\leq\frac{114(999)}{121}<942$ . Así, el máximo ocurre cuando $f=4.$

La muestra extrema contiene cuatro copias de $1$ y tres copias de cada entero desde $962$ hasta $1000.$ Sea $T=962+963+\cdots+1000.$ Como $T=38259,$ $\begin{aligned}D&=\frac{3T+4}{121}-1\\&=\frac{114660}{121}\\&=947+\frac{73}{121}.\end{aligned}$ Por lo tanto, la mayor parte entera posible es $947.$

By reflecting every value $x$ to $1001-x,$ it suffices to maximize the mean minus the mode. For a fixed modal frequency $f,$ the extremal sample has $f$ copies of $1,$ then fills the largest available integers with at most $f-1$ copies each.

Put $121-f=q(f-1)+r,$ where $0\leq r<f-1.$ The nonmodal entries are $f-1$ copies of each of $1000,$ $999,$ $\ldots,$ $1001-q,$ followed by $r$ copies of $1000-q.$ For $f=2,$ $f=3,$ $f=4,$ $f=5,$ and $f=6,$ this formula gives floors $924,$ $945,$ $947,$ $944,$ and $939,$ respectively. If $f\geq7,$ there are at most $114$ nonmodal terms, so even the weaker bound $D\leq\frac{114(999)}{121}<942$ suffices. Thus the maximum occurs at $f=4.$

The extremal sample contains four $1$ ’s and three copies of every integer from $962$ through $1000.$ Put $T=962+963+\cdots+1000.$ Since $T=38259,$ $\begin{aligned}D&=\frac{3T+4}{121}-1\\&=\frac{114660}{121}\\&=947+\frac{73}{121}.\end{aligned}$ Therefore the largest possible floor is $947.$

1989 AIME Problema 11

Respuesta: 947

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años