Respuesta: 288

Pista pequeña:

Halla la altura proyectando cualquiera de los extremos de la arista superior sobre la base

Pista grande:

A una fracción $t$ de la altura, la sección transversal es un rectángulo de lados $s(1-t)$ y $s(1+t)$

Solución:

Cada extremo de la arista superior está unido a los extremos de un lado de la base cuadrada. Por tanto, su distancia al punto medio de ese lado es $\frac{\sqrt3s}{2}.$ La proyección de cada extremo superior queda $\frac{s}{2}$ más allá de ese punto medio, porque los dos extremos proyectados están separados por $2s$, mientras que los puntos medios de los dos lados opuestos están separados por $s$. Así, la altura $h$ satisface $$h^2=\left(\frac{\sqrt3s}{2}\right)^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2 =\frac{s^2}{2},$$ de modo que $h=\frac{s}{\sqrt2}.$

A una fracción $t$ de la altura sobre la base, la sección transversal es un rectángulo cuyas dimensiones son $s(1-t)$ y $s(1+t).$ Su área es $s^2(1-t^2).$ Por el principio de Cavalieri, el volumen es el volumen $s^2h$ de un prisma menos el volumen $\frac{s^2h}{3}$ de una pirámide: $$V=\frac23s^2h=\frac{\sqrt2}{3}s^3.$$ Al sustituir $s=6\sqrt2$, se obtiene $V=288.$