Question

El diámetro $AB$ de un círculo tiene como longitud un entero de $2$ cifras (en base diez). Al invertir las cifras se obtiene la longitud de la cuerda perpendicular $CD.$ La distancia desde su punto de intersección $H$ hasta el centro $O$ es un número racional positivo. Determina la longitud de $AB.$

Diameter $AB$ of a circle has length a $2$ -digit integer (base ten). Reversing the digits gives the length of the perpendicular chord $CD.$ The distance from their intersection point $H$ to the center $O$ is a positive rational number. Determine the length of $AB.$

Respuesta

Respuesta: 65

Conceptos:cuerda dígitos cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Escribe el diámetro como $10a+b$ y la cuerda como $10b+a$

Write the diameter as $10a+b$ and the chord as $10b+a$

Pista grande:

El cuadrado de la distancia del centro a la cuerda es la cuarta parte de la diferencia de sus cuadrados

The squared distance from the center to the chord is one fourth the difference of their squares

Solución:

Sean $10a+b$ la longitud del diámetro y $10b+a$ la de la cuerda. Como una perpendicular desde el centro biseca una cuerda, $\begin{aligned} 4OH^2&=(10a+b)^2\\ &\quad-(10b+a)^2\\ &=99(a^2-b^2). \end{aligned}$ Para que $OH$ sea racional, $11(a^2-b^2)$ debe ser un cuadrado. Por tanto, es igual a $121c^2,$ de modo que $(a-b)(a+b)=11c^2.$ Como $a$ y $b$ son cifras con $a>b,$ el lado izquierdo es a lo sumo $81,$ así que $c=1$ o $2.$ Si $c=1,$ los factores son $1$ y $11,$ lo que da $a=6$ y $b=5.$ Si $c=2,$ los pares de factores de $44$ tienen distinta paridad o dan $a>9.$ Por consiguiente, el diámetro es $65.$

Let the diameter be $10a+b$ and the chord be $10b+a.$ Since a perpendicular from the center bisects a chord, $\begin{aligned} 4OH^2&=(10a+b)^2\\ &\quad-(10b+a)^2\\ &=99(a^2-b^2). \end{aligned}$ For $OH$ to be rational, $11(a^2-b^2)$ must be a square. Thus it equals $121c^2,$ so $(a-b)(a+b)=11c^2.$ Because $a$ and $b$ are digits with $a>b,$ the left side is at most $81,$ so $c=1$ or $2.$ If $c=1,$ the factors are $1$ and $11,$ giving $a=6$ and $b=5.$ If $c=2,$ the factor pairs of $44$ either have different parity or give $a>9.$ Hence the diameter is $65.$

1983 AIME Problema 12

Respuesta: 65

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años