Question

Sean $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ los vértices de un tetraedro regular cuyas aristas miden $1$ metro. Un insecto parte del vértice $A$ y sigue esta regla: en cada vértice elige, con la misma probabilidad, una de las tres aristas que inciden en él y recorre esa arista hasta el vértice del otro extremo. Sea $p=\frac{n}{729}$ la probabilidad de que el insecto esté en el vértice $A$ después de haber recorrido exactamente $7$ metros. Halla $n.$

Let $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ be the vertices of a regular tetrahedron, each of whose edges measures $1$ meter. A bug, starting from vertex $A,$ observes the following rule: at each vertex it chooses one of the three edges meeting at that vertex, each edge being equally likely to be chosen, and crawls along that edge to the vertex at its opposite end. Let $p=\frac{n}{729}$ be the probability that the bug is at vertex $A$ when it has crawled exactly $7$ meters. Find the value of $n.$

Respuesta

Respuesta: 182

Conceptos:camino aleatorio recursión probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Sea $p_k$ la probabilidad de estar en $A$ después de $k$ pasos

Let $p_k$ be the probability of being at $A$ after $k$ steps

Pista grande:

Desde cualquier vértice distinto de $A,$ la probabilidad de pasar a $A$ es $\frac{1}{3}$

From any vertex other than $A,$ the probability of moving to $A$ is $\frac{1}{3}$

Solución:

Sea $p_k$ la probabilidad de que el insecto esté en $A$ después de $k$ pasos. No puede permanecer en $A,$ mientras que desde cualquier otro vértice pasa a $A$ con probabilidad $\frac{1}{3}.$ Por tanto, $p_{k+1}=\frac{1-p_k}{3},\qquad p_0=1.$ Al resolver esta recurrencia se obtiene $p_k=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^k.$ Así, $p_7=\frac14-\frac{3}{4\cdot3^7}=\frac{182}{729},$ por lo que $n=182.$

Let $p_k$ be the probability that the bug is at $A$ after $k$ steps. It cannot stay at $A,$ while from any other vertex it moves to $A$ with probability $\frac{1}{3}.$ Hence $p_{k+1}=\frac{1-p_k}{3},\qquad p_0=1.$ Solving this recurrence gives $p_k=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^k.$ Thus $p_7=\frac14-\frac{3}{4\cdot3^7}=\frac{182}{729},$ so $n=182.$

1985 AIME Problema 12

Respuesta: 182

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años