Question

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB = CD = 10,$ $BC = 14,$ y $AD = 2\sqrt{65}.$ Supón que las diagonales de $ABCD$ se cortan en el punto $P,$ y que la suma de las áreas de los triángulos $APB$ y $CPD$ es igual a la suma de las áreas de los triángulos $BPC$ y $APD.$ Halla el área del cuadrilátero $ABCD.$

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $AB = CD = 10,$ $BC = 14,$ and $AD = 2\sqrt{65}.$ Assume that the diagonals of $ABCD$ intersect at point $P,$ and that the sum of the areas of triangles $APB$ and $CPD$ equals the sum of the areas of triangles $BPC$ and $APD.$ Find the area of quadrilateral $ABCD.$

Respuesta

Solución:

Sean $a = AP,$ $b = BP,$ $c = CP,$ $d = DP,$ y sea $\theta = \angle CPD.$ Como $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta,$ la condición de áreas iguales $\frac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$ $= \frac{1}{2}(ad + bc)\sin\theta$ se simplifica a $(a - c)(d - b) = 0.$ Por simetría supón $a = c.$

La ley de cosenos en los triángulos $BPC$ y $APB$ (cuyos ángulos en $P$ son suplementarios) da $a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta = 196$ y $a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = 100,$ así que $a^2 + b^2 = 148$ y $ab\cos\theta = 24.$ De forma análoga los triángulos $APD$ y $CPD$ dan $a^2 + d^2 = 180$ y $ad\cos\theta = 40.$ Dividiendo, $\frac{d}{b} = \frac{5}{3},$ mientras que restando se obtiene $d^2 - b^2 = 32;$ por lo tanto $b = 3\sqrt{2},$ $d = 5\sqrt{2},$ $a^2 = 130,$ y $\cos^2\theta = \frac{24^2}{130 \cdot 18} = \frac{16}{65},$ así que $\sin\theta = \frac{7}{\sqrt{65}}.$

El área total es $\begin{aligned} \frac{1}{2}(a + c)(b + d) \\ &\quad {}\cdot \sin\theta \\ &= a(b + d)\sin\theta \\ &= \sqrt{130} \cdot 8\sqrt{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{7}{\sqrt{65}} \\ &= 112. \end{aligned}$

Let $a = AP,$ $b = BP,$ $c = CP,$ $d = DP,$ and let $\theta = \angle CPD.$ Since $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta,$ the equal-area condition $\frac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$ $= \frac{1}{2}(ad + bc)\sin\theta$ simplifies to $(a - c)(d - b) = 0.$ By symmetry assume $a = c.$

The law of cosines in triangles $BPC$ and $APB$ (whose angles at $P$ are supplementary) gives $a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta = 196$ and $a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = 100,$ so $a^2 + b^2 = 148$ and $ab\cos\theta = 24.$ Similarly triangles $APD$ and $CPD$ give $a^2 + d^2 = 180$ and $ad\cos\theta = 40.$ Dividing, $\frac{d}{b} = \frac{5}{3},$ while subtracting gives $d^2 - b^2 = 32;$ hence $b = 3\sqrt{2},$ $d = 5\sqrt{2},$ $a^2 = 130,$ and $\cos^2\theta = \frac{24^2}{130 \cdot 18} = \frac{16}{65},$ so $\sin\theta = \frac{7}{\sqrt{65}}.$

The total area is $\begin{aligned} \frac{1}{2}(a + c)(b + d) \\ &\quad {}\cdot \sin\theta \\ &= a(b + d)\sin\theta \\ &= \sqrt{130} \cdot 8\sqrt{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{7}{\sqrt{65}} \\ &= 112. \end{aligned}$

2018 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años