Question

Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad constante de $.4$ de encestar cualquier tiro dado, independiente de los tiros anteriores. Sea $a_n$ la razón de tiros encestados a tiros intentados tras $n$ tiros. La probabilidad de que $a_{10} = .4$ y $a_n \le .4$ para todo $n$ tal que $1 \le n \le 9$ se da como $p^a q^b r / \left(s^c\right),$ donde $p,$ $q,$ $r,$ y $s$ son primos, y $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos. Halla $(p + q + r + s)(a + b + c).$

A basketball player has a constant probability of $.4$ of making any given shot, independent of previous shots. Let $a_n$ be the ratio of shots made to shots attempted after $n$ shots. The probability that $a_{10} = .4$ and $a_n \le .4$ for all $n$ such that $1 \le n \le 9$ is given to be $p^a q^b r / \left(s^c\right),$ where $p,$ $q,$ $r,$ and $s$ are primes, and $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. Find $(p + q + r + s)(a + b + c).$

Respuesta

Solución:

Registra el progreso del jugador como un camino a través de los puntos $(n, y),$ donde $y$ es el número de tiros encestados tras $n$ intentos. La condición $a_n \le .4$ limita $y$ a $\lfloor 0.4n \rfloor,$ que para $n = 1, \ldots, 9$ es $0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3,$ y $a_{10} = .4$ significa que el camino termina en $(10, 4).$

Cuenta los caminos permitidos sumando, en cada punto, los conteos de sus dos predecesores (un fallo mantiene $y,$ un acierto lo sube en $1$ ). Los conteos en las alturas máximas permitidas para $n = 3, \ldots, 9$ resultan ser $1, 2, 2, 5, 9, 9, 23,$ y el décimo tiro debe ser un acierto, así que $23$ secuencias de tiros cumplen. Cada una consta de $4$ aciertos y $6$ fallos, así que la probabilidad es $23 \left(\tfrac{2}{5}\right)^4 \left(\tfrac{3}{5}\right)^6 = \frac{2^4 \, 3^6 \cdot 23}{5^{10}}.$

Por lo tanto $\{p, q, r, s\} = \{2, 3, 23, 5\}$ y $(a, b, c) = (4, 6, 10),$ dando $(2 + 3 + 23 + 5)(4 + 6 + 10)$ $= 33 \cdot 20$ $= 660.$

Record the player's progress as a path through points $(n, y),$ where $y$ is the number of shots made after $n$ attempts. The condition $a_n \le .4$ caps $y$ at $\lfloor 0.4n \rfloor,$ which for $n = 1, \ldots, 9$ is $0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3,$ and $a_{10} = .4$ means the path ends at $(10, 4).$

Count the allowed paths by adding, at each point, the counts of its two predecessors (a miss keeps $y,$ a make raises it by $1$ ). The counts at the maximum allowed heights for $n = 3, \ldots, 9$ come out to $1, 2, 2, 5, 9, 9, 23,$ and the tenth shot must be a make, so $23$ shot sequences qualify. Each consists of $4$ makes and $6$ misses, so the probability is $23 \left(\tfrac{2}{5}\right)^4 \left(\tfrac{3}{5}\right)^6 = \frac{2^4 \, 3^6 \cdot 23}{5^{10}}.$

Thus $\{p, q, r, s\} = \{2, 3, 23, 5\}$ and $(a, b, c) = (4, 6, 10),$ giving $(2 + 3 + 23 + 5)(4 + 6 + 10)$ $= 33 \cdot 20$ $= 660.$

2002 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años