Question

El conjunto de puntos del espacio de coordenadas $3$ -dimensional que están en el plano $x + y + z = 75$ cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades $x - yz \lt y - zx \lt z - xy$ forma tres regiones convexas disjuntas. Exactamente una de esas regiones tiene área finita. El área de esta región finita se puede expresar en la forma $a\sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $a + b.$

The set of points in $3$ -dimensional coordinate space that lie in the plane $x + y + z = 75$ whose coordinates satisfy the inequalities $x - yz \lt y - zx \lt z - xy$ forms three disjoint convex regions. Exactly one of those regions has finite area. The area of this finite region can be expressed in the form $a\sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b.$

Respuesta

Solución:

Como $x - yz - (y - zx)$ $= (x - y) + z(x - y)$ $= (x - y)(1 + z),$ y análogamente $y - zx - (z - xy)$ $= (y - z)(1 + x),$ las condiciones son $(x - y)(1 + z) \lt 0$ y $(y - z)(1 + x) \lt 0.$ Cada condición ofrece dos patrones de signos, dando cuatro combinaciones. La combinación $x \gt y,$ $z \lt -1,$ $y \gt z,$ $x \lt -1$ es imposible sobre el plano: $x, z \lt -1$ obliga a $y \gt 77,$ lo que contradice $x \gt y.$ Dos de las combinaciones restantes permiten que una coordenada se vaya al infinito, produciendo las dos regiones no acotadas.

La región acotada es $x \lt y,$ $y \lt z,$ $x \gt -1$ (la cuarta restricción $z \gt -1$ es entonces automática): el conjunto $-1 \lt x \lt y \lt z$ sobre el plano. Su clausura es el triángulo cuyos vértices provienen de intersecar las rectas frontera de dos en dos: $x = -1, x = y$ da $(-1, -1, 77);$ $x = -1, y = z$ da $(-1, 38, 38);$ y $x = y = z$ da $(25, 25, 25).$

Con $A = (-1, -1, 77),$ los vectores de los lados son $B - A = (0, 39, -39)$ y $C - A = (26, 26, -52),$ cuyo producto cruz es $-1014\,(1, 1, 1),$ de longitud $1014\sqrt{3}.$ El área es $\frac{1014\sqrt{3}}{2} = 507\sqrt{3},$ así que $a + b = 507 + 3 = 510.$

Since $x - yz - (y - zx)$ $= (x - y) + z(x - y)$ $= (x - y)(1 + z),$ and similarly $y - zx - (z - xy)$ $= (y - z)(1 + x),$ the conditions are $(x - y)(1 + z) \lt 0$ and $(y - z)(1 + x) \lt 0.$ Each condition offers two sign patterns, giving four combinations. The combination $x \gt y,$ $z \lt -1,$ $y \gt z,$ $x \lt -1$ is impossible on the plane: $x, z \lt -1$ forces $y \gt 77,$ contradicting $x \gt y.$ Two of the remaining combinations allow a coordinate to run off to infinity, producing the two unbounded regions.

The bounded region is $x \lt y,$ $y \lt z,$ $x \gt -1$ (the fourth constraint $z \gt -1$ is then automatic): the set $-1 \lt x \lt y \lt z$ on the plane. Its closure is the triangle whose vertices come from intersecting the boundary lines pairwise: $x = -1, x = y$ gives $(-1, -1, 77);$ $x = -1, y = z$ gives $(-1, 38, 38);$ and $x = y = z$ gives $(25, 25, 25).$

With $A = (-1, -1, 77),$ the edge vectors are $B - A = (0, 39, -39)$ and $C - A = (26, 26, -52),$ whose cross product is $-1014\,(1, 1, 1),$ of length $1014\sqrt{3}.$ The area is $\frac{1014\sqrt{3}}{2} = 507\sqrt{3},$ so $a + b = 507 + 3 = 510.$

2025 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años