Question

Dado $f(z) = z^2 - 19z,$ existen números complejos $z$ con la propiedad de que $z,$ $f(z),$ y $f(f(z))$ son los vértices de un triángulo rectángulo en el plano complejo con el ángulo recto en $f(z).$ Existen enteros positivos $m$ y $n$ tales que uno de esos valores de $z$ es $m + \sqrt{n} + 11i.$ Halle $m + n.$

Given $f(z) = z^2 - 19z,$ there are complex numbers $z$ with the property that $z,$ $f(z),$ and $f(f(z))$ are the vertices of a right triangle in the complex plane with a right angle at $f(z).$ There are positive integers $m$ and $n$ such that one such value of $z$ is $m + \sqrt{n} + 11i.$ Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como $f(w) - w = w(w - 20),$ los dos catetos en $f(z)$ son $\begin{gathered} f(z) - z = z(z - 20), \\ f(f(z)) - f(z) = f(z) \\ {}\cdot \bigl(f(z) - 20\bigr) \\ = z(z - 19)(z - 20) \\ {}\cdot (z + 1), \end{gathered}$ usando $f(z) = z(z - 19)$ y $f(z) - 20 = (z - 20)(z + 1).$ Son perpendiculares exactamente cuando su cociente $(z - 19)(z + 1)$ es puramente imaginario y no nulo.

Escriba $z = x + 11i.$ La parte real de $(z - 19)(z + 1) = z^2 - 18z - 19$ es $x^2 - 121 - 18x - 19,$ así que necesitamos $x^2 - 18x - 140 = 0,$ lo que da $x = 9 \pm \sqrt{221}.$ La forma $m + \sqrt{n} + 11i$ con $m, n$ enteros positivos requiere $x = 9 + \sqrt{221}.$

Por lo tanto $m + n = 9 + 221 = 230.$

Since $f(w) - w = w(w - 20),$ the two legs at $f(z)$ are $\begin{gathered} f(z) - z = z(z - 20), \\ f(f(z)) - f(z) = f(z) \\ {}\cdot \bigl(f(z) - 20\bigr) \\ = z(z - 19)(z - 20) \\ {}\cdot (z + 1), \end{gathered}$ using $f(z) = z(z - 19)$ and $f(z) - 20 = (z - 20)(z + 1).$ They are perpendicular exactly when their quotient $(z - 19)(z + 1)$ is purely imaginary and nonzero.

Write $z = x + 11i.$ The real part of $(z - 19)(z + 1) = z^2 - 18z - 19$ is $x^2 - 121 - 18x - 19,$ so we need $x^2 - 18x - 140 = 0,$ giving $x = 9 \pm \sqrt{221}.$ The form $m + \sqrt{n} + 11i$ with $m, n$ positive integers requires $x = 9 + \sqrt{221}.$

Hence $m + n = 9 + 221 = 230.$

2019 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años