Question

En $\triangle ABC,$ los lados tienen longitudes enteras y $AB = AC.$ La circunferencia $\omega$ tiene su centro en el incentro de $\triangle ABC.$ Un excírculo de $\triangle ABC$ es una circunferencia en el exterior de $\triangle ABC$ que es tangente a un lado del triángulo y tangente a las extensiones de los otros dos lados. Suponga que el excírculo tangente a $\overline{BC}$ es tangente internamente a $\omega,$ y los otros dos excírculos son ambos tangentes externamente a $\omega.$ Halle el mínimo valor posible del perímetro de $\triangle ABC.$

In $\triangle ABC,$ the sides have integer lengths and $AB = AC.$ Circle $\omega$ has its center at the incenter of $\triangle ABC.$ An excircle of $\triangle ABC$ is a circle in the exterior of $\triangle ABC$ that is tangent to one side of the triangle and tangent to the extensions of the other two sides. Suppose that the excircle tangent to $\overline{BC}$ is internally tangent to $\omega,$ and the other two excircles are both externally tangent to $\omega.$ Find the minimum possible value of the perimeter of $\triangle ABC.$

Respuesta

Solución:

Sea $BC = a$ y $AB = AC = b.$ Coloque $B = \left(-\frac{a}{2}, 0\right),$ $C = \left(\frac{a}{2}, 0\right),$ $A = (0, h)$ con $h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}},$ de modo que el semiperímetro es $s = b + \frac{a}{2}$ y el área es $K = \frac{ah}{2}.$ El inradio y los exradios son $r = \frac{K}{s} = \frac{ah}{a + 2b},$ $r_A = \frac{K}{s - a} = \frac{ah}{2b - a},$ y $r_B = \frac{K}{s - b} = h.$ El incentro es $I = (0, r)$ y el excírculo de $A$ tiene centro $(0, -r_A).$ El excírculo de $B$ toca la recta $BC$ a distancia $s$ de $B,$ es decir, en $x = b,$ así que su centro es $(b, h).$

Tangencia interna con el excírculo de $A$ : la distancia entre centros es $r + r_A,$ así que el radio $\rho$ de $\omega$ satisface $\rho - r_A = r + r_A,$ es decir, $\rho = r + 2r_A.$ La tangencia externa con el excírculo de $B$ requiere $b^2 + (h - r)^2 = (\rho + h)^2$ $= (h + r + 2r_A)^2,$ lo que se reordena como $b^2 = 4(r + r_A)(h + r_A).$ Como $r + r_A = \frac{4abh}{4b^2 - a^2}$ y $h + r_A = \frac{2bh}{2b - a},$ y $h^2 = \frac{4b^2 - a^2}{4},$ la condición se convierte en $b^2 = \frac{8ab^2}{2b - a},$ es decir, $2b - a = 8a,$ así que $2b = 9a.$

Para lados enteros, $a = 2t$ y $b = 9t$ para un entero positivo $t,$ dando perímetro $20t.$ El mínimo es $20,$ alcanzado por el triángulo con lados $9, 9, 2.$

Let $BC = a$ and $AB = AC = b.$ Place $B = \left(-\frac{a}{2}, 0\right),$ $C = \left(\frac{a}{2}, 0\right),$ $A = (0, h)$ with $h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}},$ so the semiperimeter is $s = b + \frac{a}{2}$ and the area is $K = \frac{ah}{2}.$ The inradius and exradii are $r = \frac{K}{s} = \frac{ah}{a + 2b},$ $r_A = \frac{K}{s - a} = \frac{ah}{2b - a},$ and $r_B = \frac{K}{s - b} = h.$ The incenter is $I = (0, r)$ and the $A$ -excircle has center $(0, -r_A).$ The $B$ -excircle touches line $BC$ at distance $s$ from $B,$ that is, at $x = b,$ so its center is $(b, h).$

Internal tangency with the $A$ -excircle: the center distance is $r + r_A,$ so the radius $\rho$ of $\omega$ satisfies $\rho - r_A = r + r_A,$ i.e. $\rho = r + 2r_A.$ External tangency with the $B$ -excircle requires $b^2 + (h - r)^2 = (\rho + h)^2$ $= (h + r + 2r_A)^2,$ which rearranges to $b^2 = 4(r + r_A)(h + r_A).$ Since $r + r_A = \frac{4abh}{4b^2 - a^2}$ and $h + r_A = \frac{2bh}{2b - a},$ and $h^2 = \frac{4b^2 - a^2}{4},$ the condition becomes $b^2 = \frac{8ab^2}{2b - a},$ that is, $2b - a = 8a,$ so $2b = 9a.$

For integer sides, $a = 2t$ and $b = 9t$ for a positive integer $t,$ giving perimeter $20t.$ The minimum is $20,$ achieved by the triangle with sides $9, 9, 2.$

2019 AIME I Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años