Question

En

\triangle ABC,

los lados tienen longitudes enteras y

AB = AC.

La circunferencia

\omega

tiene su centro en el incentro de

\triangle ABC.

Un excírculo de

\triangle ABC

es una circunferencia en el exterior de

\triangle ABC

que es tangente a un lado del triángulo y tangente a las extensiones de los otros dos lados. Suponga que el excírculo tangente a

\overline{BC}

es tangente internamente a

\omega,

y los otros dos excírculos son ambos tangentes externamente a

\omega.

Halle el mínimo valor posible del perímetro de

\triangle ABC.

In

\triangle ABC,

the sides have integer lengths and

AB = AC.

Circle

\omega

has its center at the incenter of

\triangle ABC.

An excircle of

\triangle ABC

is a circle in the exterior of

\triangle ABC

that is tangent to one side of the triangle and tangent to the extensions of the other two sides. Suppose that the excircle tangent to

\overline{BC}

is internally tangent to

\omega,

and the other two excircles are both externally tangent to

\omega.

Find the minimum possible value of the perimeter of

\triangle ABC.

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio circunferencias tangentes geometría analítica

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

La tangencia interna con el excírculo opuesto a

A

obliga a que el radio de

\omega

sea

r + 2r_A,

donde

r

es el inradio y

r_A

ese exradio

Internal tangency with the excircle opposite

A

forces the radius of

\omega

to be

r + 2r_A,

where

r

is the inradius and

r_A

that exradius

Pista grande:

Con

BC

sobre el eje

x

, el excírculo de

B

tiene radio igual a la altura

h

desde

A;

la tangencia externa se reduce a una relación lineal entre la base y el lado

With

BC

on the

x

-axis, the

B

-excircle has radius equal to the height

h

from

A;

the external tangency collapses to one linear relation between base and leg

Solución:

Sea

BC = a

y

AB = AC = b.

Coloque

B = \left(-\frac{a}{2}, 0\right),

C = \left(\frac{a}{2}, 0\right),

A = (0, h)

con

h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}},

de modo que el semiperímetro es

s = b + \frac{a}{2}

y el área es

K = \frac{ah}{2}.

El inradio y los exradios son

r = \frac{K}{s} = \frac{ah}{a + 2b},

r_A = \frac{K}{s - a} = \frac{ah}{2b - a},

y

r_B = \frac{K}{s - b} = h.

El incentro es

I = (0, r)

y el excírculo de

A

tiene centro

(0, -r_A).

El excírculo de

B

toca la recta

BC

a distancia

s

de

B,

es decir, en

x = b,

así que su centro es

(b, h).

Tangencia interna con el excírculo de

A

: la distancia entre centros es

r + r_A,

así que el radio

\rho

de

\omega

satisface

\rho - r_A = r + r_A,

es decir,

\rho = r + 2r_A.

La tangencia externa con el excírculo de

B

requiere

b^2 + (h - r)^2 = (\rho + h)^2

= (h + r + 2r_A)^2,

lo que se reordena como

b^2 = 4(r + r_A)(h + r_A).

Como

r + r_A = \frac{4abh}{4b^2 - a^2}

y

h + r_A = \frac{2bh}{2b - a},

mientras que

h^2 = \frac{4b^2 - a^2}{4},

la condición se convierte en

b^2 = \frac{8ab^2}{2b - a},

es decir,

2b - a = 8a,

así que

2b = 9a.

Para lados enteros,

a = 2t

y

b = 9t

para un entero positivo

t,

dando perímetro

20t.

El mínimo es

20,

alcanzado por el triángulo con lados

9,

9,

2.

Let

BC = a

and

AB = AC = b.

Place

B = \left(-\frac{a}{2}, 0\right),

C = \left(\frac{a}{2}, 0\right),

A = (0, h)

with

h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}},

so the semiperimeter is

s = b + \frac{a}{2}

and the area is

K = \frac{ah}{2}.

The inradius and exradii are

r = \frac{K}{s} = \frac{ah}{a + 2b},

r_A = \frac{K}{s - a} = \frac{ah}{2b - a},

and

r_B = \frac{K}{s - b} = h.

The incenter is

I = (0, r)

and the

A

-excircle has center

(0, -r_A).

The

B

-excircle touches line

BC

at distance

s

from

B,

that is, at

x = b,

so its center is

(b, h).

Internal tangency with the

A

-excircle: the center distance is

r + r_A,

so the radius

\rho

of

\omega

satisfies

\rho - r_A = r + r_A,

i.e.

\rho = r + 2r_A.

External tangency with the

B

-excircle requires

b^2 + (h - r)^2 = (\rho + h)^2

= (h + r + 2r_A)^2,

which rearranges to

b^2 = 4(r + r_A)(h + r_A).

Since

r + r_A = \frac{4abh}{4b^2 - a^2}

and

h + r_A = \frac{2bh}{2b - a},

and

h^2 = \frac{4b^2 - a^2}{4},

the condition becomes

b^2 = \frac{8ab^2}{2b - a},

that is,

2b - a = 8a,

so

2b = 9a.

For integer sides,

a = 2t

and

b = 9t

for a positive integer

t,

giving perimeter

20t.

The minimum is

20,

achieved by the triangle with sides

9,

9,

2.

2019 AIME I Problema 11

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años