Question

Halla el mayor entero $n$ tal que el polinomio cúbico $x^3 - \frac{n}{6}x^2 + (n - 11)x - 400$ tenga raíces $\alpha^2,$ $\beta^2,$ y $\gamma^2,$ donde $\alpha,$ $\beta,$ y $\gamma$ son números complejos, y haya exactamente siete valores posibles distintos para $\alpha + \beta + \gamma.$

Find the greatest integer $n$ such that the cubic polynomial $x^3 - \frac{n}{6}x^2 + (n - 11)x - 400$ has roots $\alpha^2,$ $\beta^2,$ and $\gamma^2,$ where $\alpha,$ $\beta,$ and $\gamma$ are complex numbers, and there are exactly seven different possible values for $\alpha + \beta + \gamma.$

Respuesta

Solución:

Las raíces de la cúbica son $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2.$ Fija raíces cuadradas $s_1, s_2, s_3$ de ellas; entonces $\alpha + \beta + \gamma$ recorre las ocho expresiones $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3,$ que vienen en cuatro pares $\pm v.$ Genéricamente las ocho son distintas. Una coincidencia $v(\varepsilon) = v(\varepsilon')$ entre elecciones que no son opuestas obliga a que $s_i = \pm s_j$ para algún $i \ne j,$ lo que colapsa los ocho valores a lo sumo a seis. Así que aparecen exactamente siete valores precisamente cuando una elección cumple $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3 = 0$ (su opuesta da entonces el mismo valor $0$ ) y no ocurren más degeneraciones.

Esa condición es la anulación de $\begin{aligned} &(s_1 + s_2 + s_3)(-s_1 + s_2 + s_3) \\ &\quad {}\cdot (s_1 - s_2 + s_3)(s_1 + s_2 - s_3) \\ &= 2\sum_{i \lt j} r_i r_j - \sum_i r_i^2 \\ &= 4e_2 - e_1^2, \end{aligned}$ donde $r_i = s_i^2$ son las raíces y $e_1, e_2$ sus funciones simétricas elementales. Por las fórmulas de Vieta $e_1 = \frac{n}{6}$ y $e_2 = n - 11,$ así que $\frac{n^2}{36} = 4(n - 11),$ es decir, $n^2 - 144n + 1584 = 0,$ con raíces $n = 12$ y $n = 132.$

Para $n = 132$ las raíces de la cúbica son distintas y no nulas (el término constante es $400 \ne 0$ ), así que la única coincidencia es el valor $0$ y aparecen exactamente siete sumas. El mayor entero de este tipo es $132.$

The roots of the cubic are $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2.$ Fix square roots $s_1, s_2, s_3$ of them; then $\alpha + \beta + \gamma$ ranges over the eight expressions $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3,$ which come in four pairs $\pm v.$ Generically all eight are distinct. A coincidence $v(\varepsilon) = v(\varepsilon')$ between choices that are not opposite forces $s_i = \pm s_j$ for some $i \ne j,$ which collapses the eight values to at most six. So exactly seven values occur precisely when one choice satisfies $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3 = 0$ — its opposite is then the same value $0$ — and no further degeneracies occur.

That condition is the vanishing of $\begin{aligned} &(s_1 + s_2 + s_3)(-s_1 + s_2 + s_3) \\ &\quad {}\cdot (s_1 - s_2 + s_3)(s_1 + s_2 - s_3) \\ &= 2\sum_{i \lt j} r_i r_j - \sum_i r_i^2 \\ &= 4e_2 - e_1^2, \end{aligned}$ where $r_i = s_i^2$ are the roots and $e_1, e_2$ their elementary symmetric functions. By Vieta's formulas $e_1 = \frac{n}{6}$ and $e_2 = n - 11,$ so $\frac{n^2}{36} = 4(n - 11),$ i.e. $n^2 - 144n + 1584 = 0,$ with roots $n = 12$ and $n = 132.$

For $n = 132$ the cubic's roots are distinct and nonzero (the constant term is $400 \ne 0$ ), so the only coincidence is the value $0$ and exactly seven sums occur. The greatest such integer is $132.$

2026 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años