Question

Halla el mayor entero $n$ tal que el polinomio cúbico $x^3 - \frac{n}{6}x^2 + (n - 11)x - 400$ tenga raíces $\alpha^2,$ $\beta^2,$ y $\gamma^2,$ donde $\alpha,$ $\beta,$ y $\gamma$ son números complejos, y haya exactamente siete valores posibles distintos para $\alpha + \beta + \gamma.$

Find the greatest integer $n$ such that the cubic polynomial $x^3 - \frac{n}{6}x^2 + (n - 11)x - 400$ has roots $\alpha^2,$ $\beta^2,$ and $\gamma^2,$ where $\alpha,$ $\beta,$ and $\gamma$ are complex numbers, and there are exactly seven different possible values for $\alpha + \beta + \gamma.$

Respuesta

Respuesta: 132

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Fija raíces cuadradas $s_1, s_2, s_3$ de las tres raíces; las sumas posibles son $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3,$ ocho expresiones que se emparejan como $\pm v.$

Fix square roots $s_1, s_2, s_3$ of the three roots; the possible sums are $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3,$ eight expressions that pair off as $\pm v.$

Pista grande:

Aparecen exactamente siete valores cuando una combinación es $0;$ el producto de las cuatro expresiones $s_1 \pm s_2 \pm s_3$ es igual a $4e_2 - e_1^2$ en las funciones simétricas de las raíces.

Exactly seven values occur when one combination is $0;$ the product of the four expressions $s_1 \pm s_2 \pm s_3$ equals $4e_2 - e_1^2$ in the roots’ symmetric functions.

Solución:

Las raíces de la cúbica son $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2.$ Fijemos raíces cuadradas $s_1, s_2, s_3$ ; entonces $\alpha + \beta + \gamma$ recorre las ocho expresiones $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3,$ que forman cuatro pares $\pm v.$ En general, las ocho son distintas. El producto de las tres raíces cuadradas elegidas es no nulo porque el término constante de la cúbica es $-400,$ así que cada $s_i$ es no nulo. Una coincidencia $v(\varepsilon) = v(\varepsilon')$ entre elecciones no opuestas debe diferir en dos signos y obliga a $s_i = \pm s_j$ para algún $i \ne j,$ lo que reduce los ocho valores a lo sumo a seis. Por tanto, aparecen exactamente siete valores precisamente cuando alguna elección satisface $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3 = 0$ —su opuesta da entonces el mismo valor $0$ — y no hay más degeneraciones.

Esta condición es que se anule $\begin{aligned} &(s_1 + s_2 + s_3)(-s_1 + s_2 + s_3) \\ &\quad {}\cdot (s_1 - s_2 + s_3)(s_1 + s_2 - s_3) \\ &= 2\sum_{i \lt j} r_i r_j - \sum_i r_i^2 \\ &= 4e_2 - e_1^2, \end{aligned}$ donde $r_i = s_i^2$ son las raíces y $e_1, e_2$ sus funciones simétricas elementales. Por las fórmulas de Vieta, $e_1 = \frac{n}{6}$ y $e_2 = n - 11,$ así que $\frac{n^2}{36} = 4(n - 11),$ es decir, $n^2 - 144n + 1584 = 0,$ con raíces $n = 12$ y $n = 132.$

Para $n = 132$ , la cúbica se factoriza como $(x - 16)(x^2 - 6x + 25),$ con raíces distintas $16,$ $3 + 4i,$ y $3 - 4i.$ Elijamos sus raíces cuadradas como $4,$ $2 + i,$ y $2 - i;$ entonces $4 - (2+i) - (2-i) = 0.$ Las ocho elecciones de signos dan $0$ dos veces y los seis valores no nulos distintos $\pm 8,$ $\pm(4+2i),$ $\pm(4-2i),$ así que aparecen exactamente siete sumas. El mayor entero de este tipo es $132.$

The roots of the cubic are $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2.$ Fix square roots $s_1, s_2, s_3$ of them; then $\alpha + \beta + \gamma$ ranges over the eight expressions $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3,$ which come in four pairs $\pm v.$ Generically all eight are distinct. The product of the three chosen square roots is nonzero because the cubic’s constant term is $-400,$ so every $s_i$ is nonzero. A coincidence $v(\varepsilon) = v(\varepsilon')$ between choices that are not opposite must differ in two signs and forces $s_i = \pm s_j$ for some $i \ne j,$ which collapses the eight values to at most six. So exactly seven values occur precisely when one choice satisfies $\pm s_1 \pm s_2 \pm s_3 = 0$ — its opposite is then the same value $0$ — and no further degeneracies occur.

That condition is the vanishing of $\begin{aligned} &(s_1 + s_2 + s_3)(-s_1 + s_2 + s_3) \\ &\quad {}\cdot (s_1 - s_2 + s_3)(s_1 + s_2 - s_3) \\ &= 2\sum_{i \lt j} r_i r_j - \sum_i r_i^2 \\ &= 4e_2 - e_1^2, \end{aligned}$ where $r_i = s_i^2$ are the roots and $e_1, e_2$ their elementary symmetric functions. By Vieta’s formulas $e_1 = \frac{n}{6}$ and $e_2 = n - 11,$ so $\frac{n^2}{36} = 4(n - 11),$ i.e. $n^2 - 144n + 1584 = 0,$ with roots $n = 12$ and $n = 132.$

For $n = 132$ the cubic factors as $(x - 16)(x^2 - 6x + 25),$ with distinct roots $16,$ $3 + 4i,$ and $3 - 4i.$ Choose their square roots as $4,$ $2 + i,$ and $2 - i;$ then $4 - (2+i) - (2-i) = 0.$ The eight sign choices give $0$ twice and the six distinct nonzero values $\pm 8,$ $\pm(4+2i),$ $\pm(4-2i),$ so exactly seven sums occur. The greatest such integer is $132.$

2026 AIME II Problema 11

Respuesta: 132

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años