Question

Sea

ABCD

un cuadrilátero convexo con

AB = 2,

AD = 7,

y

CD = 3

tal que las bisectrices de los ángulos agudos

\angle DAB

y

\angle ADC

se cortan en el punto medio de

\overline{BC}.

Halla el cuadrado del área de

ABCD.

Let

ABCD

be a convex quadrilateral with

AB = 2,

AD = 7,

and

CD = 3

such that the bisectors of acute angles

\angle DAB

and

\angle ADC

intersect at the midpoint of

\overline{BC}.

Find the square of the area of

ABCD.

Respuesta

Respuesta: 180

Conceptos:bisectriz transformación geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Refleja

B

respecto de la bisectriz trazada desde

A

y

C

respecto de la bisectriz trazada desde

D:

ambas imágenes caen sobre

\overline{AD}

Reflect

B

over the bisector from

A

and

C

over the bisector from

D:

both reflections land on

\overline{AD}

Pista grande:

Como

MB = MC,

el punto medio

M

es equidistante de las dos reflexiones, que están sobre

\overline{AD}

a distancias

2

de

A

y

3

de

D

Since

MB = MC,

the midpoint

M

is equidistant from the two reflections, which lie on

\overline{AD}

at distances

2

from

A

and

3

from

D

Solución:

Coloca

A = (0, 0)

y

D = (7, 0)

con

B, C

por encima del eje, y sea

M

el punto medio de

\overline{BC}.

Reflejar

B

sobre la recta bisectriz

AM

lleva el rayo

AB

al rayo

AD,

así que

B

se transforma en

B' = (2, 0),

y reflejar

C

sobre la bisectriz

DM

da

C' = (4, 0).

Como

M

está sobre ambas rectas espejo,

MB' = MB = MC = MC',

así que

M

es equidistante de

B'

y

C'

y por lo tanto

M = (3, h)

para algún

h \gt 0.

Escribe

\angle DAB = 2\alpha

y

\angle ADC = 2\delta,

de modo que

\tan\alpha = \frac{h}{3}

y

\tan\delta = \frac{h}{4}.

Entonces

B = (2\cos 2\alpha,\, 2\sin 2\alpha)

y

C = (7 - 3\cos 2\delta,\, 3\sin 2\delta),

y la condición del punto medio en las coordenadas

x

dice

2\cos 2\alpha - 3\cos 2\delta = -1.

Sustituyendo

\cos 2\alpha = \frac{9 - h^2}{9 + h^2}

y

\cos 2\delta = \frac{16 - h^2}{16 + h^2}

y despejando los denominadores se obtiene

2h^4 = 10h^2,

así que

h^2 = 5.

(La condición de la coordenada

y

se satisface entonces automáticamente:

2\sin 2\alpha

{}+ 3\sin 2\delta

= \frac{6\sqrt{5}}{7} + \frac{8\sqrt{5}}{7}

= 2h.

)

Ahora

\cos 2\alpha = \frac{2}{7},

\sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7},

\cos 2\delta = \frac{11}{21},

\sin 2\delta = \frac{8\sqrt{5}}{21},

así que

B = \left(\frac{4}{7}, \frac{6\sqrt{5}}{7}\right)

y

C = \left(\frac{38}{7}, \frac{8\sqrt{5}}{7}\right).

La fórmula del zapatero aplicada a

A, B, C, D

da un área de

6\sqrt{5},

cuyo cuadrado es

180.

Place

A = (0, 0)

and

D = (7, 0)

with

B, C

above the axis, and let

M

be the midpoint of

\overline{BC}.

Reflecting

B

over the bisector line

AM

carries ray

AB

to ray

AD,

so

B

maps to

B' = (2, 0),

and reflecting

C

over the bisector

DM

gives

C' = (4, 0).

Since

M

lies on both mirror lines,

MB' = MB = MC = MC',

so

M

is equidistant from

B'

and

C'

and hence

M = (3, h)

for some

h \gt 0.

Write

\angle DAB = 2\alpha

and

\angle ADC = 2\delta,

so

\tan\alpha = \frac{h}{3}

and

\tan\delta = \frac{h}{4}.

Then

B = (2\cos 2\alpha,\, 2\sin 2\alpha)

and

C = (7 - 3\cos 2\delta,\, 3\sin 2\delta),

and the midpoint condition on the

x

-coordinates reads

2\cos 2\alpha - 3\cos 2\delta = -1.

Substituting

\cos 2\alpha = \frac{9 - h^2}{9 + h^2}

and

\cos 2\delta = \frac{16 - h^2}{16 + h^2}

and clearing denominators gives

2h^4 = 10h^2,

so

h^2 = 5.

(The

y

-coordinate condition is then satisfied automatically:

2\sin 2\alpha

{}+ 3\sin 2\delta

= \frac{6\sqrt{5}}{7} + \frac{8\sqrt{5}}{7}

= 2h.

)

Now

\cos 2\alpha = \frac{2}{7},

\sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7},

\cos 2\delta = \frac{11}{21},

\sin 2\delta = \frac{8\sqrt{5}}{21},

so

B = \left(\frac{4}{7}, \frac{6\sqrt{5}}{7}\right)

and

C = \left(\frac{38}{7}, \frac{8\sqrt{5}}{7}\right).

The shoelace formula on

A, B, C, D

gives area

6\sqrt{5},

whose square is

180.

2022 AIME II Problema 11

Respuesta: 180

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años