Question

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB = 2,$ $AD = 7,$ y $CD = 3$ tal que las bisectrices de los ángulos agudos $\angle DAB$ y $\angle ADC$ se cortan en el punto medio de $\overline{BC}.$ Halla el cuadrado del área de $ABCD.$

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $AB = 2,$ $AD = 7,$ and $CD = 3$ such that the bisectors of acute angles $\angle DAB$ and $\angle ADC$ intersect at the midpoint of $\overline{BC}.$ Find the square of the area of $ABCD.$

Respuesta

Solución:

Coloca $A = (0, 0)$ y $D = (7, 0)$ con $B, C$ por encima del eje, y sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}.$ Reflejar $B$ sobre la recta bisectriz $AM$ lleva el rayo $AB$ al rayo $AD,$ así que $B$ se transforma en $B' = (2, 0),$ y reflejar $C$ sobre la bisectriz $DM$ da $C' = (4, 0).$ Como $M$ está sobre ambas rectas espejo, $MB' = MB = MC = MC',$ así que $M$ es equidistante de $B'$ y $C'$ y por lo tanto $M = (3, h)$ para algún $h \gt 0.$

Escribe $\angle DAB = 2\alpha$ y $\angle ADC = 2\delta,$ de modo que $\tan\alpha = \frac{h}{3}$ y $\tan\delta = \frac{h}{4}.$ Entonces $B = (2\cos 2\alpha,\, 2\sin 2\alpha)$ y $C = (7 - 3\cos 2\delta,\, 3\sin 2\delta),$ y la condición del punto medio en las coordenadas $x$ dice $2\cos 2\alpha - 3\cos 2\delta = -1.$ Sustituyendo $\cos 2\alpha = \frac{9 - h^2}{9 + h^2}$ y $\cos 2\delta = \frac{16 - h^2}{16 + h^2}$ y despejando los denominadores se obtiene $2h^4 = 10h^2,$ así que $h^2 = 5.$ (La condición de la coordenada $y$ se satisface entonces automáticamente: $2\sin 2\alpha$ ${}+ 3\sin 2\delta$ $= \frac{6\sqrt{5}}{7} + \frac{8\sqrt{5}}{7}$ $= 2h.$ )

Ahora $\cos 2\alpha = \frac{2}{7},$ $\sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7},$ $\cos 2\delta = \frac{11}{21},$ $\sin 2\delta = \frac{8\sqrt{5}}{21},$ así que $B = \left(\frac{4}{7}, \frac{6\sqrt{5}}{7}\right)$ y $C = \left(\frac{38}{7}, \frac{8\sqrt{5}}{7}\right).$ La fórmula del cordón de zapato sobre $A, B, C, D$ da área $6\sqrt{5},$ cuyo cuadrado es $180.$

Place $A = (0, 0)$ and $D = (7, 0)$ with $B, C$ above the axis, and let $M$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Reflecting $B$ over the bisector line $AM$ carries ray $AB$ to ray $AD,$ so $B$ maps to $B' = (2, 0),$ and reflecting $C$ over the bisector $DM$ gives $C' = (4, 0).$ Since $M$ lies on both mirror lines, $MB' = MB = MC = MC',$ so $M$ is equidistant from $B'$ and $C'$ and hence $M = (3, h)$ for some $h \gt 0.$

Write $\angle DAB = 2\alpha$ and $\angle ADC = 2\delta,$ so $\tan\alpha = \frac{h}{3}$ and $\tan\delta = \frac{h}{4}.$ Then $B = (2\cos 2\alpha,\, 2\sin 2\alpha)$ and $C = (7 - 3\cos 2\delta,\, 3\sin 2\delta),$ and the midpoint condition on the $x$ -coordinates reads $2\cos 2\alpha - 3\cos 2\delta = -1.$ Substituting $\cos 2\alpha = \frac{9 - h^2}{9 + h^2}$ and $\cos 2\delta = \frac{16 - h^2}{16 + h^2}$ and clearing denominators gives $2h^4 = 10h^2,$ so $h^2 = 5.$ (The $y$ -coordinate condition is then satisfied automatically: $2\sin 2\alpha$ ${}+ 3\sin 2\delta$ $= \frac{6\sqrt{5}}{7} + \frac{8\sqrt{5}}{7}$ $= 2h.$ )

Now $\cos 2\alpha = \frac{2}{7},$ $\sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7},$ $\cos 2\delta = \frac{11}{21},$ $\sin 2\delta = \frac{8\sqrt{5}}{21},$ so $B = \left(\frac{4}{7}, \frac{6\sqrt{5}}{7}\right)$ and $C = \left(\frac{38}{7}, \frac{8\sqrt{5}}{7}\right).$ The shoelace formula on $A, B, C, D$ gives area $6\sqrt{5},$ whose square is $180.$

2022 AIME II Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años