Solución:

Multiplica el numerador y el denominador por $2\sin\frac{1}{2}^\circ.$ Como $2\cos n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \sin\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ y $2\sin n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \cos\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ,$ ambas sumas se telescopan: $$\begin{aligned} x &= \frac{\sin 44.5^\circ - \sin 0.5^\circ}{\cos 0.5^\circ - \cos 44.5^\circ} \\ &= \frac{2\cos 22.5^\circ \sin 22^\circ}{2\sin 22.5^\circ \sin 22^\circ} \\ &= \cot 22.5^\circ, \end{aligned}$$ usando las identidades de suma a producto en el último paso.

Por la fórmula del ángulo medio, $\cot 22.5^\circ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} + 1.$ Por lo tanto $100x = 100\sqrt{2} + 100$ $= 241.42\ldots,$ y el mayor entero que no lo excede es $241.$