Question

Sea $x = \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \cos n^\circ}{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \sin n^\circ}.$ ¿Cuál es el mayor entero que no excede a $100x$ ?

Let $x = \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \cos n^\circ}{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \sin n^\circ}.$ What is the greatest integer that does not exceed $100x?$

Respuesta

Respuesta: 241

Conceptos:identidad trigonométrica telescópica

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Multiplica el numerador y el denominador por $2\sin\frac{1}{2}^\circ$ y aplica la suma telescópica usando identidades de producto a suma

Multiply numerator and denominator by $2\sin\frac{1}{2}^\circ$ and telescope using product-to-sum identities

Pista grande:

La identidad de suma a producto convierte el resultado en $\cot 22.5^\circ,$ que la fórmula del ángulo medio evalúa exactamente

Sum-to-product turns the result into $\cot 22.5^\circ,$ which the half-angle formula evaluates exactly

Solución:

Multiplica el numerador y el denominador por $2\sin\frac{1}{2}^\circ.$ Como $2\cos n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \sin\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ y $2\sin n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \cos\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ,$ ambas sumas se telescopan: $\begin{aligned} x &= \frac{\sin 44.5^\circ - \sin 0.5^\circ}{\cos 0.5^\circ - \cos 44.5^\circ} \\ &= \frac{2\cos 22.5^\circ \sin 22^\circ}{2\sin 22.5^\circ \sin 22^\circ} \\ &= \cot 22.5^\circ. \end{aligned}$ En el último paso se usaron las identidades de suma a producto.

Por la fórmula del ángulo medio, $\cot 22.5^\circ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} + 1.$ Como $1.41^2 \lt 2 \lt 1.42^2,$ se tiene $241 \lt 100\sqrt{2} + 100 \lt 242.$ Por lo tanto, el mayor entero que no excede a $100x$ es $241.$

Multiply numerator and denominator by $2\sin\frac{1}{2}^\circ.$ Since $2\cos n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \sin\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ and $2\sin n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \cos\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ,$ both sums telescope: $\begin{aligned} x &= \frac{\sin 44.5^\circ - \sin 0.5^\circ}{\cos 0.5^\circ - \cos 44.5^\circ} \\ &= \frac{2\cos 22.5^\circ \sin 22^\circ}{2\sin 22.5^\circ \sin 22^\circ} \\ &= \cot 22.5^\circ, \end{aligned}$ using the sum-to-product identities in the last step.

By the half-angle formula, $\cot 22.5^\circ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} + 1.$ Since $1.41^2 \lt 2 \lt 1.42^2,$ we have $241 \lt 100\sqrt{2} + 100 \lt 242.$ Therefore the greatest integer not exceeding $100x$ is $241.$

1997 AIME Problema 11

Respuesta: 241

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años