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1997 AIME Problema 11

Intenta el Problema 11 del 1997 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1997 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Sea x=∑n=144cos⁡n∘∑n=144sin⁡n∘.x = \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \cos n^\circ}{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \sin n^\circ}. ¿Cuál es el mayor entero que no excede a 100x100x?
Let x=∑n=144cos⁡n∘∑n=144sin⁡n∘.x = \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \cos n^\circ}{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \sin n^\circ}. What is the greatest integer that does not exceed 100x?100x?
Respuesta: 241
Conceptos:identidad trigonométricatelescópica
Nivel de dificultad: 2710
Pista pequeña:
Multiplica el numerador y el denominador por 2sin⁡12∘2\sin\frac{1}{2}^\circ y aplica la suma telescópica usando identidades de producto a suma
Multiply numerator and denominator by 2sin⁡12∘2\sin\frac{1}{2}^\circ and telescope using product-to-sum identities
Pista grande:
La identidad de suma a producto convierte el resultado en cot⁡22.5∘,\cot 22.5^\circ, que la fórmula del ángulo medio evalúa exactamente
Sum-to-product turns the result into cot⁡22.5∘,\cot 22.5^\circ, which the half-angle formula evaluates exactly
Solución:
Multiplica el numerador y el denominador por 2sin⁡12∘.2\sin\frac{1}{2}^\circ. Como 2cos⁡n∘sin⁡12∘2\cos n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ =sin⁡(n+12)∘= \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ −sin⁡(n−12)∘- \sin\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ y 2sin⁡n∘sin⁡12∘2\sin n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ =cos⁡(n−12)∘= \cos\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ −cos⁡(n+12)∘,- \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ, ambas sumas se telescopan: x=sin⁡44.5∘−sin⁡0.5∘cos⁡0.5∘−cos⁡44.5∘=2cos⁡22.5∘sin⁡22∘2sin⁡22.5∘sin⁡22∘=cot⁡22.5∘. \begin{aligned} x &= \frac{\sin 44.5^\circ - \sin 0.5^\circ}{\cos 0.5^\circ - \cos 44.5^\circ} \\ &= \frac{2\cos 22.5^\circ \sin 22^\circ}{2\sin 22.5^\circ \sin 22^\circ} \\ &= \cot 22.5^\circ. \end{aligned} En el último paso se usaron las identidades de suma a producto.
Por la fórmula del ángulo medio, cot⁡22.5∘=1+cos⁡45∘sin⁡45∘=2+1.\cot 22.5^\circ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} + 1. Como 1.412<2<1.422,1.41^2 \lt 2 \lt 1.42^2, se tiene 241<1002+100<242.241 \lt 100\sqrt{2} + 100 \lt 242. Por lo tanto, el mayor entero que no excede a 100x100x es 241.241.
Multiply numerator and denominator by 2sin⁡12∘.2\sin\frac{1}{2}^\circ. Since 2cos⁡n∘sin⁡12∘2\cos n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ =sin⁡(n+12)∘= \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ −sin⁡(n−12)∘- \sin\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ and 2sin⁡n∘sin⁡12∘2\sin n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ =cos⁡(n−12)∘= \cos\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ −cos⁡(n+12)∘,- \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ, both sums telescope: x=sin⁡44.5∘−sin⁡0.5∘cos⁡0.5∘−cos⁡44.5∘=2cos⁡22.5∘sin⁡22∘2sin⁡22.5∘sin⁡22∘=cot⁡22.5∘, \begin{aligned} x &= \frac{\sin 44.5^\circ - \sin 0.5^\circ}{\cos 0.5^\circ - \cos 44.5^\circ} \\ &= \frac{2\cos 22.5^\circ \sin 22^\circ}{2\sin 22.5^\circ \sin 22^\circ} \\ &= \cot 22.5^\circ, \end{aligned} using the sum-to-product identities in the last step.
By the half-angle formula, cot⁡22.5∘=1+cos⁡45∘sin⁡45∘=2+1.\cot 22.5^\circ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} + 1. Since 1.412<2<1.422,1.41^2 \lt 2 \lt 1.42^2, we have 241<1002+100<242.241 \lt 100\sqrt{2} + 100 \lt 242. Therefore the greatest integer not exceeding 100x100x is 241.241.
Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

El Problema 11 en otros años

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