Question

Dado que $\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n},$ donde los ángulos se miden en grados, y $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí que satisfacen $\frac{m}{n} \lt 90,$ halla $m + n.$

Given that $\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n},$ where angles are measured in degrees, and $m$ and $n$ are relatively prime positive integers that satisfy $\frac{m}{n} \lt 90,$ find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Multiplica la suma por $2 \sin 2.5^\circ$ y aplica $2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ$ $= \cos(5k - 2.5)^\circ$ $- \cos(5k + 2.5)^\circ,$ de modo que la suma se telescopa: $\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto la suma es igual a $\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}$ $= \cot 2.5^\circ$ $= \tan 87.5^\circ$ $= \tan \frac{175}{2}^\circ.$ Como $\gcd(175, 2) = 1$ y $\frac{175}{2} \lt 90,$ obtenemos $m + n = 175 + 2 = 177.$

Multiply the sum by $2 \sin 2.5^\circ$ and apply $2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ$ $= \cos(5k - 2.5)^\circ$ $- \cos(5k + 2.5)^\circ,$ so the sum telescopes: $\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}$

Hence the sum equals $\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}$ $= \cot 2.5^\circ$ $= \tan 87.5^\circ$ $= \tan \frac{175}{2}^\circ.$ Since $\gcd(175, 2) = 1$ and $\frac{175}{2} \lt 90,$ we get $m + n = 175 + 2 = 177.$

1999 AIME Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años