Question

Se dan diez puntos en el plano, sin que haya tres colineales. Se eligen al azar cuatro segmentos distintos que unen pares de estos puntos, siendo todos esos segmentos igualmente probables. La probabilidad de que algunos tres de los segmentos formen un triángulo cuyos vértices estén entre los diez puntos dados es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Ten points in the plane are given, with no three collinear. Four distinct segments joining pairs of these points are chosen at random, all such segments being equally likely. The probability that some three of the segments form a triangle whose vertices are among the ten given points is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Hay $\binom{10}{2} = 45$ segmentos, así que $\binom{45}{4} = 148995$ elecciones igualmente probables. Dos triángulos distintos comparten a lo sumo una arista, de modo que juntos usan al menos $5$ segmentos; por tanto un conjunto de $4$ segmentos contiene a lo sumo un triángulo, y los conjuntos favorables se cuentan exactamente una vez eligiendo un triángulo y luego un cuarto segmento: $\begin{aligned} &\binom{10}{3} \cdot (45 - 3) = 120 \cdot 42 \\ &= 5040. \end{aligned}$

La probabilidad es $\frac{5040}{148995} = \frac{16}{473},$ ya en su forma más simple ( $473 = 11 \cdot 43$ ), así que $m + n = 16 + 473 = 489.$

There are $\binom{10}{2} = 45$ segments, so $\binom{45}{4} = 148995$ equally likely choices. Two distinct triangles share at most one edge, so together they use at least $5$ segments; hence a set of $4$ segments contains at most one triangle, and the favorable sets are counted exactly once by choosing a triangle and then a fourth segment: $\begin{aligned} &\binom{10}{3} \cdot (45 - 3) = 120 \cdot 42 \\ &= 5040. \end{aligned}$

The probability is $\frac{5040}{148995} = \frac{16}{473},$ already in lowest terms ( $473 = 11 \cdot 43$ ), so $m + n = 16 + 473 = 489.$

1999 AIME Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años