Question

Un círculo con centro $O$ tiene radio $25.$ La cuerda $\overline{AB}$ de longitud $30$ y la cuerda $\overline{CD}$ de longitud $14$ se cortan en el punto $P.$ La distancia entre los puntos medios de las dos cuerdas es $12.$ La cantidad $OP^2$ puede representarse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla el residuo cuando $m + n$ se divide entre $1000.$

A circle with center $O$ has radius $25.$ Chord $\overline{AB}$ of length $30$ and chord $\overline{CD}$ of length $14$ intersect at point $P.$ The distance between the midpoints of the two chords is $12.$ The quantity $OP^2$ can be represented as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find the remainder when $m + n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{CD}.$ El segmento del centro al punto medio de una cuerda es perpendicular a la cuerda, así que $OM = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$ y $ON = \sqrt{25^2 - 7^2} = 24,$ con $MN = 12.$

Como $P$ está sobre ambas cuerdas, $\angle OMP = \angle ONP = 90^\circ,$ así que $M$ y $N$ están sobre el círculo de diámetro $OP.$ En el triángulo $OMN,$ la ley de cosenos da $\begin{aligned} \cos \angle MON &= \frac{20^2 + 24^2 - 12^2}{2 \cdot 20 \cdot 24} \\ &= \frac{832}{960} = \frac{13}{15}, \end{aligned}$ así que $\sin \angle MON = \frac{2\sqrt{14}}{15}.$ En el círculo que pasa por $O,$ $M,$ $P,$ $N,$ la ley de senos extendida dice que la cuerda $MN$ es igual al diámetro $OP$ por $\sin \angle MON,$ así que $\begin{aligned} OP &= \frac{12}{\frac{2\sqrt{14}}{15}} = \frac{90}{\sqrt{14}}, \end{aligned}$ $\begin{aligned} OP^2 &= \frac{8100}{14} = \frac{4050}{7}. \end{aligned}$

Entonces $m + n = 4050 + 7 = 4057,$ que deja residuo $57$ al dividir entre $1000.$

Let $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{AB}$ and $\overline{CD}.$ The segment from the center to a chord's midpoint is perpendicular to the chord, so $OM = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$ and $ON = \sqrt{25^2 - 7^2} = 24,$ with $MN = 12.$

Since $P$ lies on both chords, $\angle OMP = \angle ONP = 90^\circ,$ so $M$ and $N$ lie on the circle with diameter $OP.$ In triangle $OMN,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} \cos \angle MON &= \frac{20^2 + 24^2 - 12^2}{2 \cdot 20 \cdot 24} \\ &= \frac{832}{960} = \frac{13}{15}, \end{aligned}$ so $\sin \angle MON = \frac{2\sqrt{14}}{15}.$ In the circle through $O,$ $M,$ $P,$ $N,$ the extended law of sines says the chord $MN$ equals the diameter $OP$ times $\sin \angle MON,$ so $\begin{aligned} OP &= \frac{12}{\frac{2\sqrt{14}}{15}} = \frac{90}{\sqrt{14}}, \end{aligned}$ $\begin{aligned} OP^2 &= \frac{8100}{14} = \frac{4050}{7}. \end{aligned}$

Then $m + n = 4050 + 7 = 4057,$ which leaves remainder $57$ upon division by $1000.$

2011 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años