Question

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de todos los cuadrados perfectos cuyos tres dígitos más a la derecha en base $10$ son $256.$ Sea $\mathcal{T}$ el conjunto de todos los números de la forma $\frac{x - 256}{1000},$ donde $x$ está en $\mathcal{S}.$ En otras palabras, $\mathcal{T}$ es el conjunto de números que resultan al truncar los últimos tres dígitos de cada número de $\mathcal{S}.$ Halla el residuo cuando el décimo elemento más pequeño de $\mathcal{T}$ se divide entre $1000.$

Let $\mathcal{S}$ be the set of all perfect squares whose rightmost three digits in base $10$ are $256.$ Let $\mathcal{T}$ be the set of all numbers of the form $\frac{x - 256}{1000},$ where $x$ is in $\mathcal{S}.$ In other words, $\mathcal{T}$ is the set of numbers that result when the last three digits of each number in $\mathcal{S}$ are truncated. Find the remainder when the tenth smallest element of $\mathcal{T}$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 170

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

$n^2 - 256$ $= (n - 16)(n + 16)$ es divisible por $1000;$ trata por separado las potencias de primos $8$ y $125$

$n^2 - 256$ $= (n - 16)(n + 16)$ is divisible by $1000;$ handle the prime powers $8$ and $125$ separately

Pista grande:

$125$ debe dividir a uno de los dos factores, y $n$ es divisible por $4;$ estos se combinan en $n \equiv \pm 16 \pmod{500}$

$125$ must divide one of the two factors, and $n$ is divisible by $4;$ these combine to $n \equiv \pm 16 \pmod{500}$

Solución:

Un cuadrado $n^2$ termina en $256$ exactamente cuando $n^2 - 256$ $= (n - 16)(n + 16)$ es divisible por $1000.$ Módulo $8:$ $n^2 \equiv 0 \pmod 8$ obliga a que $n$ sea divisible por $4.$ Módulo $125:$ los factores $n \pm 16$ difieren en $32,$ así que $5$ divide a lo sumo a uno de ellos, y por tanto $125$ debe dividir a un único factor: $n \equiv \pm 16 \pmod{125}.$ Como $16$ es múltiplo de $4,$ las dos condiciones se combinan en $n \equiv \pm 16 \pmod{500}.$

Así, $\mathcal{S}$ consta de los números $(500m \pm 16)^2,$ cuyas raíces cuadradas en orden creciente son $16,$ $484,$ $516,$ $984,$ $1016,$ $\ldots.$ El décimo elemento más pequeño de $\mathcal{S}$ es $(500 \cdot 5 - 16)^2 = 2484^2.$

El elemento correspondiente de $\mathcal{T}$ es $\frac{2484^2 - 256}{1000} = \frac{2468 \cdot 2500}{1000} = 6170,$ cuyo residuo al dividir entre $1000$ es $170.$

A square $n^2$ ends in $256$ exactly when $n^2 - 256$ $= (n - 16)(n + 16)$ is divisible by $1000.$ Modulo $8:$ $n^2 \equiv 0 \pmod 8$ forces $n$ to be divisible by $4.$ Modulo $125:$ the factors $n \pm 16$ differ by $32,$ so $5$ divides at most one of them, and hence $125$ must divide a single factor: $n \equiv \pm 16 \pmod{125}.$ Because $16$ is a multiple of $4,$ the two conditions combine to $n \equiv \pm 16 \pmod{500}.$

So $\mathcal{S}$ consists of the numbers $(500m \pm 16)^2,$ whose square roots in increasing order are $16,$ $484,$ $516,$ $984,$ $1016,$ $\ldots.$ The tenth smallest element of $\mathcal{S}$ is $(500 \cdot 5 - 16)^2 = 2484^2.$

The corresponding element of $\mathcal{T}$ is $\frac{2484^2 - 256}{1000} = \frac{2468 \cdot 2500}{1000} = 6170,$ whose remainder upon division by $1000$ is $170.$

2012 AIME I Problema 10

Respuesta: 170

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años