Question

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de todos los cuadrados perfectos cuyos tres dígitos más a la derecha en base $10$ son $256.$ Sea $\mathcal{T}$ el conjunto de todos los números de la forma $\frac{x - 256}{1000},$ donde $x$ está en $\mathcal{S}.$ En otras palabras, $\mathcal{T}$ es el conjunto de números que resultan al truncar los últimos tres dígitos de cada número de $\mathcal{S}.$ Halla el residuo cuando el décimo elemento más pequeño de $\mathcal{T}$ se divide entre $1000.$

Let $\mathcal{S}$ be the set of all perfect squares whose rightmost three digits in base $10$ are $256.$ Let $\mathcal{T}$ be the set of all numbers of the form $\frac{x - 256}{1000},$ where $x$ is in $\mathcal{S}.$ In other words, $\mathcal{T}$ is the set of numbers that result when the last three digits of each number in $\mathcal{S}$ are truncated. Find the remainder when the tenth smallest element of $\mathcal{T}$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Un cuadrado $n^2$ termina en $256$ exactamente cuando $1000 \mid n^2 - 256$ $= (n - 16)(n + 16).$ Módulo $8:$ $n^2 \equiv 0 \pmod 8$ obliga a $4 \mid n.$ Módulo $125:$ los factores $n \pm 16$ difieren en $32,$ así que $5$ divide a lo sumo a uno de ellos, y por tanto $125$ debe dividir a un único factor: $n \equiv \pm 16 \pmod{125}.$ Como $16$ es múltiplo de $4,$ las dos condiciones se combinan en $n \equiv \pm 16 \pmod{500}.$

Así, $\mathcal{S}$ consta de los números $(500m \pm 16)^2,$ cuyas raíces cuadradas en orden creciente son $16,$ $484,$ $516,$ $984,$ $1016, \ldots.$ El décimo elemento más pequeño de $\mathcal{S}$ es $(500 \cdot 5 - 16)^2 = 2484^2.$

El elemento correspondiente de $\mathcal{T}$ es $\frac{2484^2 - 256}{1000} = \frac{2468 \cdot 2500}{1000} = 6170,$ cuyo residuo al dividir entre $1000$ es $170.$

A square $n^2$ ends in $256$ exactly when $1000 \mid n^2 - 256$ $= (n - 16)(n + 16).$ Modulo $8:$ $n^2 \equiv 0 \pmod 8$ forces $4 \mid n.$ Modulo $125:$ the factors $n \pm 16$ differ by $32,$ so $5$ divides at most one of them, and hence $125$ must divide a single factor: $n \equiv \pm 16 \pmod{125}.$ Because $16$ is a multiple of $4,$ the two conditions combine to $n \equiv \pm 16 \pmod{500}.$

So $\mathcal{S}$ consists of the numbers $(500m \pm 16)^2,$ whose square roots in increasing order are $16,$ $484,$ $516,$ $984,$ $1016, \ldots.$ The tenth smallest element of $\mathcal{S}$ is $(500 \cdot 5 - 16)^2 = 2484^2.$

The corresponding element of $\mathcal{T}$ is $\frac{2484^2 - 256}{1000} = \frac{2468 \cdot 2500}{1000} = 6170,$ whose remainder upon division by $1000$ is $170.$

2012 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años