Question

Sea

ABCD

un trapecio isósceles con

\overline{AD} \parallel \overline{BC}

cuyo ángulo en la base más larga

\overline{AD}

es

\frac{\pi}{3}.

Las diagonales tienen longitud

10\sqrt{21},

y el punto

E

está a distancias

10\sqrt{7}

y

30\sqrt{7}

de los vértices

A

y

D,

respectivamente. Sea

F

el pie de la altura desde

C

hacia

\overline{AD}.

La distancia

EF

puede expresarse en la forma

m\sqrt{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos y

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

m + n.

Let

ABCD

be an isosceles trapezoid with

\overline{AD} \parallel \overline{BC}

whose angle at the longer base

\overline{AD}

is

\frac{\pi}{3}.

The diagonals have length

10\sqrt{21},

and point

E

is at distances

10\sqrt{7}

and

30\sqrt{7}

from vertices

A

and

D,

respectively. Let

F

be the foot of the altitude from

C

to

\overline{AD}.

The distance

EF

can be expressed in the form

m\sqrt{n},

where

m

and

n

are positive integers and

n

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 32

Conceptos:trapecio ley de los senos desigualdad triangular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

La desigualdad triangular da

30\sqrt{7} = DE \le DA + AE,

así que

DA \ge 20\sqrt{7}

The triangle inequality gives

30\sqrt{7} = DE \le DA + AE,

so

DA \ge 20\sqrt{7}

Pista grande:

La ley de los senos en el triángulo

ACD

da

DA = 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \le 20\sqrt{7},

así que la igualdad se cumple en todas partes:

\angle DCA = 90^\circ

y

E

está sobre el rayo

DA

más allá de

A

The Law of Sines in triangle

ACD

gives

DA = 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \le 20\sqrt{7},

so equality holds everywhere:

\angle DCA = 90^\circ

and

E

lies on ray

DA

beyond

A

Solución:

Por la desigualdad triangular,

30\sqrt{7} = DE

\le DA + AE

= DA + 10\sqrt{7},

así que

DA \ge 20\sqrt{7}.

Por otro lado, en el triángulo

ACD

el ángulo en

D

es

\frac{\pi}{3}

y

AC = 10\sqrt{21},

así que la ley de los senos da

\begin{aligned} DA &= \frac{AC \sin\angle DCA}{\sin\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{10\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sin\angle DCA \\ &= 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \\ &\le 20\sqrt{7}. \end{aligned}

Ambas cotas fuerzan

DA = 20\sqrt{7},

así que

\angle DCA = 90^\circ,

y la igualdad en la desigualdad triangular significa que

E

está sobre la recta

AD

con

A

entre

D

y

E.

Del triángulo rectángulo,

DC = \sqrt{DA^2 - AC^2}

= \sqrt{2800 - 2100}

= 10\sqrt{7},

y como

\angle CDF = 60^\circ,

el pie satisface

DF = DC\cos 60^\circ = 5\sqrt{7}.

Los puntos

F

y

E

están sobre la recta

AD

del mismo lado de

D,

así que

EF = DE - DF

= 30\sqrt{7} - 5\sqrt{7}

= 25\sqrt{7},

y

m + n = 25 + 7 = 32.

By the triangle inequality,

30\sqrt{7} = DE

\le DA + AE

= DA + 10\sqrt{7},

so

DA \ge 20\sqrt{7}.

On the other hand, in triangle

ACD

the angle at

D

is

\frac{\pi}{3}

and

AC = 10\sqrt{21},

so the Law of Sines gives

\begin{aligned} DA &= \frac{AC \sin\angle DCA}{\sin\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{10\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sin\angle DCA \\ &= 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \\ &\le 20\sqrt{7}. \end{aligned}

Both bounds force

DA = 20\sqrt{7},

so

\angle DCA = 90^\circ,

and equality in the triangle inequality means

E

lies on line

AD

with

A

between

D

and

E.

From the right triangle,

DC = \sqrt{DA^2 - AC^2}

= \sqrt{2800 - 2100}

= 10\sqrt{7},

and since

\angle CDF = 60^\circ,

the foot satisfies

DF = DC\cos 60^\circ = 5\sqrt{7}.

Points

F

and

E

are on line

AD

on the same side of

D,

so

EF = DE - DF

= 30\sqrt{7} - 5\sqrt{7}

= 25\sqrt{7},

and

m + n = 25 + 7 = 32.

2008 AIME I Problema 10

Respuesta: 32

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años