Question

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ cuyo ángulo en la base más larga $\overline{AD}$ es $\frac{\pi}{3}.$ Las diagonales tienen longitud $10\sqrt{21},$ y el punto $E$ está a distancias $10\sqrt{7}$ y $30\sqrt{7}$ de los vértices $A$ y $D,$ respectivamente. Sea $F$ el pie de la altura desde $C$ hacia $\overline{AD}.$ La distancia $EF$ puede expresarse en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid with $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ whose angle at the longer base $\overline{AD}$ is $\frac{\pi}{3}.$ The diagonals have length $10\sqrt{21},$ and point $E$ is at distances $10\sqrt{7}$ and $30\sqrt{7}$ from vertices $A$ and $D,$ respectively. Let $F$ be the foot of the altitude from $C$ to $\overline{AD}.$ The distance $EF$ can be expressed in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Por la desigualdad triangular, $30\sqrt{7} = DE$ $\le DA + AE$ $= DA + 10\sqrt{7},$ así que $DA \ge 20\sqrt{7}.$ Por otro lado, en el triángulo $ACD$ el ángulo en $D$ es $\frac{\pi}{3}$ y $AC = 10\sqrt{21},$ así que la ley de los senos da $\begin{aligned} DA &= \frac{AC \sin\angle DCA}{\sin\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{10\sqrt{21}}{\sqrt{3}/2}\sin\angle DCA \\ &= 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \\ &\le 20\sqrt{7}. \end{aligned}$

Ambas cotas fuerzan $DA = 20\sqrt{7},$ así que $\angle DCA = 90^\circ,$ y la igualdad en la desigualdad triangular significa que $E$ está sobre la recta $AD$ con $A$ entre $D$ y $E.$ Del triángulo rectángulo, $DC = \sqrt{DA^2 - AC^2}$ $= \sqrt{2800 - 2100}$ $= 10\sqrt{7},$ y como $\angle CDF = 60^\circ,$ el pie satisface $DF = DC\cos 60^\circ = 5\sqrt{7}.$

Los puntos $F$ y $E$ están sobre la recta $AD$ del mismo lado de $D,$ así que $EF = DE - DF$ $= 30\sqrt{7} - 5\sqrt{7}$ $= 25\sqrt{7},$ y $m + n = 25 + 7 = 32.$

By the triangle inequality, $30\sqrt{7} = DE$ $\le DA + AE$ $= DA + 10\sqrt{7},$ so $DA \ge 20\sqrt{7}.$ On the other hand, in triangle $ACD$ the angle at $D$ is $\frac{\pi}{3}$ and $AC = 10\sqrt{21},$ so the Law of Sines gives $\begin{aligned} DA &= \frac{AC \sin\angle DCA}{\sin\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{10\sqrt{21}}{\sqrt{3}/2}\sin\angle DCA \\ &= 20\sqrt{7}\sin\angle DCA \\ &\le 20\sqrt{7}. \end{aligned}$

Both bounds force $DA = 20\sqrt{7},$ so $\angle DCA = 90^\circ,$ and equality in the triangle inequality means $E$ lies on line $AD$ with $A$ between $D$ and $E.$ From the right triangle, $DC = \sqrt{DA^2 - AC^2}$ $= \sqrt{2800 - 2100}$ $= 10\sqrt{7},$ and since $\angle CDF = 60^\circ,$ the foot satisfies $DF = DC\cos 60^\circ = 5\sqrt{7}.$

Points $F$ and $E$ are on line $AD$ on the same side of $D,$ so $EF = DE - DF$ $= 30\sqrt{7} - 5\sqrt{7}$ $= 25\sqrt{7},$ and $m + n = 25 + 7 = 32.$

2008 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años