Question

Halle el número de enteros positivos $n$ menores que $1000$ para los cuales existe un número real positivo $x$ tal que $n = x\lfloor x \rfloor.$

Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$

Find the number of positive integers $n$ less than $1000$ for which there exists a positive real number $x$ such that $n = x\lfloor x \rfloor.$

Note: $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$

Respuesta

Solución:

Fije $\lfloor x \rfloor = a \ge 1.$ Para $a \le x \lt a + 1$ el producto $n = ax$ recorre $[a^2, a^2 + a),$ y todo entero $n$ de ese intervalo se alcanza con $x = \frac{n}{a}$ (que en efecto tiene parte entera $a$ ). Así que cada $a$ aporta exactamente $a$ valores de $n,$ a saber $a^2, a^2 + 1, \ldots, a^2 + a - 1.$

Para $a = 31$ el mayor valor es $31^2 + 30 = 991 \lt 1000,$ así que todos los valores hasta $a = 31$ califican, mientras que $a = 32$ ya empieza en $1024.$ El conteo es $1 + 2 + \cdots + 31 = \frac{31 \cdot 32}{2} = 496.$

Fix $\lfloor x \rfloor = a \ge 1.$ For $a \le x \lt a + 1$ the product $n = ax$ ranges over $[a^2, a^2 + a),$ and every integer $n$ in that interval is achieved by $x = \frac{n}{a}$ (which indeed has floor $a$ ). So each $a$ contributes exactly $a$ values of $n,$ namely $a^2, a^2 + 1, \ldots, a^2 + a - 1.$

For $a = 31$ the largest value is $31^2 + 30 = 991 \lt 1000,$ so all values through $a = 31$ qualify, while $a = 32$ already starts at $1024.$ The count is $1 + 2 + \cdots + 31 = \frac{31 \cdot 32}{2} = 496.$

2012 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años