Question

Tres esferas de radios $11,$ $13,$ y $19$ son mutuamente tangentes externamente. Un plano corta a las esferas en tres circunferencias congruentes con centros en $A,$ $B,$ y $C,$ respectivamente, y los centros de las esferas están todos del mismo lado de este plano. Supón que $AB^2 = 560.$ Halla $AC^2.$

Three spheres with radii $11,$ $13,$ and $19$ are mutually externally tangent. A plane intersects the spheres in three congruent circles centered at $A,$ $B,$ and $C,$ respectively, and the centers of the spheres all lie on the same side of this plane. Suppose that $AB^2 = 560.$ Find $AC^2.$

Respuesta

Solución:

Sean las alturas de los centros de las esferas $h_1, h_2, h_3$ sobre el plano. El centro de cada circunferencia es el pie de la perpendicular desde el centro de la esfera, y el radio común de las circunferencias $\rho$ satisface $\rho^2 = 11^2 - h_1^2$ $= 13^2 - h_2^2$ $= 19^2 - h_3^2.$

Las dos primeras esferas son tangentes, así que sus centros distan $11 + 13 = 24,$ y proyectando sobre el plano, $AB^2 = 24^2 - (h_2 - h_1)^2.$ Por lo tanto $(h_2 - h_1)^2 = 576 - 560 = 16.$ La congruencia da $h_2^2 - h_1^2 = 169 - 121 = 48,$ así que $h_2 - h_1 = 4$ y $h_2 + h_1 = 12$ (el otro signo da una suma negativa), lo que produce $h_1 = 4,$ $h_2 = 8,$ y $\rho^2 = 121 - 16 = 105.$ Entonces $h_3^2 = 361 - 105 = 256,$ así que $h_3 = 16.$

El primer y el tercer centro distan $11 + 19 = 30,$ así que $\begin{aligned} AC^2 &= 30^2 - (h_3 - h_1)^2 \\ &= 900 - 144 = 756. \end{aligned}$

Let the sphere centers be at heights $h_1, h_2, h_3$ above the plane. Each circle's center is the foot of the perpendicular from the sphere's center, and the common circle radius $\rho$ satisfies $\rho^2 = 11^2 - h_1^2$ $= 13^2 - h_2^2$ $= 19^2 - h_3^2.$

The first two spheres are tangent, so their centers are $11 + 13 = 24$ apart, and projecting onto the plane, $AB^2 = 24^2 - (h_2 - h_1)^2.$ Thus $(h_2 - h_1)^2 = 576 - 560 = 16.$ Congruence gives $h_2^2 - h_1^2 = 169 - 121 = 48,$ so $h_2 - h_1 = 4$ and $h_2 + h_1 = 12$ (the other sign gives a negative sum), yielding $h_1 = 4,$ $h_2 = 8,$ and $\rho^2 = 121 - 16 = 105.$ Then $h_3^2 = 361 - 105 = 256,$ so $h_3 = 16.$

The first and third centers are $11 + 19 = 30$ apart, so $\begin{aligned} AC^2 &= 30^2 - (h_3 - h_1)^2 \\ &= 900 - 144 = 756. \end{aligned}$

2022 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años