Question

Dado un círculo de radio $\sqrt{13},$ sea $A$ un punto a distancia $4 + \sqrt{13}$ del centro $O$ del círculo. Sea $B$ el punto del círculo más cercano al punto $A.$ Una recta que pasa por el punto $A$ corta al círculo en los puntos $K$ y $L.$ El área máxima posible de $\triangle BKL$ puede escribirse en la forma $\frac{a - b\sqrt{c}}{d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos, $a$ y $d$ son primos entre sí, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c + d.$

Given a circle of radius $\sqrt{13},$ let $A$ be a point at a distance $4 + \sqrt{13}$ from the center $O$ of the circle. Let $B$ be the point on the circle nearest to point $A.$ A line passing through the point $A$ intersects the circle at points $K$ and $L.$ The maximum possible area for $\triangle BKL$ can be written in the form $\frac{a - b\sqrt{c}}{d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers, $a$ and $d$ are relatively prime, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

Respuesta

Solución:

El punto más cercano $B$ está sobre el segmento $OA$ con $OB = \sqrt{13}$ y $AB = 4.$ Los triángulos $OKL$ y $BKL$ comparten la base $KL,$ y sus alturas son las distancias desde $O$ y $B$ a la recta que pasa por $A.$ Para cualquier punto $P$ sobre la recta $OA,$ esa distancia es $PA\sin\varphi,$ donde $\varphi$ es el ángulo entre las dos rectas, así que $\frac{[BKL]}{[OKL]} = \frac{AB}{AO} = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}.$

Como $OK = OL = \sqrt{13},$ tenemos $[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL) \le \frac{13}{2},$ con igualdad cuando $\angle KOL = 90^\circ.$ Tal cuerda está a distancia $\sqrt{13/2}$ de $O,$ que es menor que $OA,$ así que una recta que pasa por $A$ puede alcanzarla.

El área máxima es $\begin{aligned} [BKL] &= \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{13}} \\ &= \frac{26}{4 + \sqrt{13}} = \frac{26(4 - \sqrt{13})}{3} \\ &= \frac{104 - 26\sqrt{13}}{3}, \end{aligned}$ así que $a + b + c + d$ $= 104 + 26 + 13 + 3$ $= 146.$

The nearest point $B$ lies on segment $OA$ with $OB = \sqrt{13}$ and $AB = 4.$ Triangles $OKL$ and $BKL$ share the base $KL,$ and their heights are the distances from $O$ and $B$ to the line through $A.$ For any point $P$ on line $OA,$ that distance is $PA\sin\varphi,$ where $\varphi$ is the angle between the two lines, so $\frac{[BKL]}{[OKL]} = \frac{AB}{AO} = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}.$

Since $OK = OL = \sqrt{13},$ we have $[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL) \le \frac{13}{2},$ with equality when $\angle KOL = 90^\circ.$ Such a chord lies at distance $\sqrt{13/2}$ from $O,$ which is less than $OA,$ so a line through $A$ can achieve it.

The maximum area is $\begin{aligned} [BKL] &= \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{13}} \\ &= \frac{26}{4 + \sqrt{13}} = \frac{26(4 - \sqrt{13})}{3} \\ &= \frac{104 - 26\sqrt{13}}{3}, \end{aligned}$ so $a + b + c + d$ $= 104 + 26 + 13 + 3$ $= 146.$

2013 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años