Question

El triángulo $ABC$ es isósceles con $AC = BC$ y $\angle ACB = 106^\circ.$ El punto $M$ está en el interior del triángulo de modo que $\angle MAC = 7^\circ$ y $\angle MCA = 23^\circ.$ Halla el número de grados de $\angle CMB.$

Triangle $ABC$ is isosceles with $AC = BC$ and $\angle ACB = 106^\circ.$ Point $M$ is in the interior of the triangle so that $\angle MAC = 7^\circ$ and $\angle MCA = 23^\circ.$ Find the number of degrees in $\angle CMB.$

Respuesta

Solución:

Supón que $AC = BC = 1.$ En el triángulo $AMC,$ los ángulos en $A$ y $C$ son $7^\circ$ y $23^\circ,$ así que $\angle AMC = 150^\circ,$ y la ley de los senos da $CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ.$

Además $\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ,$ cuyo coseno es $\sin 7^\circ.$ La ley de los cosenos en el triángulo $BMC$ da entonces $\begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1. \end{aligned}$

Así que $MB = 1 = CB,$ lo que hace que el triángulo $BMC$ sea isósceles con $\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ.$ La respuesta es $83.$

Assume $AC = BC = 1.$ In triangle $AMC,$ the angles at $A$ and $C$ are $7^\circ$ and $23^\circ,$ so $\angle AMC = 150^\circ,$ and the Law of Sines gives $CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ.$

Also $\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ,$ whose cosine is $\sin 7^\circ.$ The Law of Cosines in triangle $BMC$ then gives $\begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1. \end{aligned}$

So $MB = 1 = CB,$ making triangle $BMC$ isosceles with $\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ.$ The answer is $83.$

2003 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años