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2003 AIME I Problema 10

Intenta el Problema 10 del 2003 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

El triángulo ABCABC es isósceles con AC=BCAC = BC y ∠ACB=106∘.\angle ACB = 106^\circ. El punto MM está en el interior del triángulo de modo que ∠MAC=7∘\angle MAC = 7^\circ y ∠MCA=23∘.\angle MCA = 23^\circ. Halla el número de grados de ∠CMB.\angle CMB.
Triangle ABCABC is isosceles with AC=BCAC = BC and ∠ACB=106∘.\angle ACB = 106^\circ. Point MM is in the interior of the triangle so that ∠MAC=7∘\angle MAC = 7^\circ and ∠MCA=23∘.\angle MCA = 23^\circ. Find the number of degrees in ∠CMB.\angle CMB.
Respuesta: 83
Conceptos:ley de los senosley de los cosenostriángulo isósceles
Nivel de dificultad: 2920
Pista pequeña:
Los ángulos de la base son 37∘.37^\circ. En el triángulo AMC,AMC, la ley de los senos con AC=1AC = 1 da CM=2sin⁡7∘.CM = 2\sin 7^\circ.
The base angles are 37∘.37^\circ. In triangle AMC,AMC, the Law of Sines with AC=1AC = 1 gives CM=2sin⁡7∘.CM = 2\sin 7^\circ.
Pista grande:
Aplica la ley de los cosenos en el triángulo BMC,BMC, usando el hecho de que el coseno de ∠MCB\angle MCB es igual a sin⁡7∘,\sin 7^\circ, para demostrar que MB=CBMB = CB.
Apply the Law of Cosines in triangle BMC,BMC, using the fact that the cosine of ∠MCB\angle MCB equals sin⁡7∘,\sin 7^\circ, to show MB=CBMB = CB
Solución:
Supón que AC=BC=1.AC = BC = 1. En el triángulo AMC,AMC, los ángulos en AA y CC son 7∘7^\circ y 23∘,23^\circ, así que ∠AMC=150∘,\angle AMC = 150^\circ, y la ley de los senos da CM=sin⁡7∘sin⁡150∘=2sin⁡7∘.CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ.
Además ∠MCB=106∘−23∘=83∘,\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ, cuyo coseno es sin⁡7∘.\sin 7^\circ. La ley de los cosenos en el triángulo BMCBMC da entonces MB2=CM2+CB2−2⋅CM⋅CBcos⁡83∘=4sin⁡27∘+1−4sin⁡27∘=1. \begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1. \end{aligned}
Así que MB=1=CB,MB = 1 = CB, lo que hace que el triángulo BMCBMC sea isósceles con ∠CMB=∠MCB=83∘.\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ. La respuesta es 83.83.
Assume AC=BC=1.AC = BC = 1. In triangle AMC,AMC, the angles at AA and CC are 7∘7^\circ and 23∘,23^\circ, so ∠AMC=150∘,\angle AMC = 150^\circ, and the Law of Sines gives CM=sin⁡7∘sin⁡150∘=2sin⁡7∘.CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ.
Also ∠MCB=106∘−23∘=83∘,\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ, whose cosine is sin⁡7∘.\sin 7^\circ. The Law of Cosines in triangle BMCBMC then gives MB2=CM2+CB2−2⋅CM⋅CBcos⁡83∘=4sin⁡27∘+1−4sin⁡27∘=1. \begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1. \end{aligned}
So MB=1=CB,MB = 1 = CB, making triangle BMCBMC isosceles with ∠CMB=∠MCB=83∘.\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ. The answer is 83.83.
Problema 9#9
Examen completo
Problema 11#11

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