Question

Ocho círculos de diámetro $1$ están empaquetados en el primer cuadrante del plano coordenado, como se muestra. Sea $\mathcal{R}$ la unión de las ocho regiones circulares. La recta $\ell,$ de pendiente $3,$ divide $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. La ecuación de la recta $\ell$ puede expresarse en la forma $ax = by + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos cuyo máximo común divisor es $1.$ Halla $a^2 + b^2 + c^2.$

Eight circles of diameter $1$ are packed in the first quadrant of the coordinate plane as shown. Let region $\mathcal{R}$ be the union of the eight circular regions. Line $\ell,$ with slope $3,$ divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Line $\ell$ ’s equation can be expressed in the form $ax = by + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers whose greatest common divisor is $1.$ Find $a^2 + b^2 + c^2.$

Respuesta

Respuesta: 65

Conceptos:geometría analítica círculo simetría

Nivel de dificultad: 2610

Pista pequeña:

Cualquier recta que pase por el punto donde dos círculos congruentes se tocan divide el área de ese par en partes iguales

Any line through the point where two congruent circles touch splits that pair’s area evenly

Pista grande:

La recta que pasa por $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ y $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ tiene pendiente $3$ y deja dos círculos completos a cada lado

The line through $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ and $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ has slope $3$ and leaves two whole circles on each side

Solución:

Los círculos tienen radio $\frac{1}{2}$ y centros en $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),$ y $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right).$ El par de círculos tangentes en $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ es simétrico respecto de $A,$ así que cualquier recta que pase por $A$ biseca el área de ese par; de forma similar para el par tangente en $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right).$ La recta $AB$ tiene pendiente $\frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = 3.$

La recta $AB$ no toca los cuatro círculos restantes, y exactamente dos de ellos quedan a cada lado, así que divide $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. Al trasladar paralelamente una recta de pendiente $3$ , el área pasa estrictamente de un lado al otro, por lo que $\ell$ debe ser esta recta.

Su ecuación es $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1),$ es decir, $6x = 2y + 5.$ Como $\gcd(6, 2, 5) = 1,$ la respuesta es $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65.$

The circles have radius $\frac{1}{2}$ and centers at $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),$ and $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right).$ The pair of circles tangent at $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ is symmetric about $A,$ so any line through $A$ bisects that pair’s area; similarly for the pair tangent at $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right).$ The line $AB$ has slope $\frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = 3.$

Line $AB$ misses the remaining four circles entirely, and exactly two of them lie on each side of it, so it divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Sliding a slope- $3$ line strictly shifts area from one side to the other, so $\ell$ must be this line.

Its equation is $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1),$ that is, $6x = 2y + 5.$ With $\gcd(6, 2, 5) = 1,$ the answer is $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65.$

2006 AIME I Problema 10

Respuesta: 65

Nivel de dificultad: 2610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años