Question

Ocho círculos de diámetro $1$ están empaquetados en el primer cuadrante del plano coordenado, como se muestra. Sea la región $\mathcal{R}$ la unión de las ocho regiones circulares. La recta $\ell,$ de pendiente $3,$ divide $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. La ecuación de la recta $\ell$ puede expresarse en la forma $ax = by + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos cuyo máximo común divisor es $1.$ Halla $a^2 + b^2 + c^2.$

Eight circles of diameter $1$ are packed in the first quadrant of the coordinate plane as shown. Let region $\mathcal{R}$ be the union of the eight circular regions. Line $\ell,$ with slope $3,$ divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Line $\ell$ 's equation can be expressed in the form $ax = by + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers whose greatest common divisor is $1.$ Find $a^2 + b^2 + c^2.$

Respuesta

Solución:

Los círculos tienen radio $\frac{1}{2}$ y centros en $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),$ y $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right).$ El par de círculos tangentes en $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ es simétrico respecto de $A,$ así que cualquier recta que pase por $A$ biseca el área de ese par; de forma similar para el par tangente en $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right).$ La recta $AB$ tiene pendiente $\frac{2 - 1/2}{3/2 - 1} = 3.$

La recta $AB$ no toca en absoluto los cuatro círculos restantes, y exactamente dos de ellos quedan a cada lado de ella, así que divide $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. Deslizar una recta de pendiente $3$ traslada estrictamente área de un lado al otro, así que $\ell$ debe ser esta recta.

Su ecuación es $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1),$ es decir, $6x = 2y + 5.$ Como $\gcd(6, 2, 5) = 1,$ la respuesta es $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65.$

The circles have radius $\frac{1}{2}$ and centers at $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right),$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right),$ and $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right).$ The pair of circles tangent at $A = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ is symmetric about $A,$ so any line through $A$ bisects that pair's area; similarly for the pair tangent at $B = \left(\frac{3}{2}, 2\right).$ The line $AB$ has slope $\frac{2 - 1/2}{3/2 - 1} = 3.$

Line $AB$ misses the remaining four circles entirely, and exactly two of them lie on each side of it, so it divides $\mathcal{R}$ into two regions of equal area. Sliding a slope- $3$ line strictly shifts area from one side to the other, so $\ell$ must be this line.

Its equation is $y - \frac{1}{2} = 3(x - 1),$ that is, $6x = 2y + 5.$ With $\gcd(6, 2, 5) = 1,$ the answer is $a^2 + b^2 + c^2 = 36 + 4 + 25 = 65.$

2006 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años