Question

La sucesión $a_1, a_2, \ldots$ es geométrica con $a_1 = a$ y razón común $r,$ donde $a$ y $r$ son enteros positivos. Dado que $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006,$ halla el número de pares ordenados posibles $(a, r).$

The sequence $a_1, a_2, \ldots$ is geometric with $a_1 = a$ and common ratio $r,$ where $a$ and $r$ are positive integers. Given that $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006,$ find the number of possible ordered pairs $(a, r).$

Respuesta

Solución:

La suma de los logaritmos es $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right),$ así que $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018},$ lo que da $a^2 r^{11} = 2^{1003}.$

Así, $a$ y $r$ son potencias de $2:$ escribe $a = 2^x$ y $r = 2^y$ con enteros $x, y \ge 0$ y $2x + 11y = 1003.$ Como $2x$ es par y $1003$ es impar, $y$ debe ser impar, digamos $y = 2k - 1$ con $k \ge 1.$ Entonces $x = 507 - 11k \ge 0$ exactamente cuando $k \le \lfloor 507/11 \rfloor = 46.$

Cada $k = 1, 2, \ldots, 46$ da un par, así que hay $46$ pares ordenados $(a, r).$

The sum of the logarithms is $\log_8 (a_1 a_2 \cdots a_{12}) = \log_8\!\left(a^{12} r^{66}\right),$ so $a^{12} r^{66} = 8^{2006} = 2^{6018},$ which gives $a^2 r^{11} = 2^{1003}.$

Thus $a$ and $r$ are powers of $2:$ write $a = 2^x$ and $r = 2^y$ with integers $x, y \ge 0$ and $2x + 11y = 1003.$ Since $2x$ is even and $1003$ is odd, $y$ must be odd, say $y = 2k - 1$ for $k \ge 1.$ Then $x = 507 - 11k \ge 0$ exactly when $k \le \lfloor 507/11 \rfloor = 46.$

Each $k = 1, 2, \ldots, 46$ gives one pair, so there are $46$ ordered pairs $(a, r).$

2006 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años