Question

Sea $m$ el número de soluciones en enteros positivos de la ecuación $4x + 3y + 2z = 2009,$ y sea $n$ el número de soluciones en enteros positivos de la ecuación $4x + 3y + 2z = 2000.$ Halla el residuo cuando $m - n$ se divide entre $1000.$

Let $m$ be the number of solutions in positive integers to the equation $4x + 3y + 2z = 2009,$ and let $n$ be the number of solutions in positive integers to the equation $4x + 3y + 2z = 2000.$ Find the remainder when $m - n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Si $(x, y, z)$ es una solución positiva de $4x + 3y + 2z = 2009,$ entonces $(x - 1, y - 1, z - 1)$ es una solución no negativa de $4x + 3y + 2z = 2000,$ y recíprocamente, ya que $4 + 3 + 2 = 9.$ Así que $m$ es igual al número de soluciones no negativas de $4x + 3y + 2z = 2000,$ y $m - n$ cuenta las soluciones no negativas de esa ecuación en las que al menos una variable es $0.$

Si $x = 0:$ $3y + 2z = 2000$ obliga a que $y$ sea par, $0 \le y \le 666,$ dando $334$ soluciones. Si $y = 0:$ $2x + z = 1000$ con $0 \le x \le 500$ da $501.$ Si $z = 0:$ $4x + 3y = 2000$ obliga a $y \equiv 0 \pmod 4,$ $0 \le y \le 664,$ dando $167.$ Las soluciones $(0, 0, 1000)$ y $(500, 0, 0)$ se cuentan dos veces cada una, así que $\begin{aligned} m - n &= 334 + 501 + 167 - 2 \\ &= 1000. \end{aligned}$

El residuo al dividir entre $1000$ es $0.$

If $(x, y, z)$ is a positive solution of $4x + 3y + 2z = 2009,$ then $(x - 1, y - 1, z - 1)$ is a nonnegative solution of $4x + 3y + 2z = 2000,$ and conversely, since $4 + 3 + 2 = 9.$ So $m$ equals the number of nonnegative solutions of $4x + 3y + 2z = 2000,$ and $m - n$ counts the nonnegative solutions of that equation in which at least one variable is $0.$

If $x = 0:$ $3y + 2z = 2000$ forces $y$ even, $0 \le y \le 666,$ giving $334$ solutions. If $y = 0:$ $2x + z = 1000$ with $0 \le x \le 500$ gives $501.$ If $z = 0:$ $4x + 3y = 2000$ forces $y \equiv 0 \pmod 4,$ $0 \le y \le 664,$ giving $167.$ The solutions $(0, 0, 1000)$ and $(500, 0, 0)$ are each counted twice, so $\begin{aligned} m - n &= 334 + 501 + 167 - 2 \\ &= 1000. \end{aligned}$

The remainder upon division by $1000$ is $0.$

2009 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años