Respuesta: 0

Pista pequeña:

Restar $1$ a cada variable hace corresponder las soluciones positivas de la ecuación $2009$ con las soluciones no negativas de la ecuación $2000$, ya que $4 + 3 + 2 = 9$

Pista grande:

Así que $m - n$ cuenta las soluciones no negativas de $4x + 3y + 2z = 2000$ en las que alguna variable es $0.$ Cuenta los tres casos y corrige el doble conteo.

Solución:

Si $(x, y, z)$ es una solución positiva de $4x + 3y + 2z = 2009,$ entonces $(x - 1, y - 1, z - 1)$ es una solución no negativa de $4x + 3y + 2z = 2000,$ y recíprocamente, ya que $4 + 3 + 2 = 9.$ Así que $m$ es igual al número de soluciones no negativas de $4x + 3y + 2z = 2000,$ y $m - n$ cuenta las soluciones no negativas de esa ecuación en las que al menos una variable es $0.$

Si $x = 0:$ $3y + 2z = 2000$ obliga a que $y$ sea par, $0 \le y \le 666,$ dando $334$ soluciones. Si $y = 0:$ $2x + z = 1000$ con $0 \le x \le 500$ da $501.$ Si $z = 0:$ $4x + 3y = 2000$ obliga a $y \equiv 0 \pmod 4,$ $0 \le y \le 664,$ dando $167.$ Las soluciones $(0, 0, 1000)$ y $(500, 0, 0)$ se cuentan dos veces cada una, así que $$\begin{aligned} m - n &= 334 + 501 + 167 - 2 \\ &= 1000. \end{aligned}$$

El residuo al dividir entre $1000$ es $0.$