Soluciones del 2009 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Antes de empezar a pintar, Bill tenía $130$ onzas de pintura azul, $164$ onzas de pintura roja y $188$ onzas de pintura blanca. Bill pintó cuatro franjas del mismo tamaño en una pared: una franja azul, una roja, una blanca y una rosada. El rosado es una mezcla de rojo y blanco, no necesariamente en cantidades iguales. Cuando Bill terminó, le quedaban cantidades iguales de pintura azul, roja y blanca. Halla el número total de onzas de pintura que le quedaron a Bill.

Before starting to paint, Bill had $130$ ounces of blue paint, $164$ ounces of red paint, and $188$ ounces of white paint. Bill painted four equally sized stripes on a wall, making a blue stripe, a red stripe, a white stripe, and a pink stripe. Pink is a mixture of red and white, not necessarily in equal amounts. When Bill finished, he had equal amounts of blue, red, and white paint left. Find the total number of ounces of paint Bill had left.

Respuesta

Conceptos:ecuación lineal manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1750

Solución:

Supongamos que cada franja usó $s$ onzas de pintura. El azul se usó solo en la franja azul, así que se usaron $s$ onzas de azul. Como las tres cantidades sobrantes son iguales y los colores partían con $34$ y $58$ onzas de diferencia, el uso de rojo superó al de azul en $164 - 130 = 34$ onzas y el uso de blanco superó al de azul en $188 - 130 = 58$ onzas. Ese rojo y blanco adicionales son exactamente la franja rosada, así que $s = 34 + 58 = 92.$

Por lo tanto, a Bill le quedaron $130 - 92 = 38$ onzas de cada color, para un total de $3 \cdot 38 = 114$ onzas.

Say each stripe used $s$ ounces of paint. Blue was used only on the blue stripe, so $s$ ounces of blue were used. Since the three leftovers are equal and the colors started $34$ and $58$ ounces apart, red use exceeded blue use by $164 - 130 = 34$ ounces and white use exceeded blue use by $188 - 130 = 58$ ounces. That extra red and white is exactly the pink stripe, so $s = 34 + 58 = 92.$

Bill therefore had $130 - 92 = 38$ ounces of each color left, for a total of $3 \cdot 38 = 114$ ounces.

2.

Supongamos que $a,$ $b,$ y $c$ son números reales positivos tales que $a^{\log_3 7} = 27,$ $b^{\log_7 11} = 49,$ y $c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11}.$ Halla $a^{(\log_3 7)^2} + b^{(\log_7 11)^2} + c^{(\log_{11} 25)^2}.$

Suppose that $a,$ $b,$ and $c$ are positive real numbers such that $a^{\log_3 7} = 27,$ $b^{\log_7 11} = 49,$ and $c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11}.$ Find $a^{(\log_3 7)^2} + b^{(\log_7 11)^2} + c^{(\log_{11} 25)^2}.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Por la regla de la potencia de una potencia, $\begin{aligned} a^{(\log_3 7)^2} &= \left(a^{\log_3 7}\right)^{\log_3 7} = 27^{\log_3 7} \\ &= \left(3^{\log_3 7}\right)^3 = 7^3 = 343. \end{aligned}$

De la misma manera, $\begin{aligned} b^{(\log_7 11)^2} &= 49^{\log_7 11} = \left(7^{\log_7 11}\right)^2 \\ &= 11^2 = 121, \end{aligned}$ y $\begin{aligned} c^{(\log_{11} 25)^2} &= \left(\sqrt{11}\right)^{\log_{11} 25} \\ &= \left(11^{\log_{11} 25}\right)^{1/2} \\ &= 25^{1/2} = 5. \end{aligned}$

La suma es $343 + 121 + 5 = 469.$

By the power rule for exponents, $\begin{aligned} a^{(\log_3 7)^2} &= \left(a^{\log_3 7}\right)^{\log_3 7} = 27^{\log_3 7} \\ &= \left(3^{\log_3 7}\right)^3 = 7^3 = 343. \end{aligned}$

In the same way, $\begin{aligned} b^{(\log_7 11)^2} &= 49^{\log_7 11} = \left(7^{\log_7 11}\right)^2 \\ &= 11^2 = 121, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} c^{(\log_{11} 25)^2} &= \left(\sqrt{11}\right)^{\log_{11} 25} \\ &= \left(11^{\log_{11} 25}\right)^{1/2} \\ &= 25^{1/2} = 5. \end{aligned}$

The sum is $343 + 121 + 5 = 469.$

3.

En el rectángulo $ABCD,$ $AB = 100.$ Sea $E$ el punto medio de $\overline{AD}.$ Dado que la recta $AC$ y la recta $BE$ son perpendiculares, halla el mayor entero menor que $AD.$

In rectangle $ABCD,$ $AB = 100.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{AD}.$ Given that line $AC$ and line $BE$ are perpendicular, find the greatest integer less than $AD.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica pendiente rectángulo

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Sea $AD = h,$ y coloca $A = (0, 0),$ $B = (100, 0),$ $C = (100, h),$ $D = (0, h),$ de modo que $E = \left(0, \frac{h}{2}\right).$ La recta $AC$ tiene pendiente $\frac{h}{100}$ y la recta $BE$ tiene pendiente $\frac{h/2}{-100} = -\frac{h}{200}.$ La perpendicularidad da $\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1,$ así que $h^2 = 20000$ y $h = 100\sqrt{2} \approx 141.42.$

El mayor entero menor que $AD$ es $141.$

Let $AD = h,$ and place $A = (0, 0),$ $B = (100, 0),$ $C = (100, h),$ $D = (0, h),$ so $E = \left(0, \frac{h}{2}\right).$ Line $AC$ has slope $\frac{h}{100}$ and line $BE$ has slope $\frac{h/2}{-100} = -\frac{h}{200}.$ Perpendicularity gives $\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1,$ so $h^2 = 20000$ and $h = 100\sqrt{2} \approx 141.42.$

The greatest integer less than $AD$ is $141.$

4.

Un grupo de niños celebró un concurso de comer uvas. Cuando terminó el concurso, el ganador había comido $n$ uvas, y el niño en el $k$ -ésimo lugar había comido $n + 2 - 2k$ uvas. El número total de uvas comidas en el concurso fue $2009.$ Halla el menor valor posible de $n.$

A group of children held a grape-eating contest. When the contest was over, the winner had eaten $n$ grapes, and the child in $k$ th place had eaten $n + 2 - 2k$ grapes. The total number of grapes eaten in the contest was $2009.$ Find the smallest possible value of $n.$

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética factor análisis por casos

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Sea $c$ el número de niños. Las cantidades de uvas $n,$ $n - 2,$ $\ldots,$ $n + 2 - 2c$ forman una progresión aritmética, así que el total es $c$ por el promedio del primer y último término: $\begin{aligned} &c \cdot \frac{n + (n + 2 - 2c)}{2} \\ &= c(n + 1 - c) \\ &= 2009 = 7^2 \cdot 41. \end{aligned}$ Por lo tanto $c \mid 2009$ y $n = \frac{2009}{c} + c - 1.$

El niño en último lugar comió $n + 2 - 2c = \frac{2009}{c} + 1 - c \ge 0$ uvas, lo que obliga a $c(c - 1) \le 2009,$ descartando $c = 49,$ $287,$ y $2009.$ Los divisores restantes dan $n = 2009$ para $c = 1,$ $n = 287 + 6 = 293$ para $c = 7,$ y $n = 49 + 40 = 89$ para $c = 41.$

El menor valor posible es $n = 89.$

Let $c$ be the number of children. The grape counts $n,$ $n - 2,$ $\ldots,$ $n + 2 - 2c$ form an arithmetic sequence, so the total is $c$ times the average of the first and last terms: $\begin{aligned} &c \cdot \frac{n + (n + 2 - 2c)}{2} \\ &= c(n + 1 - c) \\ &= 2009 = 7^2 \cdot 41. \end{aligned}$ Thus $c \mid 2009$ and $n = \frac{2009}{c} + c - 1.$

The last-place child ate $n + 2 - 2c = \frac{2009}{c} + 1 - c \ge 0$ grapes, which forces $c(c - 1) \le 2009,$ ruling out $c = 49,$ $287,$ and $2009.$ The remaining divisors give $n = 2009$ for $c = 1,$ $n = 287 + 6 = 293$ for $c = 7,$ and $n = 49 + 40 = 89$ for $c = 41.$

The smallest possible value is $n = 89.$

5.

El triángulo equilátero $T$ está inscrito en el círculo $A,$ que tiene radio $10.$ El círculo $B$ de radio $3$ es tangente interiormente al círculo $A$ en un vértice de $T.$ Los círculos $C$ y $D,$ ambos de radio $2,$ son tangentes interiormente al círculo $A$ en los otros dos vértices de $T.$ Los círculos $B,$ $C,$ y $D$ son todos tangentes exteriormente al círculo $E,$ que tiene radio $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Equilateral triangle $T$ is inscribed in circle $A,$ which has radius $10.$ Circle $B$ with radius $3$ is internally tangent to circle $A$ at one vertex of $T.$ Circles $C$ and $D,$ both with radius $2,$ are internally tangent to circle $A$ at the other two vertices of $T.$ Circles $B,$ $C,$ and $D$ are all externally tangent to circle $E,$ which has radius $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Coloca el centro del círculo $A$ en el origen con los vértices del triángulo en $(0, 10)$ y $\left(\pm 5\sqrt{3}, -5\right).$ Un círculo tangente interiormente a $A$ en un vértice tiene su centro sobre el radio hacia ese vértice, así que el círculo $B$ tiene centro $(0, 7)$ y los círculos $C$ y $D$ tienen centros $\left(\mp 4\sqrt{3}, -4\right)$ (a distancia $10 - 2 = 8$ del origen).

Por simetría, el centro del círculo $E,$ de radio $r,$ está sobre el eje $y$ en $(0, y).$ La tangencia exterior con $B$ da $7 - y = r + 3,$ así que $y = 4 - r.$ La tangencia exterior con $C$ da $\begin{aligned} &\left(4\sqrt{3}\right)^2 \\ &\quad {}+ (4 - r + 4)^2 = (r + 2)^2, \end{aligned}$ es decir, $48 + (8 - r)^2 = (r + 2)^2,$ que se simplifica a $112 - 16r = 4r + 4,$ así que $r = \frac{27}{5}.$

Entonces $m + n = 27 + 5 = 32.$

Place the center of circle $A$ at the origin with the triangle's vertices at $(0, 10)$ and $\left(\pm 5\sqrt{3}, -5\right).$ A circle internally tangent to $A$ at a vertex has its center on the radius to that vertex, so circle $B$ has center $(0, 7)$ and circles $C$ and $D$ have centers $\left(\mp 4\sqrt{3}, -4\right)$ (at distance $10 - 2 = 8$ from the origin).

By symmetry the center of circle $E,$ of radius $r,$ lies on the $y$ -axis at $(0, y).$ External tangency to $B$ gives $7 - y = r + 3,$ so $y = 4 - r.$ External tangency to $C$ gives $\begin{aligned} &\left(4\sqrt{3}\right)^2 \\ &\quad {}+ (4 - r + 4)^2 = (r + 2)^2, \end{aligned}$ that is, $48 + (8 - r)^2 = (r + 2)^2,$ which simplifies to $112 - 16r = 4r + 4,$ so $r = \frac{27}{5}.$

Then $m + n = 27 + 5 = 32.$

6.

Sea $m$ el número de subconjuntos de cinco elementos que se pueden elegir del conjunto de los primeros $14$ números naturales de modo que al menos dos de los cinco números sean consecutivos. Halla el residuo cuando $m$ se divide entre $1000.$

Let $m$ be the number of five-element subsets that can be chosen from the set of the first $14$ natural numbers so that at least two of the five numbers are consecutive. Find the remainder when $m$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:conteo complementario biyección subconjuntos

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Cuenta el complemento: subconjuntos $a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt a_4 \lt a_5$ sin dos consecutivos. Al poner $b_i = a_i - (i - 1)$ cada subconjunto de este tipo se convierte en cinco números distintos $b_1 \lt b_2 \lt \cdots \lt b_5$ en $\{1, \ldots, 10\},$ y este mapeo es reversible, así que hay $\binom{10}{5} = 252$ subconjuntos sin dos números consecutivos.

Por lo tanto $m = \binom{14}{5} - \binom{10}{5}$ $= 2002 - 252 = 1750,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $750.$

Count the complement: subsets $a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt a_4 \lt a_5$ with no two consecutive. Setting $b_i = a_i - (i - 1)$ turns each such subset into five distinct numbers $b_1 \lt b_2 \lt \cdots \lt b_5$ in $\{1, \ldots, 10\},$ and this map is reversible, so there are $\binom{10}{5} = 252$ subsets with no two consecutive numbers.

Therefore $m = \binom{14}{5} - \binom{10}{5}$ $= 2002 - 252 = 1750,$ and the remainder upon division by $1000$ is $750.$

7.

Define $n!!$ como $n(n-2)(n-4)\cdots 3 \cdot 1$ para $n$ impar y $n(n-2)(n-4)\cdots 4 \cdot 2$ para $n$ par. Cuando $\sum_{i=1}^{2009} \frac{(2i-1)!!}{(2i)!!}$ se expresa como una fracción en su mínima expresión, su denominador es $2^a b$ con $b$ impar. Halla $\frac{ab}{10}.$

Define $n!!$ to be $n(n-2)(n-4)\cdots 3 \cdot 1$ for $n$ odd and $n(n-2)(n-4)\cdots 4 \cdot 2$ for $n$ even. When $\sum_{i=1}^{2009} \frac{(2i-1)!!}{(2i)!!}$ is expressed as a fraction in lowest terms, its denominator is $2^a b$ with $b$ odd. Find $\frac{ab}{10}.$

Respuesta

Conceptos:factorial Fórmula de Legendre divisibilidad

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

El $i$ -ésimo término es $\frac{(2i-1)!!}{(2i)!!}$ con numerador impar, y $(2i)!! = 2^i \cdot i!.$ Como $\binom{2i}{i} = \frac{(2i)!}{i!\,i!} = \frac{2^i (2i-1)!!}{i!}$ es un entero, toda potencia de primo impar que divide a $i!$ también divide a $(2i-1)!!.$ Por lo tanto, en su mínima expresión el $i$ -ésimo término tiene denominador exactamente $2^{a_i}$ donde $a_i = i + e_i$ y $e_i$ es el exponente de $2$ en $i!.$ Los $a_i$ crecen estrictamente, así que sobre el común denominador $2^{a_{2009}}$ todo término salvo el último aporta un numerador par mientras que el último aporta uno impar. La suma en su mínima expresión tiene por lo tanto denominador exactamente $2^{a_{2009}},$ así que $b = 1.$

Por la fórmula de Legendre, $\begin{aligned} e_{2009} &= 1004 + 502 + 251 \\ &\quad {}+ 125 + 62 + 31 + 15 \\ &\quad {}+ 7 + 3 + 1 \\ &= 2001, \end{aligned}$ así que $a = 2009 + 2001 = 4010.$ Entonces $\frac{ab}{10} = \frac{4010 \cdot 1}{10} = 401.$

The $i$ th term is $\frac{(2i-1)!!}{(2i)!!}$ with odd numerator, and $(2i)!! = 2^i \cdot i!.$ Because $\binom{2i}{i} = \frac{(2i)!}{i!\,i!} = \frac{2^i (2i-1)!!}{i!}$ is an integer, every odd prime power dividing $i!$ also divides $(2i-1)!!.$ Hence in lowest terms the $i$ th term has denominator exactly $2^{a_i}$ where $a_i = i + e_i$ and $e_i$ is the exponent of $2$ in $i!.$ The $a_i$ strictly increase, so over the common denominator $2^{a_{2009}}$ every term except the last contributes an even numerator while the last contributes an odd one. The sum in lowest terms therefore has denominator exactly $2^{a_{2009}},$ so $b = 1.$

By Legendre's formula, $\begin{aligned} e_{2009} &= 1004 + 502 + 251 \\ &\quad {}+ 125 + 62 + 31 + 15 \\ &\quad {}+ 7 + 3 + 1 \\ &= 2001, \end{aligned}$ so $a = 2009 + 2001 = 4010.$ Then $\frac{ab}{10} = \frac{4010 \cdot 1}{10} = 401.$

8.

Dave lanza un dado justo de seis caras hasta que aparece un seis por primera vez. De forma independiente, Linda lanza un dado justo de seis caras hasta que aparece un seis por primera vez. Sean $m$ y $n$ enteros positivos primos entre sí tales que $\frac{m}{n}$ es la probabilidad de que el número de veces que Dave lanza su dado sea igual o difiera en a lo sumo uno del número de veces que Linda lanza el suyo. Halla $m + n.$

Dave rolls a fair six-sided die until a six appears for the first time. Independently, Linda rolls a fair six-sided die until a six appears for the first time. Let $m$ and $n$ be relatively prime positive integers such that $\frac{m}{n}$ is the probability that the number of times Dave rolls his die is equal to or within one of the number of times Linda rolls her die. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:distribución geométrica sucesión geométrica simetría

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

La probabilidad de que el primer seis de un jugador aparezca en el lanzamiento $k$ es $p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}.$ La probabilidad de un empate es $\sum_{k=1}^{\infty} p_k^2 = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{1}{11}.$

La probabilidad de que Linda necesite exactamente un lanzamiento más que Dave es $\sum_{k=1}^{\infty} p_k p_{k+1}$ $= \frac{5}{6} \sum_{k=1}^{\infty} p_k^2$ $= \frac{5}{66},$ y por simetría lo mismo vale intercambiando los jugadores.

La probabilidad total es $\frac{1}{11} + 2 \cdot \frac{5}{66} = \frac{6 + 10}{66} = \frac{8}{33},$ así que $m + n = 8 + 33 = 41.$

The probability that a player's first six appears on roll $k$ is $p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}.$ The probability of a tie is $\sum_{k=1}^{\infty} p_k^2 = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{1}{11}.$

The probability that Linda needs exactly one more roll than Dave is $\sum_{k=1}^{\infty} p_k p_{k+1}$ $= \frac{5}{6} \sum_{k=1}^{\infty} p_k^2$ $= \frac{5}{66},$ and by symmetry the same holds with the players swapped.

The total probability is $\frac{1}{11} + 2 \cdot \frac{5}{66} = \frac{6 + 10}{66} = \frac{8}{33},$ so $m + n = 8 + 33 = 41.$

9.

Sea $m$ el número de soluciones en enteros positivos de la ecuación $4x + 3y + 2z = 2009,$ y sea $n$ el número de soluciones en enteros positivos de la ecuación $4x + 3y + 2z = 2000.$ Halla el residuo cuando $m - n$ se divide entre $1000.$

Let $m$ be the number of solutions in positive integers to the equation $4x + 3y + 2z = 2009,$ and let $n$ be the number of solutions in positive integers to the equation $4x + 3y + 2z = 2000.$ Find the remainder when $m - n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:Ecuación diofántica biyección inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Si $(x, y, z)$ es una solución positiva de $4x + 3y + 2z = 2009,$ entonces $(x - 1, y - 1, z - 1)$ es una solución no negativa de $4x + 3y + 2z = 2000,$ y recíprocamente, ya que $4 + 3 + 2 = 9.$ Así que $m$ es igual al número de soluciones no negativas de $4x + 3y + 2z = 2000,$ y $m - n$ cuenta las soluciones no negativas de esa ecuación en las que al menos una variable es $0.$

Si $x = 0:$ $3y + 2z = 2000$ obliga a que $y$ sea par, $0 \le y \le 666,$ dando $334$ soluciones. Si $y = 0:$ $2x + z = 1000$ con $0 \le x \le 500$ da $501.$ Si $z = 0:$ $4x + 3y = 2000$ obliga a $y \equiv 0 \pmod 4,$ $0 \le y \le 664,$ dando $167.$ Las soluciones $(0, 0, 1000)$ y $(500, 0, 0)$ se cuentan dos veces cada una, así que $\begin{aligned} m - n &= 334 + 501 + 167 - 2 \\ &= 1000. \end{aligned}$

El residuo al dividir entre $1000$ es $0.$

If $(x, y, z)$ is a positive solution of $4x + 3y + 2z = 2009,$ then $(x - 1, y - 1, z - 1)$ is a nonnegative solution of $4x + 3y + 2z = 2000,$ and conversely, since $4 + 3 + 2 = 9.$ So $m$ equals the number of nonnegative solutions of $4x + 3y + 2z = 2000,$ and $m - n$ counts the nonnegative solutions of that equation in which at least one variable is $0.$

If $x = 0:$ $3y + 2z = 2000$ forces $y$ even, $0 \le y \le 666,$ giving $334$ solutions. If $y = 0:$ $2x + z = 1000$ with $0 \le x \le 500$ gives $501.$ If $z = 0:$ $4x + 3y = 2000$ forces $y \equiv 0 \pmod 4,$ $0 \le y \le 664,$ giving $167.$ The solutions $(0, 0, 1000)$ and $(500, 0, 0)$ are each counted twice, so $\begin{aligned} m - n &= 334 + 501 + 167 - 2 \\ &= 1000. \end{aligned}$

The remainder upon division by $1000$ is $0.$

10.

Cuatro faros están ubicados en los puntos $A,$ $B,$ $C,$ y $D.$ El faro en $A$ está a $5$ kilómetros del faro en $B,$ el faro en $B$ está a $12$ kilómetros del faro en $C,$ y el faro en $A$ está a $13$ kilómetros del faro en $C.$ Para un observador en $A,$ el ángulo determinado por las luces en $B$ y $D$ y el ángulo determinado por las luces en $C$ y $D$ son iguales. Para un observador en $C,$ el ángulo determinado por las luces en $A$ y $B$ y el ángulo determinado por las luces en $D$ y $B$ son iguales. El número de kilómetros de $A$ a $D$ está dado por $\frac{p\sqrt{r}}{q},$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos primos entre sí, y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $p + q + r.$

Four lighthouses are located at points $A,$ $B,$ $C,$ and $D.$ The lighthouse at $A$ is $5$ kilometers from the lighthouse at $B,$ the lighthouse at $B$ is $12$ kilometers from the lighthouse at $C,$ and the lighthouse at $A$ is $13$ kilometers from the lighthouse at $C.$ To an observer at $A,$ the angle determined by the lights at $B$ and $D$ and the angle determined by the lights at $C$ and $D$ are equal. To an observer at $C,$ the angle determined by the lights at $A$ and $B$ and the angle determined by the lights at $D$ and $B$ are equal. The number of kilometers from $A$ to $D$ is given by $\frac{p\sqrt{r}}{q},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are relatively prime positive integers, and $r$ is not divisible by the square of any prime. Find $p + q + r.$

Respuesta

Conceptos:bisectriz geometría analítica identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Como $5^2 + 12^2 = 13^2,$ el ángulo $B$ es recto. Coloca $A = (0, 0),$ $B = (5, 0),$ $C = (5, 12).$ La condición en $A$ dice que $\angle BAD = \angle CAD,$ así que $D$ está sobre la bisectriz del ángulo $BAC.$ Usando la fórmula del ángulo mitad con $\tan \angle BAC = \frac{12}{5},$ $\begin{aligned} \tan \frac{\angle BAC}{2} &= \frac{\sin \angle BAC}{1 + \cos \angle BAC} \\ &= \frac{12/13}{1 + 5/13} = \frac{2}{3}, \end{aligned}$ así que $D$ está sobre la recta $y = \frac{2}{3}x.$

La condición en $C$ dice que $CB$ biseca el ángulo $ACD,$ así que el rayo $CD$ es la reflexión del rayo $CA$ respecto a la recta $CB,$ que es la recta vertical $x = 5.$ La reflexión de $A$ es $(10, 0),$ así que $D$ está sobre la recta que pasa por $C = (5, 12)$ y $(10, 0),$ a saber, $5y = 120 - 12x.$

Resolviendo $y = \frac{2}{3}x$ y $5y = 120 - 12x$ se obtiene $x = \frac{180}{23},$ $y = \frac{120}{23}.$ Entonces $AD = \frac{60}{23}\sqrt{3^2 + 2^2} = \frac{60\sqrt{13}}{23},$ así que $p + q + r = 60 + 23 + 13 = 96.$

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ angle $B$ is right. Place $A = (0, 0),$ $B = (5, 0),$ $C = (5, 12).$ The condition at $A$ says $\angle BAD = \angle CAD,$ so $D$ lies on the bisector of angle $BAC.$ Using the half-angle formula with $\tan \angle BAC = \frac{12}{5},$ $\begin{aligned} \tan \frac{\angle BAC}{2} &= \frac{\sin \angle BAC}{1 + \cos \angle BAC} \\ &= \frac{12/13}{1 + 5/13} = \frac{2}{3}, \end{aligned}$ so $D$ lies on the line $y = \frac{2}{3}x.$

The condition at $C$ says $CB$ bisects angle $ACD,$ so ray $CD$ is the reflection of ray $CA$ over line $CB,$ which is the vertical line $x = 5.$ The reflection of $A$ is $(10, 0),$ so $D$ lies on the line through $C = (5, 12)$ and $(10, 0),$ namely $5y = 120 - 12x.$

Solving $y = \frac{2}{3}x$ and $5y = 120 - 12x$ gives $x = \frac{180}{23},$ $y = \frac{120}{23}.$ Then $AD = \frac{60}{23}\sqrt{3^2 + 2^2} = \frac{60\sqrt{13}}{23},$ so $p + q + r = 60 + 23 + 13 = 96.$

11.

Para ciertos pares $(m, n)$ de enteros positivos con $m \ge n$ hay exactamente $50$ enteros positivos distintos $k$ tales que $|\log m - \log k| \lt \log n.$ Halla la suma de todos los valores posibles del producto $mn.$

For certain pairs $(m, n)$ of positive integers with $m \ge n$ there are exactly $50$ distinct positive integers $k$ such that $|\log m - \log k| \lt \log n.$ Find the sum of all possible values of the product $mn.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo conteo de enteros en un rango análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

La desigualdad $|\log m - \log k| \lt \log n$ es equivalente a $\frac{m}{n} \lt k \lt mn.$ Escribe $m = nq + r$ con $0 \le r \lt n;$ como $m \ge n \ge 2$ (para $n = 1$ ningún $k$ funciona), $q \ge 1.$ Los enteros $k$ en el intervalo son $q + 1, q + 2, \ldots, mn - 1,$ así que hay $mn - q - 1 = 50$ de ellos, es decir, $mn - q = 51,$ o $q(n^2 - 1) + nr = 51.$

Para $n \ge 8$ el lado izquierdo es al menos $63,$ así que $2 \le n \le 7.$ Comprobando cada caso, solo funcionan $n = 2,$ $r = 0,$ $q = 17$ (así que $m = 34$ ) y $n = 3,$ $r = 1,$ $q = 6$ (así que $m = 19$ ). Estos dan $mn = 68$ y $mn = 57;$ en efecto, $17 \lt k \lt 68$ y $\frac{19}{3} \lt k \lt 57$ contienen cada uno exactamente $50$ enteros.

La suma de todos los valores posibles de $mn$ es $68 + 57 = 125.$

The inequality $|\log m - \log k| \lt \log n$ is equivalent to $\frac{m}{n} \lt k \lt mn.$ Write $m = nq + r$ with $0 \le r \lt n;$ since $m \ge n \ge 2$ (for $n = 1$ no $k$ works), $q \ge 1.$ The integers $k$ in the interval are $q + 1, q + 2, \ldots, mn - 1,$ so there are $mn - q - 1 = 50$ of them, that is, $mn - q = 51,$ or $q(n^2 - 1) + nr = 51.$

For $n \ge 8$ the left side is at least $63,$ so $2 \le n \le 7.$ Checking each case, only $n = 2,$ $r = 0,$ $q = 17$ (so $m = 34$ ) and $n = 3,$ $r = 1,$ $q = 6$ (so $m = 19$ ) work. These give $mn = 68$ and $mn = 57;$ indeed $17 \lt k \lt 68$ and $\frac{19}{3} \lt k \lt 57$ each contain exactly $50$ integers.

The sum of all possible values of $mn$ is $68 + 57 = 125.$

12.

Del conjunto de enteros $\{1, 2, 3, \ldots, 2009\},$ elige $k$ pares $\{a_i, b_i\}$ con $a_i \lt b_i$ de modo que no haya dos pares con un elemento común. Supón que todas las sumas $a_i + b_i$ son distintas y menores o iguales que $2009.$ Halla el máximo valor posible de $k.$

From the set of integers $\{1, 2, 3, \ldots, 2009\},$ choose $k$ pairs $\{a_i, b_i\}$ with $a_i \lt b_i$ so that no two pairs have a common element. Suppose that all the sums $a_i + b_i$ are distinct and less than or equal to $2009.$ Find the maximum possible value of $k.$

Respuesta

Conceptos:doble conteo argumento extremal

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Sea $S = \sum_{i=1}^{k} (a_i + b_i).$ Los $2k$ elementos elegidos son enteros positivos distintos, así que $S \ge 1 + 2 + \cdots + 2k$ $= k(2k + 1).$ Las $k$ sumas son enteros distintos a lo sumo $2009,$ así que $S \le 2009 + 2008 + \cdots$ ${}+ (2010 - k)$ $= \frac{k(4019 - k)}{2}.$ Combinando, $\begin{aligned} &k(2k + 1) \le \frac{k(4019 - k)}{2} \\ &\implies 4k + 2 \le 4019 - k \\ &\implies k \le \frac{4017}{5} = 803.4, \end{aligned}$ así que $k \le 803.$

Para alcanzar $k = 803,$ toma los pares $(i,\, 1206 + i)$ para $1 \le i \le 401,$ cuyas sumas son los números pares $1208, 1210, \ldots, 2008,$ junto con los pares $(a,\, a + 403)$ para $402 \le a \le 803,$ cuyas sumas son los números impares $1207, 1209, \ldots, 2009.$ Los elementos usados son del $1$ al $803,$ y del $805$ al $1607$ , sin repeticiones, y las $803$ sumas son todas distintas y a lo sumo $2009.$

El máximo es $k = 803.$

Let $S = \sum_{i=1}^{k} (a_i + b_i).$ The $2k$ chosen elements are distinct positive integers, so $S \ge 1 + 2 + \cdots + 2k$ $= k(2k + 1).$ The $k$ sums are distinct integers at most $2009,$ so $S \le 2009 + 2008 + \cdots$ ${}+ (2010 - k)$ $= \frac{k(4019 - k)}{2}.$ Combining, $\begin{aligned} &k(2k + 1) \le \frac{k(4019 - k)}{2} \\ &\implies 4k + 2 \le 4019 - k \\ &\implies k \le \frac{4017}{5} = 803.4, \end{aligned}$ so $k \le 803.$

To achieve $k = 803,$ take the pairs $(i,\, 1206 + i)$ for $1 \le i \le 401,$ whose sums are the even numbers $1208, 1210, \ldots, 2008,$ together with the pairs $(a,\, a + 403)$ for $402 \le a \le 803,$ whose sums are the odd numbers $1207, 1209, \ldots, 2009.$ The elements used are $1$ – $803,$ $805$ – $1607$ with no repeats, and all $803$ sums are distinct and at most $2009.$

The maximum is $k = 803.$

13.

Sean $A$ y $B$ los extremos de un arco semicircular de radio $2.$ El arco se divide en siete arcos congruentes por seis puntos igualmente espaciados $C_1,$ $C_2,$ $\ldots,$ $C_6.$ Se dibujan todas las cuerdas de la forma $\overline{AC_i}$ o $\overline{BC_i}$ . Sea $n$ el producto de las longitudes de estas doce cuerdas. Halla el residuo cuando $n$ se divide entre $1000.$

Let $A$ and $B$ be the endpoints of a semicircular arc of radius $2.$ The arc is divided into seven congruent arcs by six equally spaced points $C_1,$ $C_2,$ $\ldots,$ $C_6.$ All chords of the form $\overline{AC_i}$ or $\overline{BC_i}$ are drawn. Let $n$ be the product of the lengths of these twelve chords. Find the remainder when $n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:raíces de la unidad número complejo cuerda

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Coloca el círculo en el plano complejo con centro $0,$ $A = -2,$ $B = 2,$ y $C_i = 2\omega^i$ para $i = 1, \ldots, 6,$ donde $\omega = e^{i\pi/7}.$ Entonces $AC_i = 2\,|\omega^i + 1|$ y $BC_i = 2\,|\omega^i - 1|,$ así que $AC_i \cdot BC_i = 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr|.$

A medida que $i$ recorre $1, \ldots, 6,$ los números $\omega^{2i} = e^{2\pi i \cdot i/7}$ recorren las seis raíces $7$ -ésimas no triviales de la unidad $\zeta^j.$ Como $\prod_{j=1}^{6} (x - \zeta^j)$ $= 1 + x + \cdots + x^6,$ al sustituir $x = 1$ se obtiene $\prod_{j=1}^{6} \bigl|1 - \zeta^j\bigr| = 7.$ Por lo tanto $\begin{aligned} n &= \prod_{i=1}^{6} 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr| \\ &= 4^6 \cdot 7 = 28672. \end{aligned}$

El residuo cuando $n$ se divide entre $1000$ es $672.$

Put the circle in the complex plane with center $0,$ $A = -2,$ $B = 2,$ and $C_i = 2\omega^i$ for $i = 1, \ldots, 6,$ where $\omega = e^{i\pi/7}.$ Then $AC_i = 2\,|\omega^i + 1|$ and $BC_i = 2\,|\omega^i - 1|,$ so $AC_i \cdot BC_i = 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr|.$

As $i$ runs over $1, \ldots, 6,$ the numbers $\omega^{2i} = e^{2\pi i \cdot i/7}$ run over all six nontrivial $7$ th roots of unity $\zeta^j.$ Since $\prod_{j=1}^{6} (x - \zeta^j)$ $= 1 + x + \cdots + x^6,$ plugging in $x = 1$ gives $\prod_{j=1}^{6} \bigl|1 - \zeta^j\bigr| = 7.$ Therefore $\begin{aligned} n &= \prod_{i=1}^{6} 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr| \\ &= 4^6 \cdot 7 = 28672. \end{aligned}$

The remainder when $n$ is divided by $1000$ is $672.$

14.

La sucesión $(a_n)$ satisface $a_0 = 0$ y $a_{n+1} = \frac{8}{5}a_n + \frac{6}{5}\sqrt{4^n - a_n^2}$ para $n \ge 0.$ Halla el mayor entero menor o igual que $a_{10}.$

The sequence $(a_n)$ satisfies $a_0 = 0$ and $a_{n+1} = \frac{8}{5}a_n + \frac{6}{5}\sqrt{4^n - a_n^2}$ for $n \ge 0.$ Find the greatest integer less than or equal to $a_{10}.$

Respuesta

Conceptos:recursión identidad trigonométrica sustitución

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Escribe $a_n = 2^n \sin\theta_n$ con $\theta_0 = 0,$ así que $\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n|.$ Sea $\theta = \arcsin\frac{3}{5},$ de modo que $\cos\theta = \frac{4}{5}.$ La recursión se convierte en $\begin{aligned} &a_{n+1} \\ &= 2^{n+1} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\theta \sin\theta_n + \sin\theta\,|\cos\theta_n|\right) \\ &= 2^{n+1}\sin(\theta_n \pm \theta), \end{aligned}$ con el signo más cuando $\cos\theta_n \ge 0$ y el signo menos cuando $\cos\theta_n \lt 0.$

Como $\frac{1}{2} \lt \frac{3}{5} \lt \frac{\sqrt{2}}{2},$ tenemos $30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ.$ Los ángulos $\theta,$ $2\theta$ tienen coseno positivo, así que la sucesión de ángulos avanza $0, \theta, 2\theta, 3\theta.$ Pero $90^\circ \lt 3\theta \lt 135^\circ$ tiene coseno negativo, así que $\theta_4 = 2\theta,$ y de ahí en adelante el ángulo alterna entre $3\theta$ y $2\theta.$ En particular $\theta_n = 2\theta$ para todo entero par $n \ge 2.$

Como $\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25},$ $\begin{aligned} a_{10} &= 2^{10} \sin 2\theta \\ &= 1024 \cdot \frac{24}{25} \\ &= \frac{24576}{25} = 983.04, \end{aligned}$ así que la respuesta es $983.$

Write $a_n = 2^n \sin\theta_n$ with $\theta_0 = 0,$ so $\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n|.$ Let $\theta = \arcsin\frac{3}{5},$ so $\cos\theta = \frac{4}{5}.$ The recursion becomes $\begin{aligned} &a_{n+1} \\ &= 2^{n+1} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\theta \sin\theta_n + \sin\theta\,|\cos\theta_n|\right) \\ &= 2^{n+1}\sin(\theta_n \pm \theta), \end{aligned}$ with the plus sign when $\cos\theta_n \ge 0$ and the minus sign when $\cos\theta_n \lt 0.$

Since $\frac{1}{2} \lt \frac{3}{5} \lt \frac{\sqrt{2}}{2},$ we have $30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ.$ The angles $\theta,$ $2\theta$ have positive cosine, so the sequence of angles runs $0, \theta, 2\theta, 3\theta.$ But $90^\circ \lt 3\theta \lt 135^\circ$ has negative cosine, so $\theta_4 = 2\theta,$ and from then on the angle alternates between $3\theta$ and $2\theta.$ In particular $\theta_n = 2\theta$ for every even $n \ge 2.$

With $\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25},$ $\begin{aligned} a_{10} &= 2^{10} \sin 2\theta \\ &= 1024 \cdot \frac{24}{25} \\ &= \frac{24576}{25} = 983.04, \end{aligned}$ so the answer is $983.$

15.

Sea $\overline{MN}$ un diámetro de un círculo de diámetro $1.$ Sean $A$ y $B$ puntos en uno de los arcos semicirculares determinados por $\overline{MN}$ tales que $A$ es el punto medio del semicírculo y $MB = \frac{3}{5}.$ El punto $C$ está en el otro arco semicircular. Sea $d$ la longitud del segmento cuyos extremos son las intersecciones del diámetro $\overline{MN}$ con las cuerdas $\overline{AC}$ y $\overline{BC}.$ El mayor valor posible de $d$ se puede escribir en la forma $r - s\sqrt{t},$ donde $r,$ $s,$ y $t$ son enteros positivos y $t$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $r + s + t.$

Let $\overline{MN}$ be a diameter of a circle with diameter $1.$ Let $A$ and $B$ be points on one of the semicircular arcs determined by $\overline{MN}$ such that $A$ is the midpoint of the semicircle and $MB = \frac{3}{5}.$ Point $C$ lies on the other semicircular arc. Let $d$ be the length of the line segment whose endpoints are the intersections of diameter $\overline{MN}$ with the chords $\overline{AC}$ and $\overline{BC}.$ The largest possible value of $d$ can be written in the form $r - s\sqrt{t},$ where $r,$ $s,$ and $t$ are positive integers and $t$ is not divisible by the square of any prime. Find $r + s + t.$

Respuesta

Conceptos:cuadrilátero cíclico razón de áreas Desigualdad MA-MG optimización

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Que las cuerdas $BC$ y $AC$ corten a $\overline{MN}$ en $P$ y $Q,$ y pon $x = \frac{CM}{CN}.$ Como $\angle MBN = 90^\circ$ (ángulo inscrito en un semicírculo) y $MB = \frac{3}{5},$ obtenemos $BN = \frac{4}{5};$ además $AM = AN = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Como $P$ está tanto en $MN$ como en $BC,$ la razón $\frac{MP}{PN}$ es igual a la razón de las distancias de $M$ y $N$ a la recta $BC,$ es decir, $\frac{[BMC]}{[BNC]}.$ En el cuadrilátero cíclico $MBNC$ los ángulos $BMC$ y $BNC$ son suplementarios, así que sus senos son iguales y $\begin{aligned} \frac{MP}{PN} &= \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC} = \frac{3x}{4}, \\ \frac{MQ}{QN} &= \frac{AM \cdot MC}{AN \cdot NC} = x. \end{aligned}$

Como $MN = 1,$ estas dan $MP = \frac{3x}{3x + 4}$ y $MQ = \frac{x}{x + 1},$ así que $\begin{aligned} &d = MQ - MP \\ &= \frac{x}{x + 1} - \frac{3x}{3x + 4} \\ &= \frac{x}{3x^2 + 7x + 4} \\ &= \frac{1}{3x + \frac{4}{x} + 7}. \end{aligned}$

A medida que $C$ recorre el semicírculo opuesto, $x$ toma todos los valores positivos. Por AM-GM, $3x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3},$ con igualdad en $x = \frac{2}{\sqrt{3}}.$ Por lo tanto, el mayor valor de $d$ es $\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3},$ ya que $(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 1.$ Entonces $r + s + t = 7 + 4 + 3 = 14.$

Let chords $BC$ and $AC$ meet $\overline{MN}$ at $P$ and $Q,$ and set $x = \frac{CM}{CN}.$ Since $\angle MBN = 90^\circ$ (angle in a semicircle) and $MB = \frac{3}{5},$ we get $BN = \frac{4}{5};$ also $AM = AN = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ Because $P$ lies on both $MN$ and $BC,$ the ratio $\frac{MP}{PN}$ equals the ratio of the distances from $M$ and $N$ to line $BC,$ i.e. $\frac{[BMC]}{[BNC]}.$ In cyclic quadrilateral $MBNC$ the angles $BMC$ and $BNC$ are supplementary, so their sines are equal and $\begin{aligned} \frac{MP}{PN} &= \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC} = \frac{3x}{4}, \\ \frac{MQ}{QN} &= \frac{AM \cdot MC}{AN \cdot NC} = x. \end{aligned}$

Since $MN = 1,$ these give $MP = \frac{3x}{3x + 4}$ and $MQ = \frac{x}{x + 1},$ so $\begin{aligned} &d = MQ - MP \\ &= \frac{x}{x + 1} - \frac{3x}{3x + 4} \\ &= \frac{x}{3x^2 + 7x + 4} \\ &= \frac{1}{3x + \frac{4}{x} + 7}. \end{aligned}$

As $C$ ranges over the far semicircle, $x$ takes every positive value. By AM-GM, $3x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3},$ with equality at $x = \frac{2}{\sqrt{3}}.$ Hence the largest value of $d$ is $\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3},$ since $(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 1.$ Then $r + s + t = 7 + 4 + 3 = 14.$