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Soluciones del 2009 AIME II

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Antes de empezar a pintar, Bill tenía 130130 onzas de pintura azul, 164164 onzas de pintura roja y 188188 onzas de pintura blanca. Bill pintó cuatro franjas del mismo tamaño en una pared: una franja azul, una roja, una blanca y una rosada. El rosado es una mezcla de rojo y blanco, no necesariamente en cantidades iguales. Cuando Bill terminó, le quedaban cantidades iguales de pintura azul, roja y blanca. Halla el número total de onzas de pintura que le quedaron a Bill.

Before starting to paint, Bill had 130130 ounces of blue paint, 164164 ounces of red paint, and 188188 ounces of white paint. Bill painted four equally sized stripes on a wall, making a blue stripe, a red stripe, a white stripe, and a pink stripe. Pink is a mixture of red and white, not necessarily in equal amounts. When Bill finished, he had equal amounts of blue, red, and white paint left. Find the total number of ounces of paint Bill had left.

Conceptos:ecuación linealmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1750
Pista pequeña:

Que sobren cantidades iguales significa que la pintura roja usada supera a la azul en 164−130,164 - 130, y de forma similar para la blanca

Equal leftovers mean the red used exceeds the blue used by 164−130,164 - 130, and similarly for white

Pista grande:

Todos esos excesos fueron a parar a la franja rosada, así que la pintura de una franja es 34+5834 + 58 onzas

Those excesses all went into the pink stripe, so one stripe’s worth of paint is 34+5834 + 58 ounces

Solución:

Supongamos que cada franja usó ss onzas de pintura. El azul se usó solo en la franja azul, así que se usaron ss onzas de azul. Como las tres cantidades sobrantes son iguales y los colores partían con 3434 y 5858 onzas de diferencia, el uso de rojo superó al de azul en 164−130=34164 - 130 = 34 onzas y el uso de blanco superó al de azul en 188−130=58188 - 130 = 58 onzas. Ese rojo y blanco adicionales se usaron exactamente en la franja rosada, así que s=34+58=92.s = 34 + 58 = 92.

Por lo tanto, a Bill le quedaron 130−92=38130 - 92 = 38 onzas de cada color, para un total de 3⋅38=1143 \cdot 38 = 114 onzas.

Say each stripe used ss ounces of paint. Blue was used only on the blue stripe, so ss ounces of blue were used. Since the three leftovers are equal and the colors started 3434 and 5858 ounces apart, red use exceeded blue use by 164−130=34164 - 130 = 34 ounces and white use exceeded blue use by 188−130=58188 - 130 = 58 ounces. That extra red and white is exactly the pink stripe, so s=34+58=92.s = 34 + 58 = 92.

Bill therefore had 130−92=38130 - 92 = 38 ounces of each color left, for a total of 3⋅38=1143 \cdot 38 = 114 ounces.

2.

Supongamos que a,a, b,b, y cc son números reales positivos tales que alog⁡37=27,a^{\log_3 7} = 27, blog⁡711=49,b^{\log_7 11} = 49, y clog⁡1125=11.c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11}. Halla a(log⁡37)2+b(log⁡711)2+c(log⁡1125)2.a^{(\log_3 7)^2} + b^{(\log_7 11)^2} + c^{(\log_{11} 25)^2}.

Suppose that a,a, b,b, and cc are positive real numbers such that alog⁡37=27,a^{\log_3 7} = 27, blog⁡711=49,b^{\log_7 11} = 49, and clog⁡1125=11.c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11}. Find a(log⁡37)2+b(log⁡711)2+c(log⁡1125)2.a^{(\log_3 7)^2} + b^{(\log_7 11)^2} + c^{(\log_{11} 25)^2}.

Conceptos:logaritmoexponente
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:

Escribe a(log⁡37)2a^{(\log_3 7)^2} como (alog⁡37)log⁡37=27log⁡37\left(a^{\log_3 7}\right)^{\log_3 7} = 27^{\log_3 7}

Write a(log⁡37)2a^{(\log_3 7)^2} as (alog⁡37)log⁡37=27log⁡37\left(a^{\log_3 7}\right)^{\log_3 7} = 27^{\log_3 7}

Pista grande:

27log⁡37=(3log⁡37)3=73.27^{\log_3 7} = \left(3^{\log_3 7}\right)^3 = 7^3. Trata los otros dos términos de la misma manera.

27log⁡37=(3log⁡37)3=73.27^{\log_3 7} = \left(3^{\log_3 7}\right)^3 = 7^3. Handle the other two terms the same way.

Solución:

Por la regla de la potencia de una potencia, a(log⁡37)2=(alog⁡37)log⁡37=27log⁡37=(3log⁡37)3=73=343. \begin{aligned} a^{(\log_3 7)^2} &= \left(a^{\log_3 7}\right)^{\log_3 7} = 27^{\log_3 7} \\ &= \left(3^{\log_3 7}\right)^3 = 7^3 = 343. \end{aligned}

De la misma manera, b(log⁡711)2=49log⁡711=(7log⁡711)2=112=121, \begin{aligned} b^{(\log_7 11)^2} &= 49^{\log_7 11} = \left(7^{\log_7 11}\right)^2 \\ &= 11^2 = 121, \end{aligned} y c(log⁡1125)2=(11)log⁡1125=(11log⁡1125)12=2512=5. \begin{aligned} c^{(\log_{11} 25)^2} &= \left(\sqrt{11}\right)^{\log_{11} 25} \\ &= \left(11^{\log_{11} 25}\right)^{\frac{1}{2}} \\ &= 25^{\frac{1}{2}} = 5. \end{aligned}

La suma es 343+121+5=469.343 + 121 + 5 = 469.

By the power rule for exponents, a(log⁡37)2=(alog⁡37)log⁡37=27log⁡37=(3log⁡37)3=73=343. \begin{aligned} a^{(\log_3 7)^2} &= \left(a^{\log_3 7}\right)^{\log_3 7} = 27^{\log_3 7} \\ &= \left(3^{\log_3 7}\right)^3 = 7^3 = 343. \end{aligned}

In the same way, b(log⁡711)2=49log⁡711=(7log⁡711)2=112=121, \begin{aligned} b^{(\log_7 11)^2} &= 49^{\log_7 11} = \left(7^{\log_7 11}\right)^2 \\ &= 11^2 = 121, \end{aligned} and c(log⁡1125)2=(11)log⁡1125=(11log⁡1125)12=2512=5. \begin{aligned} c^{(\log_{11} 25)^2} &= \left(\sqrt{11}\right)^{\log_{11} 25} \\ &= \left(11^{\log_{11} 25}\right)^{\frac{1}{2}} \\ &= 25^{\frac{1}{2}} = 5. \end{aligned}

The sum is 343+121+5=469.343 + 121 + 5 = 469.

3.

En el rectángulo ABCD,ABCD, AB=100.AB = 100. Sea EE el punto medio de AD‾.\overline{AD}. Dado que la recta ACAC y la recta BEBE son perpendiculares, halla el mayor entero menor que AD.AD.

In rectangle ABCD,ABCD, AB=100.AB = 100. Let EE be the midpoint of AD‾.\overline{AD}. Given that line ACAC and line BEBE are perpendicular, find the greatest integer less than AD.AD.

Conceptos:geometría analíticapendienterectángulo
Nivel de dificultad: 1890
Pista pequeña:

Coloca coordenadas: A=(0,0),A = (0, 0), B=(100,0),B = (100, 0), D=(0,h),D = (0, h), de modo que E=(0,h2)E = (0, \frac{h}{2}) y C=(100,h)C = (100, h)

Place coordinates: A=(0,0),A = (0, 0), B=(100,0),B = (100, 0), D=(0,h),D = (0, h), so E=(0,h2)E = (0, \frac{h}{2}) and C=(100,h)C = (100, h)

Pista grande:

Las rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es −1:-1: h100⋅(−h200)=−1\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1

Perpendicular lines have slopes whose product is −1:-1: h100⋅(−h200)=−1\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1

Solución:

Sea AD=h,AD = h, y coloca A=(0,0),A = (0, 0), B=(100,0),B = (100, 0), C=(100,h),C = (100, h), D=(0,h),D = (0, h), de modo que E=(0,h2).E = \left(0, \frac{h}{2}\right). La recta ACAC tiene pendiente h100\frac{h}{100} y la recta BEBE tiene pendiente h2−100=−h200.\frac{\frac{h}{2}}{-100} = -\frac{h}{200}. La perpendicularidad da h100⋅(−h200)=−1,\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1, así que h2=20000h^2 = 20000 y h=1002≈141.42.h = 100\sqrt{2} \approx 141.42.

El mayor entero menor que ADAD es 141.141.

Let AD=h,AD = h, and place A=(0,0),A = (0, 0), B=(100,0),B = (100, 0), C=(100,h),C = (100, h), D=(0,h),D = (0, h), so E=(0,h2).E = \left(0, \frac{h}{2}\right). Line ACAC has slope h100\frac{h}{100} and line BEBE has slope h2−100=−h200.\frac{\frac{h}{2}}{-100} = -\frac{h}{200}. Perpendicularity gives h100⋅(−h200)=−1,\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1, so h2=20000h^2 = 20000 and h=1002≈141.42.h = 100\sqrt{2} \approx 141.42.

The greatest integer less than ADAD is 141.141.

4.

Un grupo de niños celebró un concurso de comer uvas. Cuando terminó el concurso, el ganador había comido nn uvas, y el niño en el kk-ésimo lugar había comido n+2−2kn + 2 - 2k uvas. El número total de uvas comidas en el concurso fue 2009.2009. Halla el menor valor posible de n.n.

A group of children held a grape-eating contest. When the contest was over, the winner had eaten nn grapes, and the child in kkth place had eaten n+2−2kn + 2 - 2k grapes. The total number of grapes eaten in the contest was 2009.2009. Find the smallest possible value of n.n.

Conceptos:sucesión aritméticafactoranálisis por casos
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:

Con cc niños, las cantidades de uvas forman una progresión aritmética, y el total es c(n+1−c)=2009=72⋅41c(n + 1 - c) = 2009 = 7^2 \cdot 41

With cc children the grape counts are an arithmetic sequence, and the total is c(n+1−c)=2009=72⋅41c(n + 1 - c) = 2009 = 7^2 \cdot 41

Pista grande:

El niño en último lugar comió n+2−2c≥0n + 2 - 2c \ge 0 uvas; comprueba qué divisores cc de 20092009 sobreviven a esa condición

The last-place child ate n+2−2c≥0n + 2 - 2c \ge 0 grapes; check which divisors cc of 20092009 survive that condition

Solución:

Sea cc el número de niños. Las cantidades de uvas n,n, n−2,n - 2, …,\ldots, n+2−2cn + 2 - 2c forman una progresión aritmética, así que el total es cc por el promedio del primer y último término: c⋅n+(n+2−2c)2=c(n+1−c)=2009=72⋅41. \begin{aligned} &c \cdot \frac{n + (n + 2 - 2c)}{2} \\ &= c(n + 1 - c) \\ &= 2009 = 7^2 \cdot 41. \end{aligned} Por lo tanto 20092009 es divisible por cc y n=2009c+c−1.n = \frac{2009}{c} + c - 1.

El niño en último lugar comió n+2−2c=2009c+1−c≥0n + 2 - 2c = \frac{2009}{c} + 1 - c \ge 0 uvas, lo que obliga a c(c−1)≤2009,c(c - 1) \le 2009, descartando c=49,c = 49, 287,287, y 2009.2009. Los divisores restantes dan n=2009n = 2009 para c=1,c = 1, n=287+6=293n = 287 + 6 = 293 para c=7,c = 7, y n=49+40=89n = 49 + 40 = 89 para c=41.c = 41.

El menor valor posible es n=89.n = 89.

Let cc be the number of children. The grape counts n,n, n−2,n - 2, …,\ldots, n+2−2cn + 2 - 2c form an arithmetic sequence, so the total is cc times the average of the first and last terms: c⋅n+(n+2−2c)2=c(n+1−c)=2009=72⋅41. \begin{aligned} &c \cdot \frac{n + (n + 2 - 2c)}{2} \\ &= c(n + 1 - c) \\ &= 2009 = 7^2 \cdot 41. \end{aligned} Thus 20092009 is divisible by cc and n=2009c+c−1.n = \frac{2009}{c} + c - 1.

The last-place child ate n+2−2c=2009c+1−c≥0n + 2 - 2c = \frac{2009}{c} + 1 - c \ge 0 grapes, which forces c(c−1)≤2009,c(c - 1) \le 2009, ruling out c=49,c = 49, 287,287, and 2009.2009. The remaining divisors give n=2009n = 2009 for c=1,c = 1, n=287+6=293n = 287 + 6 = 293 for c=7,c = 7, and n=49+40=89n = 49 + 40 = 89 for c=41.c = 41.

The smallest possible value is n=89.n = 89.

5.

El triángulo equilátero TT está inscrito en el círculo A,A, que tiene radio 10.10. El círculo BB de radio 33 es tangente interiormente al círculo AA en un vértice de T.T. Los círculos CC y D,D, ambos de radio 2,2, son tangentes interiormente al círculo AA en los otros dos vértices de T.T. Los círculos B,B, C,C, y DD son todos tangentes exteriormente al círculo E,E, que tiene radio mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.

Equilateral triangle TT is inscribed in circle A,A, which has radius 10.10. Circle BB with radius 33 is internally tangent to circle AA at one vertex of T.T. Circles CC and D,D, both with radius 2,2, are internally tangent to circle AA at the other two vertices of T.T. Circles B,B, C,C, and DD are all externally tangent to circle E,E, which has radius mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.

Conceptos:circunferencias tangentesgeometría analíticafórmula de la distancia
Nivel de dificultad: 2450
Pista pequeña:

Los centros de los círculos tangentes interiormente están sobre los radios del círculo A;A; coloca el centro de AA en el origen con el vértice del radio 33 arriba

Centers of internally tangent circles lie along radii of circle A;A; put the center of AA at the origin with the radius-33 vertex on top

Pista grande:

Por simetría, el centro de EE está sobre el eje vertical. La tangencia con BB lo coloca a la altura 4−r;4 - r; luego la tangencia con CC da una ecuación en r.r.

By symmetry EE’s center is on the vertical axis. Tangency to BB puts it at height 4−r;4 - r; then tangency to CC gives an equation in r.r.

Solución:

Coloca el centro del círculo AA en el origen con los vértices del triángulo en (0,10)(0, 10) y (±53,−5).\left(\pm 5\sqrt{3}, -5\right). Un círculo tangente interiormente a AA en un vértice tiene su centro sobre el radio hacia ese vértice, así que el círculo BB tiene centro (0,7)(0, 7) y los círculos CC y DD tienen centros (∓43,−4)\left(\mp 4\sqrt{3}, -4\right) (a distancia 10−2=810 - 2 = 8 del origen).

Por simetría, el centro del círculo E,E, de radio r,r, está sobre el eje yy en (0,y).(0, y). La tangencia exterior con BB da 7−y=r+3,7 - y = r + 3, así que y=4−r.y = 4 - r. La tangencia exterior con CC da (43)2+(4−r+4)2=(r+2)2, \begin{aligned} &\left(4\sqrt{3}\right)^2 \\ &\quad {}+ (4 - r + 4)^2 = (r + 2)^2, \end{aligned} es decir, 48+(8−r)2=(r+2)2,48 + (8 - r)^2 = (r + 2)^2, que se simplifica a 112−16r=4r+4,112 - 16r = 4r + 4, así que r=275.r = \frac{27}{5}.

Entonces m+n=27+5=32.m + n = 27 + 5 = 32.

Place the center of circle AA at the origin with the triangle’s vertices at (0,10)(0, 10) and (±53,−5).\left(\pm 5\sqrt{3}, -5\right). A circle internally tangent to AA at a vertex has its center on the radius to that vertex, so circle BB has center (0,7)(0, 7) and circles CC and DD have centers (∓43,−4)\left(\mp 4\sqrt{3}, -4\right) (at distance 10−2=810 - 2 = 8 from the origin).

By symmetry the center of circle E,E, of radius r,r, lies on the yy-axis at (0,y).(0, y). External tangency to BB gives 7−y=r+3,7 - y = r + 3, so y=4−r.y = 4 - r. External tangency to CC gives (43)2+(4−r+4)2=(r+2)2, \begin{aligned} &\left(4\sqrt{3}\right)^2 \\ &\quad {}+ (4 - r + 4)^2 = (r + 2)^2, \end{aligned} that is, 48+(8−r)2=(r+2)2,48 + (8 - r)^2 = (r + 2)^2, which simplifies to 112−16r=4r+4,112 - 16r = 4r + 4, so r=275.r = \frac{27}{5}.

Then m+n=27+5=32.m + n = 27 + 5 = 32.

6.

Sea mm el número de subconjuntos de cinco elementos que se pueden elegir del conjunto de los primeros 1414 números naturales de modo que al menos dos de los cinco números sean consecutivos. Halla el residuo cuando mm se divide entre 1000.1000.

Let mm be the number of five-element subsets that can be chosen from the set of the first 1414 natural numbers so that at least two of the five numbers are consecutive. Find the remainder when mm is divided by 1000.1000.

Conceptos:conteo complementariobiyecciónsubconjuntos
Nivel de dificultad: 2300
Pista pequeña:

Cuenta el complemento: los subconjuntos de cinco elementos sin dos números consecutivos

Count the complement: five-element subsets with no two consecutive numbers

Pista grande:

Restar 0,0, 1,1, 2,2, 3,3, 44 a los cinco números en orden creciente hace corresponder los subconjuntos sin dos consecutivos de {1,…,14}\{1, \ldots, 14\} con subconjuntos arbitrarios de {1,…,10}\{1, \ldots, 10\}

Subtracting 0,0, 1,1, 2,2, 3,3, 44 from the five numbers in increasing order matches no-two-consecutive subsets of {1,…,14}\{1, \ldots, 14\} with arbitrary subsets of {1,…,10}\{1, \ldots, 10\}

Solución:

Cuenta el complemento: subconjuntos a1<a2<a3<a4<a5a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt a_4 \lt a_5 sin dos consecutivos. Al poner bi=ai−(i−1)b_i = a_i - (i - 1) cada subconjunto de este tipo se convierte en cinco números distintos b1<b2<⋯<b5b_1 \lt b_2 \lt \cdots \lt b_5 en {1,…,10},\{1, \ldots, 10\}, y esta correspondencia es reversible, así que hay (105)=252\binom{10}{5} = 252 subconjuntos sin dos números consecutivos.

Por lo tanto m=(145)−(105)m = \binom{14}{5} - \binom{10}{5} =2002−252=1750,= 2002 - 252 = 1750, y el residuo al dividir entre 10001000 es 750.750.

Count the complement: subsets a1<a2<a3<a4<a5a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt a_4 \lt a_5 with no two consecutive. Setting bi=ai−(i−1)b_i = a_i - (i - 1) turns each such subset into five distinct numbers b1<b2<⋯<b5b_1 \lt b_2 \lt \cdots \lt b_5 in {1,…,10},\{1, \ldots, 10\}, and this map is reversible, so there are (105)=252\binom{10}{5} = 252 subsets with no two consecutive numbers.

Therefore m=(145)−(105)m = \binom{14}{5} - \binom{10}{5} =2002−252=1750,= 2002 - 252 = 1750, and the remainder upon division by 10001000 is 750.750.

7.

Define n!!n!! como n(n−2)(n−4)⋯3⋅1n(n-2)(n-4)\cdots 3 \cdot 1 para nn impar y n(n−2)(n−4)⋯4⋅2n(n-2)(n-4)\cdots 4 \cdot 2 para nn par. Cuando ∑i=12009(2i−1)!!(2i)!!\sum_{i=1}^{2009} \frac{(2i-1)!!}{(2i)!!} se expresa como una fracción en su mínima expresión, su denominador es 2ab2^a b con bb impar. Halla ab10.\frac{ab}{10}.

Define n!!n!! to be n(n−2)(n−4)⋯3⋅1n(n-2)(n-4)\cdots 3 \cdot 1 for nn odd and n(n−2)(n−4)⋯4⋅2n(n-2)(n-4)\cdots 4 \cdot 2 for nn even. When ∑i=12009(2i−1)!!(2i)!!\sum_{i=1}^{2009} \frac{(2i-1)!!}{(2i)!!} is expressed as a fraction in lowest terms, its denominator is 2ab2^a b with bb odd. Find ab10.\frac{ab}{10}.

Conceptos:factorialFórmula de Legendredivisibilidad
Nivel de dificultad: 2840
Pista pequeña:

(2i)!!=2i⋅i!,(2i)!! = 2^i \cdot i!, y como (2ii)=2i(2i−1)!!i!\binom{2i}{i} = \frac{2^i (2i-1)!!}{i!} es un entero, todos los factores impares de i!i! se cancelan dentro de (2i−1)!!(2i-1)!!

(2i)!!=2i⋅i!,(2i)!! = 2^i \cdot i!, and since (2ii)=2i(2i−1)!!i!\binom{2i}{i} = \frac{2^i (2i-1)!!}{i!} is an integer, all odd factors of i!i! cancel into (2i−1)!!(2i-1)!!

Pista grande:

El término ii en su mínima expresión tiene denominador 2i+ei,2^{i + e_i}, siendo eie_i el exponente de 22 en i!.i!. Estos crecen estrictamente, así que el último término manda.

Term ii in lowest terms has denominator 2i+ei,2^{i + e_i}, eie_i the exponent of 22 in i!.i!. These strictly increase, so the last term controls.

Solución:

El ii-ésimo término es (2i−1)!!(2i)!!\frac{(2i-1)!!}{(2i)!!} con numerador impar, y (2i)!!=2i⋅i!.(2i)!! = 2^i \cdot i!. Como (2ii)=(2i)!i! i!=2i(2i−1)!!i!\binom{2i}{i} = \frac{(2i)!}{i!\,i!} = \frac{2^i (2i-1)!!}{i!} es un entero, toda potencia de primo impar que divide a i!i! también divide a (2i−1)!!.(2i-1)!!. Por lo tanto, en su mínima expresión el ii-ésimo término tiene denominador exactamente 2ai2^{a_i} donde ai=i+eia_i = i + e_i y eie_i es el exponente de 22 en i!.i!. Los aia_i crecen estrictamente, así que sobre el común denominador 2a20092^{a_{2009}} todo término salvo el último aporta un numerador par mientras que el último aporta uno impar. La suma en su mínima expresión tiene por lo tanto denominador exactamente 2a2009,2^{a_{2009}}, así que b=1.b = 1.

Por la fórmula de Legendre, e2009=1004+502+251+125+62+31+15+7+3+1=2001, \begin{aligned} e_{2009} &= 1004 + 502 + 251 \\ &\quad {}+ 125 + 62 + 31 + 15 \\ &\quad {}+ 7 + 3 + 1 \\ &= 2001, \end{aligned} así que a=2009+2001=4010.a = 2009 + 2001 = 4010. Entonces ab10=4010⋅110=401.\frac{ab}{10} = \frac{4010 \cdot 1}{10} = 401.

The iith term is (2i−1)!!(2i)!!\frac{(2i-1)!!}{(2i)!!} with odd numerator, and (2i)!!=2i⋅i!.(2i)!! = 2^i \cdot i!. Because (2ii)=(2i)!i! i!=2i(2i−1)!!i!\binom{2i}{i} = \frac{(2i)!}{i!\,i!} = \frac{2^i (2i-1)!!}{i!} is an integer, every odd prime power dividing i!i! also divides (2i−1)!!.(2i-1)!!. Hence in lowest terms the iith term has denominator exactly 2ai2^{a_i} where ai=i+eia_i = i + e_i and eie_i is the exponent of 22 in i!.i!. The aia_i strictly increase, so over the common denominator 2a20092^{a_{2009}} every term except the last contributes an even numerator while the last contributes an odd one. The sum in lowest terms therefore has denominator exactly 2a2009,2^{a_{2009}}, so b=1.b = 1.

By Legendre’s formula, e2009=1004+502+251+125+62+31+15+7+3+1=2001, \begin{aligned} e_{2009} &= 1004 + 502 + 251 \\ &\quad {}+ 125 + 62 + 31 + 15 \\ &\quad {}+ 7 + 3 + 1 \\ &= 2001, \end{aligned} so a=2009+2001=4010.a = 2009 + 2001 = 4010. Then ab10=4010⋅110=401.\frac{ab}{10} = \frac{4010 \cdot 1}{10} = 401.

8.

Dave lanza un dado justo de seis caras hasta que aparece un seis por primera vez. De forma independiente, Linda lanza un dado justo de seis caras hasta que aparece un seis por primera vez. Sean mm y nn enteros positivos primos entre sí tales que mn\frac{m}{n} es la probabilidad de que el número de veces que Dave lanza su dado sea igual al número de veces que Linda lanza el suyo o difiera de él a lo sumo en uno. Halla m+n.m + n.

Dave rolls a fair six-sided die until a six appears for the first time. Independently, Linda rolls a fair six-sided die until a six appears for the first time. Let mm and nn be relatively prime positive integers such that mn\frac{m}{n} is the probability that the number of times Dave rolls his die is equal to or within one of the number of times Linda rolls her die. Find m+n.m + n.

Conceptos:distribución geométricasucesión geométricasimetría
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:

La probabilidad de que el primer seis aparezca en el lanzamiento kk es pk=(56)k−1⋅16p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}

The chance the first six appears on roll kk is pk=(56)k−1⋅16p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}

Pista grande:

Calcula ∑pk2\sum p_k^2 para un empate y ∑pkpk+1\sum p_k p_{k+1} para una diferencia de uno; ambas son series geométricas de razón 2536\frac{25}{36}

Compute ∑pk2\sum p_k^2 for a tie and ∑pkpk+1\sum p_k p_{k+1} for a difference of one; both are geometric series with ratio 2536\frac{25}{36}

Solución:

La probabilidad de que el primer seis de un jugador aparezca en el lanzamiento kk es pk=(56)k−1⋅16.p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}. La probabilidad de un empate es ∑k=1∞pk2=136⋅11−2536=111.\sum_{k=1}^{\infty} p_k^2 = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{1}{11}.

La probabilidad de que Linda necesite exactamente un lanzamiento más que Dave es ∑k=1∞pkpk+1\sum_{k=1}^{\infty} p_k p_{k+1} =56∑k=1∞pk2= \frac{5}{6} \sum_{k=1}^{\infty} p_k^2 =566,= \frac{5}{66}, y por simetría lo mismo vale intercambiando los jugadores.

La probabilidad total es 111+2⋅566=6+1066=833,\frac{1}{11} + 2 \cdot \frac{5}{66} = \frac{6 + 10}{66} = \frac{8}{33}, así que m+n=8+33=41.m + n = 8 + 33 = 41.

The probability that a player’s first six appears on roll kk is pk=(56)k−1⋅16.p_k = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}. The probability of a tie is ∑k=1∞pk2=136⋅11−2536=111.\sum_{k=1}^{\infty} p_k^2 = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{1}{11}.

The probability that Linda needs exactly one more roll than Dave is ∑k=1∞pkpk+1\sum_{k=1}^{\infty} p_k p_{k+1} =56∑k=1∞pk2= \frac{5}{6} \sum_{k=1}^{\infty} p_k^2 =566,= \frac{5}{66}, and by symmetry the same holds with the players swapped.

The total probability is 111+2⋅566=6+1066=833,\frac{1}{11} + 2 \cdot \frac{5}{66} = \frac{6 + 10}{66} = \frac{8}{33}, so m+n=8+33=41.m + n = 8 + 33 = 41.

9.

Sea mm el número de soluciones en enteros positivos de la ecuación 4x+3y+2z=2009,4x + 3y + 2z = 2009, y sea nn el número de soluciones en enteros positivos de la ecuación 4x+3y+2z=2000.4x + 3y + 2z = 2000. Halla el residuo cuando m−nm - n se divide entre 1000.1000.

Let mm be the number of solutions in positive integers to the equation 4x+3y+2z=2009,4x + 3y + 2z = 2009, and let nn be the number of solutions in positive integers to the equation 4x+3y+2z=2000.4x + 3y + 2z = 2000. Find the remainder when m−nm - n is divided by 1000.1000.

Conceptos:Ecuación diofánticabiyeccióninclusión-exclusión
Nivel de dificultad: 2840
Pista pequeña:

Restar 11 a cada variable hace corresponder las soluciones positivas de la ecuación 20092009 con las soluciones no negativas de la ecuación 20002000, ya que 4+3+2=94 + 3 + 2 = 9

Subtracting 11 from each variable matches positive solutions of the 20092009 equation with nonnegative solutions of the 20002000 equation, since 4+3+2=94 + 3 + 2 = 9

Pista grande:

Así que m−nm - n cuenta las soluciones no negativas de 4x+3y+2z=20004x + 3y + 2z = 2000 en las que alguna variable es 0.0. Cuenta los tres casos y corrige el doble conteo.

So m−nm - n counts nonnegative solutions of 4x+3y+2z=20004x + 3y + 2z = 2000 in which some variable is 0.0. Count the three cases and correct for double counting.

Solución:

Si (x,y,z)(x, y, z) es una solución positiva de 4x+3y+2z=2009,4x + 3y + 2z = 2009, entonces (x−1,y−1,z−1)(x - 1, y - 1, z - 1) es una solución no negativa de 4x+3y+2z=2000,4x + 3y + 2z = 2000, y recíprocamente, ya que 4+3+2=9.4 + 3 + 2 = 9. Así que mm es igual al número de soluciones no negativas de 4x+3y+2z=2000,4x + 3y + 2z = 2000, y m−nm - n cuenta las soluciones no negativas de esa ecuación en las que al menos una variable es 0.0.

Si x=0:x = 0: 3y+2z=20003y + 2z = 2000 obliga a que yy sea par, 0≤y≤666,0 \le y \le 666, dando 334334 soluciones. Si y=0:y = 0: 2x+z=10002x + z = 1000 con 0≤x≤5000 \le x \le 500 da 501.501. Si z=0:z = 0: 4x+3y=20004x + 3y = 2000 obliga a y≡0(mod4),y \equiv 0 \pmod 4, 0≤y≤664,0 \le y \le 664, dando 167.167. Las soluciones (0,0,1000)(0, 0, 1000) y (500,0,0)(500, 0, 0) se cuentan dos veces cada una, así que m−n=334+501+167−2=1000. \begin{aligned} m - n &= 334 + 501 + 167 - 2 \\ &= 1000. \end{aligned}

El residuo al dividir entre 10001000 es 0.0.

If (x,y,z)(x, y, z) is a positive solution of 4x+3y+2z=2009,4x + 3y + 2z = 2009, then (x−1,y−1,z−1)(x - 1, y - 1, z - 1) is a nonnegative solution of 4x+3y+2z=2000,4x + 3y + 2z = 2000, and conversely, since 4+3+2=9.4 + 3 + 2 = 9. So mm equals the number of nonnegative solutions of 4x+3y+2z=2000,4x + 3y + 2z = 2000, and m−nm - n counts the nonnegative solutions of that equation in which at least one variable is 0.0.

If x=0:x = 0: 3y+2z=20003y + 2z = 2000 forces yy even, 0≤y≤666,0 \le y \le 666, giving 334334 solutions. If y=0:y = 0: 2x+z=10002x + z = 1000 with 0≤x≤5000 \le x \le 500 gives 501.501. If z=0:z = 0: 4x+3y=20004x + 3y = 2000 forces y≡0(mod4),y \equiv 0 \pmod 4, 0≤y≤664,0 \le y \le 664, giving 167.167. The solutions (0,0,1000)(0, 0, 1000) and (500,0,0)(500, 0, 0) are each counted twice, so m−n=334+501+167−2=1000. \begin{aligned} m - n &= 334 + 501 + 167 - 2 \\ &= 1000. \end{aligned}

The remainder upon division by 10001000 is 0.0.

10.

Cuatro faros están ubicados en los puntos A,A, B,B, C,C, y D.D. El faro en AA está a 55 kilómetros del faro en B,B, el faro en BB está a 1212 kilómetros del faro en C,C, y el faro en AA está a 1313 kilómetros del faro en C.C. Para un observador en A,A, el ángulo determinado por las luces en BB y DD y el ángulo determinado por las luces en CC y DD son iguales. Para un observador en C,C, el ángulo determinado por las luces en AA y BB y el ángulo determinado por las luces en DD y BB son iguales. El número de kilómetros de AA a DD está dado por prq,\frac{p\sqrt{r}}{q}, donde p,p, q,q, y rr son enteros positivos primos entre sí, y rr no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla p+q+r.p + q + r.

Four lighthouses are located at points A,A, B,B, C,C, and D.D. The lighthouse at AA is 55 kilometers from the lighthouse at B,B, the lighthouse at BB is 1212 kilometers from the lighthouse at C,C, and the lighthouse at AA is 1313 kilometers from the lighthouse at C.C. To an observer at A,A, the angle determined by the lights at BB and DD and the angle determined by the lights at CC and DD are equal. To an observer at C,C, the angle determined by the lights at AA and BB and the angle determined by the lights at DD and BB are equal. The number of kilometers from AA to DD is given by prq,\frac{p\sqrt{r}}{q}, where p,p, q,q, and rr are relatively prime positive integers, and rr is not divisible by the square of any prime. Find p+q+r.p + q + r.

Conceptos:bisectrizgeometría analíticaidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2990
Pista pequeña:

El triángulo tiene un ángulo recto en B.B. Las condiciones dicen que ADAD biseca el ángulo BACBAC y que CBCB biseca el ángulo ACD.ACD.

The triangle is right-angled at B.B. The conditions say ADAD bisects angle BACBAC and CBCB bisects angle ACD.ACD.

Pista grande:

Con A=(0,0),A = (0,0), B=(5,0),B = (5,0), C=(5,12):C = (5,12): el rayo CDCD es el reflejo del rayo CACA respecto a la recta vertical CB,CB, así que llega a (10,0),(10, 0), y tan⁡∠BAC2=23\tan\frac{\angle BAC}{2} = \frac{2}{3}

With A=(0,0),A = (0,0), B=(5,0),B = (5,0), C=(5,12):C = (5,12): ray CDCD is the mirror of ray CACA over the vertical line CB,CB, so it hits (10,0),(10, 0), and tan⁡∠BAC2=23\tan\frac{\angle BAC}{2} = \frac{2}{3}

Solución:

Como 52+122=132,5^2 + 12^2 = 13^2, el ángulo BB es recto. Coloca A=(0,0),A = (0, 0), B=(5,0),B = (5, 0), C=(5,12).C = (5, 12). La condición en AA dice que ∠BAD=∠CAD,\angle BAD = \angle CAD, así que DD está sobre la bisectriz del ángulo BAC.BAC. Usando la fórmula del ángulo mitad con tan⁡∠BAC=125,\tan \angle BAC = \frac{12}{5}, tan⁡∠BAC2=sin⁡∠BAC1+cos⁡∠BAC=12131+513=23, \begin{aligned} \tan \frac{\angle BAC}{2} &= \frac{\sin \angle BAC}{1 + \cos \angle BAC} \\ &= \frac{\frac{12}{13}}{1 + \frac{5}{13}} = \frac{2}{3}, \end{aligned} así que DD está sobre la recta y=23x.y = \frac{2}{3}x.

La condición en CC dice que CBCB biseca el ángulo ACD,ACD, así que el rayo CDCD es la reflexión del rayo CACA respecto a la recta CB,CB, que es la recta vertical x=5.x = 5. La reflexión de AA es (10,0),(10, 0), así que DD está sobre la recta que pasa por C=(5,12)C = (5, 12) y (10,0),(10, 0), a saber, 5y=120−12x.5y = 120 - 12x.

Resolviendo y=23xy = \frac{2}{3}x y 5y=120−12x5y = 120 - 12x se obtiene x=18023,x = \frac{180}{23}, y=12023.y = \frac{120}{23}. Entonces AD=602332+22=601323,AD = \frac{60}{23}\sqrt{3^2 + 2^2} = \frac{60\sqrt{13}}{23}, así que p+q+r=60+23+13=96.p + q + r = 60 + 23 + 13 = 96.

Since 52+122=132,5^2 + 12^2 = 13^2, angle BB is right. Place A=(0,0),A = (0, 0), B=(5,0),B = (5, 0), C=(5,12).C = (5, 12). The condition at AA says ∠BAD=∠CAD,\angle BAD = \angle CAD, so DD lies on the bisector of angle BAC.BAC. Using the half-angle formula with tan⁡∠BAC=125,\tan \angle BAC = \frac{12}{5}, tan⁡∠BAC2=sin⁡∠BAC1+cos⁡∠BAC=12131+513=23, \begin{aligned} \tan \frac{\angle BAC}{2} &= \frac{\sin \angle BAC}{1 + \cos \angle BAC} \\ &= \frac{\frac{12}{13}}{1 + \frac{5}{13}} = \frac{2}{3}, \end{aligned} so DD lies on the line y=23x.y = \frac{2}{3}x.

The condition at CC says CBCB bisects angle ACD,ACD, so ray CDCD is the reflection of ray CACA over line CB,CB, which is the vertical line x=5.x = 5. The reflection of AA is (10,0),(10, 0), so DD lies on the line through C=(5,12)C = (5, 12) and (10,0),(10, 0), namely 5y=120−12x.5y = 120 - 12x.

Solving y=23xy = \frac{2}{3}x and 5y=120−12x5y = 120 - 12x gives x=18023,x = \frac{180}{23}, y=12023.y = \frac{120}{23}. Then AD=602332+22=601323,AD = \frac{60}{23}\sqrt{3^2 + 2^2} = \frac{60\sqrt{13}}{23}, so p+q+r=60+23+13=96.p + q + r = 60 + 23 + 13 = 96.

11.

Para ciertos pares (m,n)(m, n) de enteros positivos con m≥nm \ge n hay exactamente 5050 enteros positivos distintos kk tales que ∣log⁡m−log⁡k∣<log⁡n.|\log m - \log k| \lt \log n. Halla la suma de todos los valores posibles del producto mn.mn.

For certain pairs (m,n)(m, n) of positive integers with m≥nm \ge n there are exactly 5050 distinct positive integers kk such that ∣log⁡m−log⁡k∣<log⁡n.|\log m - \log k| \lt \log n. Find the sum of all possible values of the product mn.mn.

Conceptos:logaritmoconteo de enteros en un rangoanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2990
Pista pequeña:

La desigualdad dice exactamente que mn<k<mn\frac{m}{n} \lt k \lt mn

The inequality says exactly that mn<k<mn\frac{m}{n} \lt k \lt mn

Pista grande:

Escribe m=nq+rm = nq + r con 0≤r<n;0 \le r \lt n; la cantidad de tales kk es mn−q−1=50,mn - q - 1 = 50, así que q(n2−1)+nr=51q(n^2 - 1) + nr = 51 deja solo unos pocos casos

Write m=nq+rm = nq + r with 0≤r<n;0 \le r \lt n; the count of such kk is mn−q−1=50,mn - q - 1 = 50, so q(n2−1)+nr=51q(n^2 - 1) + nr = 51 leaves only a few cases

Solución:

La desigualdad ∣log⁡m−log⁡k∣<log⁡n|\log m - \log k| \lt \log n es equivalente a mn<k<mn.\frac{m}{n} \lt k \lt mn. Escribe m=nq+rm = nq + r con 0≤r<n;0 \le r \lt n; como m≥n≥2m \ge n \ge 2 (para n=1n = 1 ningún kk funciona), q≥1.q \ge 1. Los enteros kk en el intervalo son q+1,q + 1, q+2,q + 2, …,\ldots, mn−1,mn - 1, así que hay mn−q−1=50mn - q - 1 = 50 de ellos, es decir, mn−q=51,mn - q = 51, o q(n2−1)+nr=51.q(n^2 - 1) + nr = 51.

Para n≥8n \ge 8 el lado izquierdo es al menos 63,63, así que 2≤n≤7.2 \le n \le 7. Comprobando cada caso, solo funcionan n=2,n = 2, r=0,r = 0, q=17q = 17 (así que m=34m = 34) y n=3,n = 3, r=1,r = 1, q=6q = 6 (así que m=19m = 19). Estos dan mn=68mn = 68 y mn=57;mn = 57; en efecto, 17<k<6817 \lt k \lt 68 y 193<k<57\frac{19}{3} \lt k \lt 57 contienen cada uno exactamente 5050 enteros.

La suma de todos los valores posibles de mnmn es 68+57=125.68 + 57 = 125.

The inequality ∣log⁡m−log⁡k∣<log⁡n|\log m - \log k| \lt \log n is equivalent to mn<k<mn.\frac{m}{n} \lt k \lt mn. Write m=nq+rm = nq + r with 0≤r<n;0 \le r \lt n; since m≥n≥2m \ge n \ge 2 (for n=1n = 1 no kk works), q≥1.q \ge 1. The integers kk in the interval are q+1,q + 1, q+2,q + 2, …,\ldots, mn−1,mn - 1, so there are mn−q−1=50mn - q - 1 = 50 of them, that is, mn−q=51,mn - q = 51, or q(n2−1)+nr=51.q(n^2 - 1) + nr = 51.

For n≥8n \ge 8 the left side is at least 63,63, so 2≤n≤7.2 \le n \le 7. Checking each case, only n=2,n = 2, r=0,r = 0, q=17q = 17 (so m=34m = 34) and n=3,n = 3, r=1,r = 1, q=6q = 6 (so m=19m = 19) work. These give mn=68mn = 68 and mn=57;mn = 57; indeed 17<k<6817 \lt k \lt 68 and 193<k<57\frac{19}{3} \lt k \lt 57 each contain exactly 5050 integers.

The sum of all possible values of mnmn is 68+57=125.68 + 57 = 125.

12.

Del conjunto de enteros {1,2,3,…,2009},\{1, 2, 3, \ldots, 2009\}, elige kk pares {ai,bi}\{a_i, b_i\} con ai<bia_i \lt b_i de modo que no haya dos pares con un elemento común. Supón que todas las sumas ai+bia_i + b_i son distintas y menores o iguales que 2009.2009. Halla el máximo valor posible de k.k.

From the set of integers {1,2,3,…,2009},\{1, 2, 3, \ldots, 2009\}, choose kk pairs {ai,bi}\{a_i, b_i\} with ai<bia_i \lt b_i so that no two pairs have a common element. Suppose that all the sums ai+bia_i + b_i are distinct and less than or equal to 2009.2009. Find the maximum possible value of k.k.

Conceptos:doble conteoargumento extremal
Nivel de dificultad: 3060
Pista pequeña:

Suma las kk sumas de dos maneras: los 2k2k elementos son distintos, así que el total es al menos 1+2+⋯+2k1 + 2 + \cdots + 2k

Add up all kk sums in two ways: the 2k2k elements are distinct, so the total is at least 1+2+⋯+2k1 + 2 + \cdots + 2k

Pista grande:

Las kk sumas son enteros distintos a lo sumo 2009,2009, así que el total es a lo sumo 2009+2008+⋯ .2009 + 2008 + \cdots. Compara las cotas y luego construye un emparejamiento que alcance el kk resultante.

The kk sums are distinct integers at most 2009,2009, so the total is at most 2009+2008+⋯ .2009 + 2008 + \cdots. Compare the bounds, then build a pairing that achieves the resulting k.k.

Solución:

Sea S=∑i=1k(ai+bi).S = \sum_{i=1}^{k} (a_i + b_i). Los 2k2k elementos elegidos son enteros positivos distintos, así que S≥1+2+⋯+2kS \ge 1 + 2 + \cdots + 2k =k(2k+1).= k(2k + 1). Las kk sumas son enteros distintos a lo sumo 2009,2009, así que S≤2009+2008+⋯S \le 2009 + 2008 + \cdots +(2010−k){}+ (2010 - k) =k(4019−k)2.= \frac{k(4019 - k)}{2}. Combinando, k(2k+1)≤k(4019−k)2  ⟹  4k+2≤4019−k  ⟹  k≤40175=803.4, \begin{aligned} &k(2k + 1) \le \frac{k(4019 - k)}{2} \\ &\implies 4k + 2 \le 4019 - k \\ &\implies k \le \frac{4017}{5} = 803.4, \end{aligned} así que k≤803.k \le 803.

Para alcanzar k=803,k = 803, toma los pares (i, 1206+i)(i,\, 1206 + i) para 1≤i≤401,1 \le i \le 401, cuyas sumas son los números pares 1208,1208, 1210,1210, …,\ldots, 2008,2008, junto con los pares (a, a+403)(a,\, a + 403) para 402≤a≤803,402 \le a \le 803, cuyas sumas son los números impares 1207,1207, 1209,1209, …,\ldots, 2009.2009. Los elementos usados son del 11 al 803,803, y del 805805 al 16071607, sin repeticiones, y las 803803 sumas son todas distintas y a lo sumo 2009.2009.

El máximo es k=803.k = 803.

Let S=∑i=1k(ai+bi).S = \sum_{i=1}^{k} (a_i + b_i). The 2k2k chosen elements are distinct positive integers, so S≥1+2+⋯+2kS \ge 1 + 2 + \cdots + 2k =k(2k+1).= k(2k + 1). The kk sums are distinct integers at most 2009,2009, so S≤2009+2008+⋯S \le 2009 + 2008 + \cdots +(2010−k){}+ (2010 - k) =k(4019−k)2.= \frac{k(4019 - k)}{2}. Combining, k(2k+1)≤k(4019−k)2  ⟹  4k+2≤4019−k  ⟹  k≤40175=803.4, \begin{aligned} &k(2k + 1) \le \frac{k(4019 - k)}{2} \\ &\implies 4k + 2 \le 4019 - k \\ &\implies k \le \frac{4017}{5} = 803.4, \end{aligned} so k≤803.k \le 803.

To achieve k=803,k = 803, take the pairs (i, 1206+i)(i,\, 1206 + i) for 1≤i≤401,1 \le i \le 401, whose sums are the even numbers 1208,1208, 1210,1210, …,\ldots, 2008,2008, together with the pairs (a, a+403)(a,\, a + 403) for 402≤a≤803,402 \le a \le 803, whose sums are the odd numbers 1207,1207, 1209,1209, …,\ldots, 2009.2009. The elements used are 11–803,803, 805805–16071607 with no repeats, and all 803803 sums are distinct and at most 2009.2009.

The maximum is k=803.k = 803.

13.

Sean AA y BB los extremos de un arco semicircular de radio 2.2. El arco se divide en siete arcos congruentes por seis puntos igualmente espaciados C1,C_1, C2,C_2, …,\ldots, C6.C_6. Se dibujan todas las cuerdas de la forma ACi‾\overline{AC_i} o BCi‾\overline{BC_i}. Sea nn el producto de las longitudes de estas doce cuerdas. Halla el residuo cuando nn se divide entre 1000.1000.

Let AA and BB be the endpoints of a semicircular arc of radius 2.2. The arc is divided into seven congruent arcs by six equally spaced points C1,C_1, C2,C_2, …,\ldots, C6.C_6. All chords of the form ACi‾\overline{AC_i} or BCi‾\overline{BC_i} are drawn. Let nn be the product of the lengths of these twelve chords. Find the remainder when nn is divided by 1000.1000.

Conceptos:raíces de la unidadnúmero complejocuerda
Nivel de dificultad: 3160
Pista pequeña:

Modela el círculo en el plano complejo con A=−2,A = -2, B=2,B = 2, y Ci=2ωiC_i = 2\omega^i donde ω=eπi7\omega = e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{7}}

Model the circle in the complex plane with A=−2,A = -2, B=2,B = 2, and Ci=2ωiC_i = 2\omega^i where ω=eπi7\omega = e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{7}}

Pista grande:

ACi⋅BCi=4 ∣ω2i−1∣,AC_i \cdot BC_i = 4\,|\omega^{2i} - 1|, y los ω2i\omega^{2i} son exactamente las raíces 77-ésimas no triviales de la unidad, cuyo producto de distancias a 11 es 77

ACi⋅BCi=4 ∣ω2i−1∣,AC_i \cdot BC_i = 4\,|\omega^{2i} - 1|, and the ω2i\omega^{2i} are exactly the nontrivial 77th roots of unity, whose product of distances to 11 is 77

Solución:

Coloca el círculo en el plano complejo con centro 0,0, A=−2,A = -2, B=2,B = 2, y Ci=2ωiC_i = 2\omega^i para i=1,…,6,i = 1, \ldots, 6, donde ω=eπi7.\omega = e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{7}}. Entonces ACi=2 ∣ωi+1∣AC_i = 2\,|\omega^i + 1| y BCi=2 ∣ωi−1∣,BC_i = 2\,|\omega^i - 1|, así que ACi⋅BCi=4 ∣ω2i−1∣.AC_i \cdot BC_i = 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr|.

A medida que ii recorre 1,…,6,1, \ldots, 6, los números ω2i\omega^{2i} recorren las seis raíces 77-ésimas no triviales de la unidad. Sea ζ=ω2.\zeta = \omega^2. Como ∏j=16(x−ζj)\prod_{j=1}^{6} (x - \zeta^j) =1+x+⋯+x6,= 1 + x + \cdots + x^6, al sustituir x=1x = 1 se obtiene ∏j=16∣1−ζj∣=7.\prod_{j=1}^{6} \bigl|1 - \zeta^j\bigr| = 7. Por lo tanto n=∏i=164 ∣ω2i−1∣=46⋅7=28672. \begin{aligned} n &= \prod_{i=1}^{6} 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr| \\ &= 4^6 \cdot 7 = 28672. \end{aligned}

El residuo cuando nn se divide entre 10001000 es 672.672.

Put the circle in the complex plane with center 0,0, A=−2,A = -2, B=2,B = 2, and Ci=2ωiC_i = 2\omega^i for i=1,…,6,i = 1, \ldots, 6, where ω=eπi7.\omega = e^{\frac{\pi \mathrm{i}}{7}}. Then ACi=2 ∣ωi+1∣AC_i = 2\,|\omega^i + 1| and BCi=2 ∣ωi−1∣,BC_i = 2\,|\omega^i - 1|, so ACi⋅BCi=4 ∣ω2i−1∣.AC_i \cdot BC_i = 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr|.

As ii runs over 1,…,6,1, \ldots, 6, the numbers ω2i\omega^{2i} run over all six nontrivial 77th roots of unity. Let ζ=ω2.\zeta = \omega^2. Since ∏j=16(x−ζj)\prod_{j=1}^{6} (x - \zeta^j) =1+x+⋯+x6,= 1 + x + \cdots + x^6, plugging in x=1x = 1 gives ∏j=16∣1−ζj∣=7.\prod_{j=1}^{6} \bigl|1 - \zeta^j\bigr| = 7. Therefore n=∏i=164 ∣ω2i−1∣=46⋅7=28672. \begin{aligned} n &= \prod_{i=1}^{6} 4\,\bigl|\omega^{2i} - 1\bigr| \\ &= 4^6 \cdot 7 = 28672. \end{aligned}

The remainder when nn is divided by 10001000 is 672.672.

14.

La sucesión (an)(a_n) satisface a0=0a_0 = 0 y an+1=85an+654n−an2a_{n+1} = \frac{8}{5}a_n + \frac{6}{5}\sqrt{4^n - a_n^2} para n≥0.n \ge 0. Halla el mayor entero menor o igual que a10.a_{10}.

The sequence (an)(a_n) satisfies a0=0a_0 = 0 and an+1=85an+654n−an2a_{n+1} = \frac{8}{5}a_n + \frac{6}{5}\sqrt{4^n - a_n^2} for n≥0.n \ge 0. Find the greatest integer less than or equal to a10.a_{10}.

Conceptos:recursiónidentidad trigonométricasustitución
Nivel de dificultad: 3160
Pista pequeña:

Prueba an=2nsin⁡θn:a_n = 2^n \sin\theta_n: entonces 4n−an2=2n ∣cos⁡θn∣\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n| y la recursión es la suma de ángulos con θ=arcsin⁡35\theta = \arcsin\frac{3}{5}

Try an=2nsin⁡θn:a_n = 2^n \sin\theta_n: then 4n−an2=2n ∣cos⁡θn∣\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n| and the recursion is angle addition with θ=arcsin⁡35\theta = \arcsin\frac{3}{5}

Pista grande:

Como 30∘<θ<45∘,30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ, el ángulo sube hasta 3θ,3\theta, cuyo coseno es negativo, y luego oscila entre 2θ2\theta y 3θ3\theta

Since 30∘<θ<45∘,30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ, the angle climbs to 3θ,3\theta, whose cosine is negative, and then oscillates between 2θ2\theta and 3θ3\theta

Solución:

Escribe an=2nsin⁡θna_n = 2^n \sin\theta_n con θ0=0,\theta_0 = 0, así que 4n−an2=2n ∣cos⁡θn∣.\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n|. Sea θ=arcsin⁡35,\theta = \arcsin\frac{3}{5}, de modo que cos⁡θ=45.\cos\theta = \frac{4}{5}. La recursión se convierte en an+1=2n+1⋅(cos⁡θsin⁡θn+sin⁡θ ∣cos⁡θn∣)=2n+1sin⁡(θn±θ), \begin{aligned} &a_{n+1} \\ &= 2^{n+1} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\theta \sin\theta_n + \sin\theta\,|\cos\theta_n|\right) \\ &= 2^{n+1}\sin(\theta_n \pm \theta), \end{aligned} con el signo más cuando cos⁡θn≥0\cos\theta_n \ge 0 y el signo menos cuando cos⁡θn<0.\cos\theta_n \lt 0.

Como 12<35<22,\frac{1}{2} \lt \frac{3}{5} \lt \frac{\sqrt{2}}{2}, tenemos 30∘<θ<45∘.30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ. Los ángulos θ,\theta, 2θ2\theta tienen coseno positivo, así que la sucesión de ángulos avanza 0,0, θ,\theta, 2θ,2\theta, 3θ.3\theta. Pero 90∘<3θ<135∘90^\circ \lt 3\theta \lt 135^\circ tiene coseno negativo, así que θ4=2θ,\theta_4 = 2\theta, y de ahí en adelante el ángulo alterna entre 3θ3\theta y 2θ.2\theta. En particular θn=2θ\theta_n = 2\theta para todo entero par n≥2.n \ge 2.

Como sin⁡2θ=2⋅35⋅45=2425,\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}, a10=210sin⁡2θ=1024⋅2425=2457625=983.04, \begin{aligned} a_{10} &= 2^{10} \sin 2\theta \\ &= 1024 \cdot \frac{24}{25} \\ &= \frac{24576}{25} = 983.04, \end{aligned} así que la respuesta es 983.983.

Write an=2nsin⁡θna_n = 2^n \sin\theta_n with θ0=0,\theta_0 = 0, so 4n−an2=2n ∣cos⁡θn∣.\sqrt{4^n - a_n^2} = 2^n\,|\cos\theta_n|. Let θ=arcsin⁡35,\theta = \arcsin\frac{3}{5}, so cos⁡θ=45.\cos\theta = \frac{4}{5}. The recursion becomes an+1=2n+1⋅(cos⁡θsin⁡θn+sin⁡θ ∣cos⁡θn∣)=2n+1sin⁡(θn±θ), \begin{aligned} &a_{n+1} \\ &= 2^{n+1} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\theta \sin\theta_n + \sin\theta\,|\cos\theta_n|\right) \\ &= 2^{n+1}\sin(\theta_n \pm \theta), \end{aligned} with the plus sign when cos⁡θn≥0\cos\theta_n \ge 0 and the minus sign when cos⁡θn<0.\cos\theta_n \lt 0.

Since 12<35<22,\frac{1}{2} \lt \frac{3}{5} \lt \frac{\sqrt{2}}{2}, we have 30∘<θ<45∘.30^\circ \lt \theta \lt 45^\circ. The angles θ,\theta, 2θ2\theta have positive cosine, so the sequence of angles runs 0,0, θ,\theta, 2θ,2\theta, 3θ.3\theta. But 90∘<3θ<135∘90^\circ \lt 3\theta \lt 135^\circ has negative cosine, so θ4=2θ,\theta_4 = 2\theta, and from then on the angle alternates between 3θ3\theta and 2θ.2\theta. In particular θn=2θ\theta_n = 2\theta for every even n≥2.n \ge 2.

With sin⁡2θ=2⋅35⋅45=2425,\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}, a10=210sin⁡2θ=1024⋅2425=2457625=983.04, \begin{aligned} a_{10} &= 2^{10} \sin 2\theta \\ &= 1024 \cdot \frac{24}{25} \\ &= \frac{24576}{25} = 983.04, \end{aligned} so the answer is 983.983.

15.

Sea MN‾\overline{MN} un diámetro de un círculo de diámetro 1.1. Sean AA y BB puntos en uno de los arcos semicirculares determinados por MN‾\overline{MN} tales que AA es el punto medio del arco semicircular y MB=35.MB = \frac{3}{5}. El punto CC está en el otro arco semicircular. Sea dd la longitud del segmento cuyos extremos son las intersecciones del diámetro MN‾\overline{MN} con las cuerdas AC‾\overline{AC} y BC‾.\overline{BC}. El mayor valor posible de dd se puede escribir en la forma r−st,r - s\sqrt{t}, donde r,r, s,s, y tt son enteros positivos y tt no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla r+s+t.r + s + t.

Let MN‾\overline{MN} be a diameter of a circle with diameter 1.1. Let AA and BB be points on one of the semicircular arcs determined by MN‾\overline{MN} such that AA is the midpoint of the semicircle and MB=35.MB = \frac{3}{5}. Point CC lies on the other semicircular arc. Let dd be the length of the line segment whose endpoints are the intersections of diameter MN‾\overline{MN} with the chords AC‾\overline{AC} and BC‾.\overline{BC}. The largest possible value of dd can be written in the form r−st,r - s\sqrt{t}, where r,r, s,s, and tt are positive integers and tt is not divisible by the square of any prime. Find r+s+t.r + s + t.

Conceptos:cuadrilátero cíclicorazón de áreasDesigualdad MA-MGoptimización
Nivel de dificultad: 3370
Pista pequeña:

Si la cuerda BCBC corta a MNMN en P,P, entonces MPPN=[BMC][BNC]=BM⋅MCBN⋅NC,\frac{MP}{PN} = \frac{[BMC]}{[BNC]} = \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC}, ya que los ángulos BMCBMC y BNCBNC son suplementarios

If chord BCBC meets MNMN at P,P, then MPPN=[BMC][BNC]=BM⋅MCBN⋅NC,\frac{MP}{PN} = \frac{[BMC]}{[BNC]} = \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC}, since angles BMCBMC and BNCBNC are supplementary

Pista grande:

Con x=CMCN,x = \frac{CM}{CN}, la longitud resulta ser d=x3x2+7x+4;d = \frac{x}{3x^2 + 7x + 4}; minimiza 3x+4x3x + \frac{4}{x} por AM-GM

With x=CMCN,x = \frac{CM}{CN}, the length works out to d=x3x2+7x+4;d = \frac{x}{3x^2 + 7x + 4}; minimize 3x+4x3x + \frac{4}{x} by AM-GM

Solución:

Supón que las cuerdas BCBC y ACAC cortan a MN‾\overline{MN} en PP y Q,Q, respectivamente, y pon x=CMCN.x = \frac{CM}{CN}. Como ∠MBN=90∘\angle MBN = 90^\circ (ángulo inscrito en un semicírculo) y MB=35,MB = \frac{3}{5}, obtenemos BN=45;BN = \frac{4}{5}; además AM=AN=22.AM = AN = \frac{\sqrt{2}}{2}. Como PP está tanto en MNMN como en BC,BC, la razón MPPN\frac{MP}{PN} es igual a la razón de las distancias de MM y NN a la recta BC,BC, es decir, [BMC][BNC].\frac{[BMC]}{[BNC]}. En el cuadrilátero cíclico MBNCMBNC los ángulos BMCBMC y BNCBNC son suplementarios, así que sus senos son iguales y MPPN=BM⋅MCBN⋅NC=3x4,MQQN=AM⋅MCAN⋅NC=x. \begin{aligned} \frac{MP}{PN} &= \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC} = \frac{3x}{4}, \\ \frac{MQ}{QN} &= \frac{AM \cdot MC}{AN \cdot NC} = x. \end{aligned}

Como MN=1,MN = 1, estas dan MP=3x3x+4MP = \frac{3x}{3x + 4} y MQ=xx+1,MQ = \frac{x}{x + 1}, así que d=MQ−MP=xx+1−3x3x+4=x3x2+7x+4=13x+4x+7. \begin{aligned} &d = MQ - MP \\ &= \frac{x}{x + 1} - \frac{3x}{3x + 4} \\ &= \frac{x}{3x^2 + 7x + 4} \\ &= \frac{1}{3x + \frac{4}{x} + 7}. \end{aligned}

A medida que CC recorre el semicírculo opuesto, xx toma todos los valores positivos. Por AM-GM, 3x+4x≥212=43,3x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}, con igualdad en x=23.x = \frac{2}{\sqrt{3}}. Por lo tanto, el mayor valor de dd es 17+43=7−43,\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3}, ya que (7+43)(7−43)=1.(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 1. Entonces r+s+t=7+4+3=14.r + s + t = 7 + 4 + 3 = 14.

Let chords BCBC and ACAC meet MN‾\overline{MN} at PP and Q,Q, and set x=CMCN.x = \frac{CM}{CN}. Since ∠MBN=90∘\angle MBN = 90^\circ (angle in a semicircle) and MB=35,MB = \frac{3}{5}, we get BN=45;BN = \frac{4}{5}; also AM=AN=22.AM = AN = \frac{\sqrt{2}}{2}. Because PP lies on both MNMN and BC,BC, the ratio MPPN\frac{MP}{PN} equals the ratio of the distances from MM and NN to line BC,BC, i.e. [BMC][BNC].\frac{[BMC]}{[BNC]}. In cyclic quadrilateral MBNCMBNC the angles BMCBMC and BNCBNC are supplementary, so their sines are equal and MPPN=BM⋅MCBN⋅NC=3x4,MQQN=AM⋅MCAN⋅NC=x. \begin{aligned} \frac{MP}{PN} &= \frac{BM \cdot MC}{BN \cdot NC} = \frac{3x}{4}, \\ \frac{MQ}{QN} &= \frac{AM \cdot MC}{AN \cdot NC} = x. \end{aligned}

Since MN=1,MN = 1, these give MP=3x3x+4MP = \frac{3x}{3x + 4} and MQ=xx+1,MQ = \frac{x}{x + 1}, so d=MQ−MP=xx+1−3x3x+4=x3x2+7x+4=13x+4x+7. \begin{aligned} &d = MQ - MP \\ &= \frac{x}{x + 1} - \frac{3x}{3x + 4} \\ &= \frac{x}{3x^2 + 7x + 4} \\ &= \frac{1}{3x + \frac{4}{x} + 7}. \end{aligned}

As CC ranges over the far semicircle, xx takes every positive value. By AM-GM, 3x+4x≥212=43,3x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}, with equality at x=23.x = \frac{2}{\sqrt{3}}. Hence the largest value of dd is 17+43=7−43,\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3}, since (7+43)(7−43)=1.(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 1. Then r+s+t=7+4+3=14.r + s + t = 7 + 4 + 3 = 14.