Question

Dos matemáticos toman un descanso para el café cada mañana. Llegan a la cafetería de forma independiente, en momentos aleatorios entre las $9$ a.m. y las $10$ a.m., y se quedan exactamente $m$ minutos. La probabilidad de que uno de ellos llegue mientras el otro está en la cafetería es $40\%,$ y $m = a - b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

Two mathematicians take a morning coffee break each day. They arrive at the cafeteria independently, at random times between $9$ a.m. and $10$ a.m., and stay for exactly $m$ minutes. The probability that either one arrives while the other is in the cafeteria is $40\%,$ and $m = a - b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Respuesta: 87

Conceptos:probabilidad geométrica probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Representa los dos tiempos de llegada como un punto en un cuadrado $60 \times 60$ ; se encuentran exactamente cuando $|x - y| \lt m$

Plot the two arrival times as a point in a $60 \times 60$ square; they meet exactly when $|x - y| \lt m$

Pista grande:

El complemento consta de dos triángulos rectángulos que encajan formando un cuadrado de lado $60 - m,$ así que $(60 - m)^2 = \frac{3}{5} \cdot 3600$

The complement consists of two right triangles that fit together into a square of side $60 - m,$ so $(60 - m)^2 = \frac{3}{5} \cdot 3600$

Solución:

Sean los tiempos de llegada $x$ e $y$ minutos después de las $9$ a.m., de modo que $(x, y)$ es uniforme en un cuadrado $60 \times 60$ . Las dos personas se encuentran exactamente cuando $|x - y| \lt m.$

La región de no encuentro $|x - y| \ge m$ consta de dos triángulos rectángulos con catetos $60 - m,$ con área total $(60 - m)^2.$ Encontrarse con probabilidad $40\%$ significa $(60 - m)^2 = 0.6 \cdot 3600 = 2160,$ así que $60 - m = \sqrt{2160} = 12\sqrt{15}.$

Por lo tanto $m = 60 - 12\sqrt{15},$ y $a + b + c = 60 + 12 + 15 = 87.$

Let the arrival times be $x$ and $y$ minutes after $9$ a.m., so $(x, y)$ is uniform in a $60 \times 60$ square. The two people meet exactly when $|x - y| \lt m.$

The non-meeting region $|x - y| \ge m$ consists of two right triangles with legs $60 - m,$ with total area $(60 - m)^2.$ Meeting with probability $40\%$ means $(60 - m)^2 = 0.6 \cdot 3600 = 2160,$ so $60 - m = \sqrt{2160} = 12\sqrt{15}.$

Thus $m = 60 - 12\sqrt{15},$ and $a + b + c = 60 + 12 + 15 = 87.$

1998 AIME Problema 9

Respuesta: 87

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años