Question

El octágono $ABCDEFGH$ con lados $AB = CD = EF = GH = 10$ y $BC = DE = FG = HA = 11$ se forma quitando cuatro triángulos $6$ - $8$ - $10$ de las esquinas de un rectángulo $23 \times 27$ con el lado $\overline{AH}$ sobre un lado corto del rectángulo, como se muestra. Sea $J$ el punto medio de $\overline{AH},$ y divide el octágono en $7$ triángulos trazando los segmentos $\overline{JB},$ $\overline{JC},$ $\overline{JD},$ $\overline{JE},$ $\overline{JF},$ y $\overline{JG}.$ Halla el área del polígono convexo cuyos vértices son los baricentros de estos $7$ triángulos.

Octagon $ABCDEFGH$ with side lengths $AB = CD = EF = GH = 10$ and $BC = DE = FG = HA = 11$ is formed by removing four $6$ - $8$ - $10$ triangles from the corners of a $23 \times 27$ rectangle with side $\overline{AH}$ on a short side of the rectangle, as shown. Let $J$ be the midpoint of $\overline{AH},$ and partition the octagon into $7$ triangles by drawing segments $\overline{JB},$ $\overline{JC},$ $\overline{JD},$ $\overline{JE},$ $\overline{JF},$ and $\overline{JG}.$ Find the area of the convex polygon whose vertices are the centroids of these $7$ triangles.

Respuesta

Solución:

Cada uno de los $7$ triángulos tiene a $J$ como vértice, y el baricentro de un triángulo $JVW$ está sobre el segmento que va de $J$ al punto medio de $\overline{VW},$ a dos tercios del recorrido. Así que el heptágono de los baricentros es la imagen del heptágono $S$ formado por los puntos medios de $\overline{AB}, \overline{BC}, \ldots, \overline{GH}$ bajo una homotecia centrada en $J$ de razón $\frac{2}{3},$ y su área es $\frac{4}{9}[S].$

Coloca el rectángulo con $A = (0, 6),$ $B = (8, 0),$ $C = (19, 0),$ $D = (27, 6),$ $E = (27, 17),$ $F = (19, 23),$ $G = (8, 23),$ $H = (0, 17),$ de modo que $J = (0, \tfrac{23}{2}).$ Los puntos medios son $(4, 3),$ $(\tfrac{27}{2}, 0),$ $(23, 3),$ $(27, \tfrac{23}{2}),$ $(23, 20),$ $(\tfrac{27}{2}, 23),$ $(4, 20).$ Los segmentos verticales en $x = 4,$ $x = \tfrac{27}{2},$ y $x = 23$ tienen longitudes $17,$ $23,$ y $17,$ lo que corta $S$ en dos trapecios de altura $\tfrac{19}{2}$ y un triángulo de altura $4:$ $\begin{aligned} [S] &= 2 \cdot \frac{17 + 23}{2} \cdot \frac{19}{2} \\ &\quad {}+ \frac{17 \cdot 4}{2} \\ &= 380 + 34 = 414. \end{aligned}$

El área pedida es $\frac{4}{9} \cdot 414 = 184.$

Each of the $7$ triangles has $J$ as a vertex, and the centroid of a triangle $JVW$ lies on the segment from $J$ to the midpoint of $\overline{VW},$ two-thirds of the way out. So the centroid heptagon is the image of the heptagon $S$ formed by the midpoints of $\overline{AB}, \overline{BC}, \ldots, \overline{GH}$ under a dilation centered at $J$ with ratio $\frac{2}{3},$ and its area is $\frac{4}{9}[S].$

Place the rectangle with $A = (0, 6),$ $B = (8, 0),$ $C = (19, 0),$ $D = (27, 6),$ $E = (27, 17),$ $F = (19, 23),$ $G = (8, 23),$ $H = (0, 17),$ so $J = (0, \tfrac{23}{2}).$ The midpoints are $(4, 3),$ $(\tfrac{27}{2}, 0),$ $(23, 3),$ $(27, \tfrac{23}{2}),$ $(23, 20),$ $(\tfrac{27}{2}, 23),$ $(4, 20).$ The vertical segments at $x = 4,$ $x = \tfrac{27}{2},$ and $x = 23$ have lengths $17,$ $23,$ and $17,$ cutting $S$ into two trapezoids of height $\tfrac{19}{2}$ and a triangle of height $4:$ $\begin{aligned} [S] &= 2 \cdot \frac{17 + 23}{2} \cdot \frac{19}{2} \\ &\quad {}+ \frac{17 \cdot 4}{2} \\ &= 380 + 34 = 414. \end{aligned}$

The requested area is $\frac{4}{9} \cdot 414 = 184.$

2018 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años