Question

Sea $S$ el valor de la suma infinita $\frac{1}{9} + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \frac{1}{9999} + \cdots$ Halla el resto cuando el mayor entero menor o igual que $10^{100} S$ se divide entre $1000.$

Let $S$ denote the value of the infinite sum $\frac{1}{9} + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \frac{1}{9999} + \cdots$ Find the remainder when the greatest integer less than or equal to $10^{100} S$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 669

Conceptos:sucesión geométrica conteo de factores aritmética modular funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Desarrolla cada $\frac{1}{10^k - 1}$ como una serie geométrica en $10^{-k}$ y agrupa las potencias iguales de $10:$ el coeficiente de $10^{-n}$ cuenta los divisores de $n.$

Expand each $\frac{1}{10^k - 1}$ as a geometric series in $10^{-k}$ and collect equal powers of $10:$ the coefficient of $10^{-n}$ counts the divisors of $n.$

Pista grande:

Después de multiplicar por $10^{100},$ solo $n = 98, 99, 100$ afectan a las últimas tres cifras, y la cola sobrante está entre $0$ y $1.$

After multiplying by $10^{100},$ only $n = 98, 99, 100$ affect the last three digits, and the leftover tail is between $0$ and $1.$

Solución:

Cada término es $\frac{1}{10^k - 1} = \sum_{j \ge 1} 10^{-kj},$ así que sumando sobre $k$ y agrupando por el exponente $n = kj$ , obtenemos $S = \sum_{n \ge 1} \frac{d(n)}{10^n},$ donde $d(n)$ es el número de divisores de $n.$ Por lo tanto $10^{100} S = \sum_{n = 1}^{100} d(n)\,10^{100 - n}$ $+ T$ con $T = \sum_{m \ge 1} d(100 + m)\,10^{-m}.$

A partir de $d(101) = 2,$ $d(102) = 8,$ $d(103) = 2,$ $d(104) = 8,$ la cola empieza $0.2$ $+ 0.08$ $+ 0.002$ $+ 0.0008 = 0.2828,$ y como $d(N) \lt 2\sqrt{N},$ los términos restantes aportan menos de $\sum_{m \ge 5} \frac{2\sqrt{100 + m}}{10^m} \lt 0.001.$ Así que $0 \lt T \lt 1$ y $\left\lfloor 10^{100} S \right\rfloor = \sum_{n = 1}^{100} d(n)\,10^{100 - n}.$

Módulo $1000,$ todo término con $n \le 97$ es un múltiplo de $1000,$ dejando $d(98) \cdot 100 + d(99) \cdot 10$ $+ d(100).$ Como $d(98) = 6,$ $d(99) = 6,$ y $d(100) = 9,$ el resto es $600 + 60 + 9 = 669.$

Each term is $\frac{1}{10^k - 1} = \sum_{j \ge 1} 10^{-kj},$ so summing over $k$ and collecting the exponent $n = kj,$ $S = \sum_{n \ge 1} \frac{d(n)}{10^n},$ where $d(n)$ is the number of divisors of $n.$ Hence $10^{100} S = \sum_{n = 1}^{100} d(n)\,10^{100 - n}$ $+ T$ with $T = \sum_{m \ge 1} d(100 + m)\,10^{-m}.$

From $d(101) = 2,$ $d(102) = 8,$ $d(103) = 2,$ $d(104) = 8,$ the tail starts $0.2$ $+ 0.08$ $+ 0.002$ $+ 0.0008 = 0.2828,$ and since $d(N) \lt 2\sqrt{N},$ the remaining terms contribute less than $\sum_{m \ge 5} \frac{2\sqrt{100 + m}}{10^m} \lt 0.001.$ So $0 \lt T \lt 1$ and $\left\lfloor 10^{100} S \right\rfloor = \sum_{n = 1}^{100} d(n)\,10^{100 - n}.$

Modulo $1000,$ every term with $n \le 97$ is a multiple of $1000,$ leaving $d(98) \cdot 100 + d(99) \cdot 10$ $+ d(100).$ Since $d(98) = 6,$ $d(99) = 6,$ and $d(100) = 9,$ the remainder is $600 + 60 + 9 = 669.$

2026 AIME II Problema 9

Respuesta: 669

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años