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2026 AIME II Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2026 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2026 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Sea SS el valor de la suma infinita 19+199+1999+19999+⋯\frac{1}{9} + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \frac{1}{9999} + \cdots Halla el resto cuando el mayor entero menor o igual que 10100S10^{100} S se divide entre 1000.1000.
Let SS denote the value of the infinite sum 19+199+1999+19999+⋯\frac{1}{9} + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \frac{1}{9999} + \cdots Find the remainder when the greatest integer less than or equal to 10100S10^{100} S is divided by 1000.1000.
Respuesta: 669
Conceptos:sucesión geométricaconteo de factoresaritmética modularfunciones piso y techo
Nivel de dificultad: 2920
Pista pequeña:
Desarrolla cada 110k−1\frac{1}{10^k - 1} como una serie geométrica en 10−k10^{-k} y agrupa las potencias iguales de 10:10: el coeficiente de 10−n10^{-n} cuenta los divisores de n.n.
Expand each 110k−1\frac{1}{10^k - 1} as a geometric series in 10−k10^{-k} and collect equal powers of 10:10: the coefficient of 10−n10^{-n} counts the divisors of n.n.
Pista grande:
Después de multiplicar por 10100,10^{100}, solo n=98,99,100n = 98, 99, 100 afectan a las últimas tres cifras, y la cola sobrante está entre 00 y 1.1.
After multiplying by 10100,10^{100}, only n=98,99,100n = 98, 99, 100 affect the last three digits, and the leftover tail is between 00 and 1.1.
Solución:
Cada término es 110k−1=∑j≥110−kj,\frac{1}{10^k - 1} = \sum_{j \ge 1} 10^{-kj}, así que sumando sobre kk y agrupando por el exponente n=kjn = kj, obtenemos S=∑n≥1d(n)10n,S = \sum_{n \ge 1} \frac{d(n)}{10^n}, donde d(n)d(n) es el número de divisores de n.n. Por lo tanto 10100S=∑n=1100d(n) 10100−n10^{100} S = \sum_{n = 1}^{100} d(n)\,10^{100 - n} +T+ T con T=∑m≥1d(100+m) 10−m.T = \sum_{m \ge 1} d(100 + m)\,10^{-m}.
A partir de d(101)=2,d(101) = 2, d(102)=8,d(102) = 8, d(103)=2,d(103) = 2, d(104)=8,d(104) = 8, la cola empieza 0.20.2 +0.08+ 0.08 +0.002+ 0.002 +0.0008=0.2828,+ 0.0008 = 0.2828, y como d(N)<2N,d(N) \lt 2\sqrt{N}, los términos restantes aportan menos de ∑m≥52100+m10m<0.001.\sum_{m \ge 5} \frac{2\sqrt{100 + m}}{10^m} \lt 0.001. Así que 0<T<10 \lt T \lt 1 y ⌊10100S⌋=∑n=1100d(n) 10100−n.\left\lfloor 10^{100} S \right\rfloor = \sum_{n = 1}^{100} d(n)\,10^{100 - n}.
Módulo 1000,1000, todo término con n≤97n \le 97 es un múltiplo de 1000,1000, dejando d(98)⋅100+d(99)⋅10d(98) \cdot 100 + d(99) \cdot 10 +d(100).+ d(100). Como d(98)=6,d(98) = 6, d(99)=6,d(99) = 6, y d(100)=9,d(100) = 9, el resto es 600+60+9=669.600 + 60 + 9 = 669.
Each term is 110k−1=∑j≥110−kj,\frac{1}{10^k - 1} = \sum_{j \ge 1} 10^{-kj}, so summing over kk and collecting the exponent n=kj,n = kj, S=∑n≥1d(n)10n,S = \sum_{n \ge 1} \frac{d(n)}{10^n}, where d(n)d(n) is the number of divisors of n.n. Hence 10100S=∑n=1100d(n) 10100−n10^{100} S = \sum_{n = 1}^{100} d(n)\,10^{100 - n} +T+ T with T=∑m≥1d(100+m) 10−m.T = \sum_{m \ge 1} d(100 + m)\,10^{-m}.
From d(101)=2,d(101) = 2, d(102)=8,d(102) = 8, d(103)=2,d(103) = 2, d(104)=8,d(104) = 8, the tail starts 0.20.2 +0.08+ 0.08 +0.002+ 0.002 +0.0008=0.2828,+ 0.0008 = 0.2828, and since d(N)<2N,d(N) \lt 2\sqrt{N}, the remaining terms contribute less than ∑m≥52100+m10m<0.001.\sum_{m \ge 5} \frac{2\sqrt{100 + m}}{10^m} \lt 0.001. So 0<T<10 \lt T \lt 1 and ⌊10100S⌋=∑n=1100d(n) 10100−n.\left\lfloor 10^{100} S \right\rfloor = \sum_{n = 1}^{100} d(n)\,10^{100 - n}.
Modulo 1000,1000, every term with n≤97n \le 97 is a multiple of 1000,1000, leaving d(98)⋅100+d(99)⋅10d(98) \cdot 100 + d(99) \cdot 10 +d(100).+ d(100). Since d(98)=6,d(98) = 6, d(99)=6,d(99) = 6, and d(100)=9,d(100) = 9, the remainder is 600+60+9=669.600 + 60 + 9 = 669.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

El Problema 9 en otros años

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