Question

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular. Sean $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ y $L$ los puntos medios de los lados $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ $EF,$ y $AF,$ respectivamente. Los segmentos $AH,$ $BI,$ $CJ,$ $DK,$ $EL,$ y $FG$ delimitan un hexágono regular más pequeño. Si la razón entre el área del hexágono más pequeño y el área de $ABCDEF$ se expresa como una fracción $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon. Let $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ and $L$ be the midpoints of sides $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ $EF,$ and $AF,$ respectively. The segments $AH,$ $BI,$ $CJ,$ $DK,$ $EL,$ and $FG$ bound a smaller regular hexagon. Let the ratio of the area of the smaller hexagon to the area of $ABCDEF$ be expressed as a fraction $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Centra el hexágono en el origen con circunradio $1:$ $A = (1, 0),$ $B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $C = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ y $F = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ Entonces $H = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ y $G = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).$ La rotación de $60^\circ$ permuta los seis segmentos, así que el hexágono más pequeño es regular y concéntrico, y la razón de áreas es el cuadrado de la razón de distancias del centro a un vértice.

Un vértice es la intersección de $AH$ y $FG.$ La recta $AH$ es $x + \frac{2}{\sqrt{3}}\,y = 1,$ y la recta $FG$ es $y = 3\sqrt{3}\,x - 2\sqrt{3}.$ Sustituyendo se obtiene $x + 6x - 4 = 1,$ así que $x = \frac{5}{7}$ y $y = \frac{\sqrt{3}}{7}.$

Ese vértice tiene distancia al cuadrado $\frac{25}{49} + \frac{3}{49} = \frac{4}{7}$ al centro, mientras que $A$ está a distancia $1.$ La razón de áreas es $\frac{4}{7},$ y $m + n = 4 + 7 = 11.$

Center the hexagon at the origin with circumradius $1:$ $A = (1, 0),$ $B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $C = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ and $F = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ Then $H = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ and $G = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).$ Rotation by $60^\circ$ permutes the six segments, so the smaller hexagon is regular and concentric, and the area ratio is the square of the ratio of distances from the center to a vertex.

One vertex is the intersection of $AH$ and $FG.$ Line $AH$ is $x + \frac{2}{\sqrt{3}}\,y = 1,$ and line $FG$ is $y = 3\sqrt{3}\,x - 2\sqrt{3}.$ Substituting gives $x + 6x - 4 = 1,$ so $x = \frac{5}{7}$ and $y = \frac{\sqrt{3}}{7}.$

That vertex has squared distance $\frac{25}{49} + \frac{3}{49} = \frac{4}{7}$ from the center, while $A$ is at distance $1.$ The ratio of areas is $\frac{4}{7},$ and $m + n = 4 + 7 = 11.$

2010 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años