Soluciones del 2010 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Sea $N$ el mayor múltiplo entero de $36$ cuyos dígitos son todos pares y no hay dos dígitos iguales. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N$ be the greatest integer multiple of $36$ all of whose digits are even and no two of whose digits are the same. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Como $36 = 4 \cdot 9,$ el número $N$ debe ser divisible tanto entre $4$ como entre $9.$ Sus dígitos son elementos distintos de $\{0, 2, 4, 6, 8\},$ cuyo total es $20,$ así que $N$ no puede usar los cinco. La suma de los dígitos debe ser un múltiplo de $9,$ y al ser par debe ser $18;$ los únicos conjuntos de dígitos posibles son $\{4, 6, 8\}$ y $\{0, 4, 6, 8\}.$

El mayor número formado con $\{0, 4, 6, 8\}$ es $8640,$ que termina en $40,$ un múltiplo de $4.$ Así que $N = 8640,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $640.$

Since $36 = 4 \cdot 9,$ the number $N$ must be divisible by both $4$ and $9.$ Its digits are distinct members of $\{0, 2, 4, 6, 8\},$ whose total is $20,$ so $N$ cannot use all five. The digit sum must be a multiple of $9,$ and being even it must be $18;$ the only such digit sets are $\{4, 6, 8\}$ and $\{0, 4, 6, 8\}.$

The largest number formed from $\{0, 4, 6, 8\}$ is $8640,$ which ends in $40,$ a multiple of $4.$ So $N = 8640,$ and the remainder upon division by $1000$ is $640.$

2.

Se elige al azar un punto $P$ en el interior de un cuadrado unitario $S.$ Sea $d(P)$ la distancia de $P$ al lado más cercano de $S.$ La probabilidad de que $\frac{1}{5} \le d(P) \le \frac{1}{3}$ es igual a $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A point $P$ is chosen at random in the interior of a unit square $S.$ Let $d(P)$ denote the distance from $P$ to the closest side of $S.$ The probability that $\frac{1}{5} \le d(P) \le \frac{1}{3}$ is equal to $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad geométrica área

Nivel de dificultad: 2020

Solución:

Los puntos con $d(P) \ge t$ forman un cuadrado concéntrico de lado $1 - 2t.$ Así, $d(P) \ge \frac{1}{5}$ coloca a $P$ dentro del cuadrado concéntrico de lado $\frac{3}{5},$ y $d(P) \le \frac{1}{3}$ mantiene a $P$ fuera del cuadrado concéntrico abierto de lado $\frac{1}{3}.$

Como el cuadrado unitario tiene área $1,$ la probabilidad es el área entre esos dos cuadrados: $\begin{aligned} &\left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{81 - 25}{225} = \frac{56}{225}. \end{aligned}$ Por tanto $m + n = 56 + 225 = 281.$

The points with $d(P) \ge t$ form a concentric square of side $1 - 2t.$ So $d(P) \ge \frac{1}{5}$ puts $P$ inside the concentric square of side $\frac{3}{5},$ and $d(P) \le \frac{1}{3}$ keeps $P$ outside the open concentric square of side $\frac{1}{3}.$

Since the unit square has area $1,$ the probability is the area between those two squares: $\begin{aligned} &\left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{9}{25} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{81 - 25}{225} = \frac{56}{225}. \end{aligned}$ Thus $m + n = 56 + 225 = 281.$

3.

Sea $K$ el producto de todos los factores $(b - a)$ (no necesariamente distintos) donde $a$ y $b$ son enteros que satisfacen $1 \le a \lt b \le 20.$ Halla el mayor entero positivo $n$ tal que $2^n$ divide a $K.$

Let $K$ be the product of all factors $(b - a)$ (not necessarily distinct) where $a$ and $b$ are integers satisfying $1 \le a \lt b \le 20.$ Find the greatest positive integer $n$ such that $2^n$ divides $K.$

Respuesta

Conceptos:factorización en primos conteo de pares

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

Para cada valor $v = b - a,$ los pares $(a, b) = (1, v+1),$ $(2, v+2),$ $\ldots,$ $(20-v, 20)$ muestran que $v$ aparece exactamente $20 - v$ veces, así que $K = \prod_{v=1}^{19} v^{20-v}.$ Por tanto el exponente de $2$ en $K$ es $\sum_v (20 - v)\,e(v),$ donde $e(v)$ es el exponente de $2$ en $v.$

Solo los $v$ pares contribuyen: $v = 2, 6, 10, 14, 18$ dan $e = 1;$ $v = 4, 12$ dan $e = 2;$ $v = 8$ da $e = 3;$ y $v = 16$ da $e = 4.$ El total es $\begin{aligned} &18 + 16 \cdot 2 + 14 + 12 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 10 + 8 \cdot 2 + 6 + 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 150, \end{aligned}$ así que $n = 150.$

For each value $v = b - a,$ the pairs $(a, b) = (1, v+1),$ $(2, v+2),$ $\ldots,$ $(20-v, 20)$ show that $v$ occurs exactly $20 - v$ times, so $K = \prod_{v=1}^{19} v^{20-v}.$ The exponent of $2$ in $K$ is therefore $\sum_v (20 - v)\,e(v),$ where $e(v)$ is the exponent of $2$ in $v.$

Only even $v$ contribute: $v = 2, 6, 10, 14, 18$ give $e = 1;$ $v = 4, 12$ give $e = 2;$ $v = 8$ gives $e = 3;$ and $v = 16$ gives $e = 4.$ The total is $\begin{aligned} &18 + 16 \cdot 2 + 14 + 12 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 10 + 8 \cdot 2 + 6 + 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 150, \end{aligned}$ so $n = 150.$

4.

Dave llega a un aeropuerto que tiene doce puertas dispuestas en línea recta con exactamente $100$ pies entre puertas adyacentes. Su puerta de salida se asigna al azar. Después de esperar en esa puerta, a Dave le informan que la puerta de salida se ha cambiado a una puerta distinta, de nuevo al azar. Sea la probabilidad de que Dave camine $400$ pies o menos hasta la nueva puerta una fracción $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Dave arrives at an airport which has twelve gates arranged in a straight line with exactly $100$ feet between adjacent gates. His departure gate is assigned at random. After waiting at that gate, Dave is told the departure gate has been changed to a different gate, again at random. Let the probability that Dave walks $400$ feet or less to the new gate be a fraction $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica conteo de pares análisis por casos

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Numera las puertas de $1$ a $12.$ Los $12 \cdot 11 = 132$ pares ordenados de puertas distintas (antigua, nueva) son igualmente probables, y Dave camina $400$ pies o menos exactamente cuando los números de las puertas difieren en a lo sumo $4.$

Una puerta $i$ tiene $\min(i + 4, 12) - \max(i - 4, 1)$ puertas nuevas válidas: las puertas $1$ y $12$ tienen $4$ cada una, las puertas $2$ y $11$ tienen $5,$ las puertas $3$ y $10$ tienen $6,$ las puertas $4$ y $9$ tienen $7,$ y las puertas $5$ a $8$ tienen $8$ cada una. El total es $2(4 + 5 + 6 + 7) + 4 \cdot 8 = 76.$

La probabilidad es $\frac{76}{132} = \frac{19}{33},$ así que $m + n = 19 + 33 = 52.$

Number the gates $1$ through $12.$ All $12 \cdot 11 = 132$ ordered pairs of distinct (old, new) gates are equally likely, and Dave walks $400$ feet or less exactly when the gate numbers differ by at most $4.$

A gate $i$ has $\min(i + 4, 12) - \max(i - 4, 1)$ qualifying new gates: gates $1$ and $12$ have $4$ each, gates $2$ and $11$ have $5,$ gates $3$ and $10$ have $6,$ gates $4$ and $9$ have $7,$ and gates $5$ through $8$ have $8$ each. The total is $2(4 + 5 + 6 + 7) + 4 \cdot 8 = 76.$

The probability is $\frac{76}{132} = \frac{19}{33},$ so $m + n = 19 + 33 = 52.$

5.

Los números positivos $x,$ $y,$ y $z$ satisfacen $xyz = 10^{81}$ y $(\log_{10} x)(\log_{10} yz)$ $+ (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 468.$ Halla $\small \sqrt{(\log_{10} x)^2 + (\log_{10} y)^2 + (\log_{10} z)^2}.$

Positive numbers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy $xyz = 10^{81}$ and $(\log_{10} x)(\log_{10} yz)$ $+ (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 468.$ Find $\small \sqrt{(\log_{10} x)^2 + (\log_{10} y)^2 + (\log_{10} z)^2}.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Sea $a = \log_{10} x,$ $b = \log_{10} y,$ y $c = \log_{10} z.$ Tomando logaritmos en $xyz = 10^{81}$ se obtiene $a + b + c = 81.$ Como $\log_{10} yz = b + c,$ la segunda condición es $a(b + c) + bc = ab + ac + bc$ $= 468.$

Elevando al cuadrado la suma, $\begin{aligned} a^2 + b^2 + c^2 &= (a + b + c)^2 \\ &\quad {}- 2(ab + ac + bc) \\ &= 81^2 - 2 \cdot 468 \\ &= 6561 - 936 \\ &= 5625, \end{aligned}$ así que el valor pedido es $\sqrt{5625} = 75.$

Let $a = \log_{10} x,$ $b = \log_{10} y,$ and $c = \log_{10} z.$ Taking logs of $xyz = 10^{81}$ gives $a + b + c = 81.$ Since $\log_{10} yz = b + c,$ the second condition is $a(b + c) + bc = ab + ac + bc$ $= 468.$

Squaring the sum, $\begin{aligned} a^2 + b^2 + c^2 &= (a + b + c)^2 \\ &\quad {}- 2(ab + ac + bc) \\ &= 81^2 - 2 \cdot 468 \\ &= 6561 - 936 \\ &= 5625, \end{aligned}$ so the requested value is $\sqrt{5625} = 75.$

6.

Halla el menor entero positivo $n$ con la propiedad de que el polinomio $x^4 - nx + 63$ se puede escribir como producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Find the smallest positive integer $n$ with the property that the polynomial $x^4 - nx + 63$ can be written as a product of two nonconstant polynomials with integer coefficients.

Respuesta

Conceptos:polinomio factorización análisis por casos

Nivel de dificultad: 2500

Solución:

Si hay un factor lineal, entonces algún entero $b$ es una raíz, así que $b^4 - nb + 63 = 0$ y $n = b^3 + \frac{63}{b},$ lo que obliga a $b \mid 63$ y $b \gt 0.$ El menor valor es $48,$ en $b = 3.$

En caso contrario el polinomio se descompone en dos cuadráticas, que podemos tomar mónicas; como el coeficiente de $x^3$ se anula, tienen la forma $\begin{aligned} &(x^2 + px + q)(x^2 - px + r) \\ &= x^4 + (q + r - p^2)x^2 \\ &\quad {}+ p(r - q)x + qr. \end{aligned}$ Igualar coeficientes da $q + r = p^2,$ $qr = 63,$ y $n = p(q - r).$ Los pares de factores de $63$ con suma cuadrada son $\{7, 9\}$ (suma $16,$ así que $p = 4$ ) y $\{1, 63\}$ (suma $64,$ así que $p = 8$ ), dando $n = 4 \cdot 2 = 8$ o $n = 8 \cdot 62 = 496.$

El menor valor positivo en total es $n = 8;$ en efecto $(x^2 + 4x + 9)(x^2 - 4x + 7)$ $= x^4 - 8x + 63.$

If there is a linear factor, then some integer $b$ is a root, so $b^4 - nb + 63 = 0$ and $n = b^3 + \frac{63}{b},$ forcing $b \mid 63$ and $b \gt 0.$ The smallest value is $48,$ at $b = 3.$

Otherwise the polynomial splits into two quadratics, which we may take monic; since the $x^3$ coefficient vanishes, they have the form $\begin{aligned} &(x^2 + px + q)(x^2 - px + r) \\ &= x^4 + (q + r - p^2)x^2 \\ &\quad {}+ p(r - q)x + qr. \end{aligned}$ Matching coefficients gives $q + r = p^2,$ $qr = 63,$ and $n = p(q - r).$ The factor pairs of $63$ with square sum are $\{7, 9\}$ (sum $16,$ so $p = 4$ ) and $\{1, 63\}$ (sum $64,$ so $p = 8$ ), giving $n = 4 \cdot 2 = 8$ or $n = 8 \cdot 62 = 496.$

The smallest positive value overall is $n = 8;$ indeed $(x^2 + 4x + 9)(x^2 - 4x + 7)$ $= x^4 - 8x + 63.$

7.

Sea $P(z) = z^3 + az^2 + bz + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son reales. Existe un número complejo $w$ tal que las tres raíces de $P(z)$ son $w + 3i,$ $w + 9i,$ y $2w - 4,$ donde $i^2 = -1.$ Halla $|a + b + c|.$

Let $P(z) = z^3 + az^2 + bz + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are real. There exists a complex number $w$ such that the three roots of $P(z)$ are $w + 3i,$ $w + 9i,$ and $2w - 4,$ where $i^2 = -1.$ Find $|a + b + c|.$

Respuesta

Conceptos:número complejo polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2410

Solución:

Escribe $w = x + yi$ con $x, y$ reales. La suma de las raíces es $4w + 12i - 4 = -a,$ que es real, así que $4y + 12 = 0$ y $y = -3.$ Las raíces son entonces $x,$ $x + 6i,$ y $2x - 4 - 6i.$ Como los coeficientes son reales, las dos raíces no reales deben ser conjugadas, así que $2x - 4 = x,$ dando $x = 4.$ Las raíces son $4,$ $4 + 6i,$ y $4 - 6i.$

Ahora $\begin{aligned} 1 + a + b + c &= P(1) \\ &= (1 - 4) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 + 6i)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 - 6i)\bigr) \\ &= (-3)(9 + 36) \\ &= -135, \end{aligned}$ así que $a + b + c = -136$ y $|a + b + c| = 136.$

Write $w = x + yi$ with $x, y$ real. The sum of the roots is $4w + 12i - 4 = -a,$ which is real, so $4y + 12 = 0$ and $y = -3.$ The roots are then $x,$ $x + 6i,$ and $2x - 4 - 6i.$ Because the coefficients are real, the two non-real roots must be conjugates, so $2x - 4 = x,$ giving $x = 4.$ The roots are $4,$ $4 + 6i,$ and $4 - 6i.$

Now $\begin{aligned} 1 + a + b + c &= P(1) \\ &= (1 - 4) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 + 6i)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 - 6i)\bigr) \\ &= (-3)(9 + 36) \\ &= -135, \end{aligned}$ so $a + b + c = -136$ and $|a + b + c| = 136.$

8.

Sea $N$ el número de pares ordenados de conjuntos no vacíos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ que tienen las siguientes propiedades: • $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ $\small = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\},$ • $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \emptyset,$ • el número de elementos de $\mathcal{A}$ no es un elemento de $\mathcal{A},$ • el número de elementos de $\mathcal{B}$ no es un elemento de $\mathcal{B}.$ Halla $N.$

Let $N$ be the number of ordered pairs of nonempty sets $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ that have the following properties: • $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ $\small = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\},$ • $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \emptyset,$ • the number of elements of $\mathcal{A}$ is not an element of $\mathcal{A},$ • the number of elements of $\mathcal{B}$ is not an element of $\mathcal{B}.$ Find $N.$

Respuesta

Conceptos:subconjuntos combinaciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Sea $k = |\mathcal{A}|,$ así $|\mathcal{B}| = 12 - k$ con $1 \le k \le 11.$ Como cada elemento está en exactamente un conjunto, $k \notin \mathcal{A}$ significa $k \in \mathcal{B},$ y $12 - k \notin \mathcal{B}$ significa $12 - k \in \mathcal{A}.$ Si $k = 6,$ entonces $6$ tendría que pertenecer a ambos conjuntos, lo cual es imposible, así que $k \ne 6.$

Para cada otro $k,$ los elementos $k$ y $12 - k$ ya están colocados, y los $k - 1$ elementos restantes de $\mathcal{A}$ se pueden elegir entre los otros $10$ números de $\binom{10}{k-1}$ maneras, y $\mathcal{B}$ toma el resto. Por tanto $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{11} \binom{10}{k-1} - \binom{10}{5} \\ &= 2^{10} - 252 = 772. \end{aligned}$

Let $k = |\mathcal{A}|,$ so $|\mathcal{B}| = 12 - k$ with $1 \le k \le 11.$ Since every element lies in exactly one set, $k \notin \mathcal{A}$ means $k \in \mathcal{B},$ and $12 - k \notin \mathcal{B}$ means $12 - k \in \mathcal{A}.$ If $k = 6,$ then $6$ would have to belong to both sets, which is impossible, so $k \ne 6.$

For each other $k,$ the elements $k$ and $12 - k$ are already placed, and the remaining $k - 1$ elements of $\mathcal{A}$ can be chosen from the other $10$ numbers in $\binom{10}{k-1}$ ways, with $\mathcal{B}$ taking the rest. Hence $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{11} \binom{10}{k-1} - \binom{10}{5} \\ &= 2^{10} - 252 = 772. \end{aligned}$

9.

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular. Sean $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ y $L$ los puntos medios de los lados $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ $EF,$ y $AF,$ respectivamente. Los segmentos $AH,$ $BI,$ $CJ,$ $DK,$ $EL,$ y $FG$ delimitan un hexágono regular más pequeño. Si la razón entre el área del hexágono más pequeño y el área de $ABCDEF$ se expresa como una fracción $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon. Let $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ and $L$ be the midpoints of sides $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ $EF,$ and $AF,$ respectively. The segments $AH,$ $BI,$ $CJ,$ $DK,$ $EL,$ and $FG$ bound a smaller regular hexagon. Let the ratio of the area of the smaller hexagon to the area of $ABCDEF$ be expressed as a fraction $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:polígono regular geometría analítica razón de áreas simetría

Nivel de dificultad: 2430

Solución:

Centra el hexágono en el origen con circunradio $1:$ $A = (1, 0),$ $B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $C = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ y $F = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ Entonces $H = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ y $G = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).$ La rotación de $60^\circ$ permuta los seis segmentos, así que el hexágono más pequeño es regular y concéntrico, y la razón de áreas es el cuadrado de la razón de distancias del centro a un vértice.

Un vértice es la intersección de $AH$ y $FG.$ La recta $AH$ es $x + \frac{2}{\sqrt{3}}\,y = 1,$ y la recta $FG$ es $y = 3\sqrt{3}\,x - 2\sqrt{3}.$ Sustituyendo se obtiene $x + 6x - 4 = 1,$ así que $x = \frac{5}{7}$ y $y = \frac{\sqrt{3}}{7}.$

Ese vértice tiene distancia al cuadrado $\frac{25}{49} + \frac{3}{49} = \frac{4}{7}$ al centro, mientras que $A$ está a distancia $1.$ La razón de áreas es $\frac{4}{7},$ y $m + n = 4 + 7 = 11.$

Center the hexagon at the origin with circumradius $1:$ $A = (1, 0),$ $B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $C = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),$ and $F = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ Then $H = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ and $G = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right).$ Rotation by $60^\circ$ permutes the six segments, so the smaller hexagon is regular and concentric, and the area ratio is the square of the ratio of distances from the center to a vertex.

One vertex is the intersection of $AH$ and $FG.$ Line $AH$ is $x + \frac{2}{\sqrt{3}}\,y = 1,$ and line $FG$ is $y = 3\sqrt{3}\,x - 2\sqrt{3}.$ Substituting gives $x + 6x - 4 = 1,$ so $x = \frac{5}{7}$ and $y = \frac{\sqrt{3}}{7}.$

That vertex has squared distance $\frac{25}{49} + \frac{3}{49} = \frac{4}{7}$ from the center, while $A$ is at distance $1.$ The ratio of areas is $\frac{4}{7},$ and $m + n = 4 + 7 = 11.$

10.

Halla el número de polinomios de segundo grado $f(x)$ con coeficientes enteros y ceros enteros para los cuales $f(0) = 2010.$

Find the number of second-degree polynomials $f(x)$ with integer coefficients and integer zeros for which $f(0) = 2010.$

Respuesta

Conceptos:polinomio factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2890

Solución:

Escribe $f(x) = a(x - r)(x - s)$ con raíces enteras $r, s;$ tal polinomio está determinado por $a$ y el par no ordenado $\{r, s\}.$ La condición $f(0) = 2010$ dice $a \cdot rs = 2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67.$ Como $2010$ es libre de cuadrados, cada uno de los cuatro primos va por completo a uno de $|a|,$ $|r|,$ $|s|.$

Supón primero $|r| \ne |s|.$ Elegir cuáles $k \ge 1$ de los cuatro primos dividen a las raíces ( $\binom{4}{k}$ maneras) y repartir esos primos entre las dos raíces ( $2^{k-1}$ maneras no ordenadas) da $\sum_{k=1}^{4} \binom{4}{k} 2^{k-1} = 4 + 12 + 16 + 8$ $= 40$ elecciones de magnitudes. Para cada una, los cuatro patrones de signo $(+,+),$ $(+,-),$ $(-,+),$ $(-,-)$ de $(r, s)$ son distintos y cada uno determina el signo de $a,$ dando $4 \cdot 40 = 160$ polinomios.

Si $|r| = |s|,$ la ausencia de cuadrados obliga a $|r| = |s| = 1,$ así que $|a| = 2010:$ las opciones son raíces $1, 1$ o $-1, -1$ con $a = 2010,$ o raíces $1, -1$ con $a = -2010,$ añadiendo $3$ más. En total $160 + 3 = 163.$

Write $f(x) = a(x - r)(x - s)$ with integer roots $r, s;$ such a polynomial is determined by $a$ and the unordered pair $\{r, s\}.$ The condition $f(0) = 2010$ says $a \cdot rs = 2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67.$ Since $2010$ is squarefree, each of the four primes goes entirely to one of $|a|,$ $|r|,$ $|s|.$

First suppose $|r| \ne |s|.$ Choosing which $k \ge 1$ of the four primes divide the roots ( $\binom{4}{k}$ ways) and splitting those primes between the two roots ( $2^{k-1}$ unordered ways) gives $\sum_{k=1}^{4} \binom{4}{k} 2^{k-1} = 4 + 12 + 16 + 8$ $= 40$ choices of magnitudes. For each, the four sign patterns $(+,+),$ $(+,-),$ $(-,+),$ $(-,-)$ of $(r, s)$ are distinct and each forces the sign of $a,$ giving $4 \cdot 40 = 160$ polynomials.

If $|r| = |s|,$ squarefreeness forces $|r| = |s| = 1,$ so $|a| = 2010:$ the options are roots $1, 1$ or $-1, -1$ with $a = 2010,$ or roots $1, -1$ with $a = -2010,$ adding $3$ more. In total $160 + 3 = 163.$

11.

Define una T-grid como una matriz $3 \times 3$ que satisface las siguientes dos propiedades: (1) exactamente cinco de las entradas son $1$ 's, y las cuatro entradas restantes son $0$ 's, y (2) entre las ocho filas, columnas y diagonales largas (las diagonales largas son $\{a_{13}, a_{22}, a_{31}\}$ y $\{a_{11}, a_{22}, a_{33}\}$ ), no más de una de las ocho tiene sus tres entradas iguales. Halla el número de T-grids distintas.

Define a T-grid to be a $3 \times 3$ matrix which satisfies the following two properties: (1) exactly five of the entries are $1$ 's, and the remaining four entries are $0$ 's, and (2) among the eight rows, columns, and long diagonals (the long diagonals are $\{a_{13}, a_{22}, a_{31}\}$ and $\{a_{11}, a_{22}, a_{33}\}$ ), no more than one of the eight has all three entries equal. Find the number of distinct T-grids.

Respuesta

Conceptos:conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Hay $\binom{9}{5} = 126$ matrices que satisfacen (1); restamos aquellas con dos o más líneas constantes. Dos líneas de $0$ 's son imposibles (necesitarían al menos $5$ ceros), y una línea de $1$ 's y una línea de $0$ 's no pueden cruzarse, así que deben ser filas paralelas o columnas paralelas; de igual modo dos líneas de $1$ 's no pueden ser paralelas ( $6$ unos), así que deben cruzarse, usando exactamente $3 + 3 - 1 = 5$ unos.

Caso 1: una línea de $1$ 's y una línea paralela de $0$ 's. Hay $6$ elecciones para la fila o columna toda de $1$ , $2$ para la línea paralela toda de $0$ , y $3$ maneras de llenar la línea paralela restante con dos $1$ 's y un $0:$ $6 \cdot 2 \cdot 3 = 36$ matrices. Cada línea perpendicular contiene entonces tanto un $1$ como un $0,$ así que no aparece una tercera línea constante y nada se cuenta dos veces.

Caso 2: dos líneas cruzadas de $1$ 's y $0$ 's en el resto. El par puede ser una fila y una columna ( $3 \cdot 3 = 9$ ), una fila o columna con una diagonal ( $6 \cdot 2 = 12$ ), o las dos diagonales ( $1$ ), dando $22$ matrices; se comprueba que los cuatro $0$ 's restantes nunca forman una línea constante. Así que $126 - 36 - 22 = 68.$

There are $\binom{9}{5} = 126$ matrices satisfying (1); we subtract those with two or more constant lines. Two lines of $0$ 's are impossible (they would need at least $5$ zeros), and a line of $1$ 's and a line of $0$ 's cannot cross, so they must be parallel rows or parallel columns; likewise two lines of $1$ 's cannot be parallel ( $6$ ones), so they must cross, using exactly $3 + 3 - 1 = 5$ ones.

Case 1: a line of $1$ 's and a parallel line of $0$ 's. There are $6$ choices for the all- $1$ row or column, $2$ for the parallel all- $0$ line, and $3$ ways to fill the remaining parallel line with two $1$ 's and one $0:$ $6 \cdot 2 \cdot 3 = 36$ matrices. Every perpendicular line then contains both a $1$ and a $0,$ so no third constant line appears and nothing is double-counted.

Case 2: two crossing lines of $1$ 's and $0$ 's elsewhere. The pair can be a row and a column ( $3 \cdot 3 = 9$ ), a row or column with a diagonal ( $6 \cdot 2 = 12$ ), or the two diagonals ( $1$ ), for $22$ matrices; one checks the four remaining $0$ 's never form a constant line. So $126 - 36 - 22 = 68.$

12.

Dos triángulos isósceles no congruentes de lados enteros tienen el mismo perímetro y la misma área. La razón entre las longitudes de las bases de los dos triángulos es $8 : 7.$ Halla el mínimo valor posible de su perímetro común.

Two noncongruent integer-sided isosceles triangles have the same perimeter and the same area. The ratio of the lengths of the bases of the two triangles is $8 : 7.$ Find the minimum possible value of their common perimeter.

Respuesta

Conceptos:triángulo isósceles Teorema de Pitágoras Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Como las bases enteras están en razón $8 : 7,$ son $8a$ y $7a$ para un entero positivo $a.$ Áreas iguales hacen que las alturas correspondientes sean inversamente proporcionales a las bases, digamos $7h$ y $8h.$ Los lados iguales son entonces $\sqrt{16a^2 + 49h^2}$ y $\sqrt{\frac{49}{4}a^2 + 64h^2},$ y perímetros iguales dan $\begin{aligned} &8a + 2\sqrt{16a^2 + 49h^2} \\ &= 7a + 2\sqrt{\tfrac{49}{4}a^2 + 64h^2}. \end{aligned}$

Pasando $7a$ al lado izquierdo y elevando al cuadrado se obtiene $a\sqrt{16a^2 + 49h^2} = 15h^2 - 4a^2;$ elevando al cuadrado de nuevo y simplificando queda $225h^4 = 169a^2h^2,$ así que $h = \frac{13a}{15}.$ Los lados iguales se vuelven $\sqrt{16a^2 + 49 \cdot \tfrac{169a^2}{225}} = \frac{109a}{15}$ y $\sqrt{\tfrac{49}{4}a^2 + 64 \cdot \tfrac{169a^2}{225}} = \frac{233a}{30}.$

Para que todos los lados sean enteros, $30$ debe dividir a $a.$ Tomando $a = 30$ se obtienen los triángulos $(218, 218, 240)$ y $(233, 233, 210),$ cada uno con perímetro $676$ y área $21840.$ El mínimo perímetro común es $676.$

Since the integer bases are in ratio $8 : 7,$ they are $8a$ and $7a$ for a positive integer $a.$ Equal areas make the corresponding altitudes inversely proportional to the bases, say $7h$ and $8h.$ The legs are then $\sqrt{16a^2 + 49h^2}$ and $\sqrt{\frac{49}{4}a^2 + 64h^2},$ and equal perimeters give $\begin{aligned} &8a + 2\sqrt{16a^2 + 49h^2} \\ &= 7a + 2\sqrt{\tfrac{49}{4}a^2 + 64h^2}. \end{aligned}$

Moving $7a$ to the left and squaring yields $a\sqrt{16a^2 + 49h^2} = 15h^2 - 4a^2;$ squaring again and simplifying leaves $225h^4 = 169a^2h^2,$ so $h = \frac{13a}{15}.$ The legs become $\sqrt{16a^2 + 49 \cdot \tfrac{169a^2}{225}} = \frac{109a}{15}$ and $\sqrt{\tfrac{49}{4}a^2 + 64 \cdot \tfrac{169a^2}{225}} = \frac{233a}{30}.$

For all sides to be integers, $30$ must divide $a.$ Taking $a = 30$ gives the triangles $(218, 218, 240)$ and $(233, 233, 210),$ each with perimeter $676$ and area $21840.$ The minimum common perimeter is $676.$

13.

Las $52$ cartas de una baraja están numeradas $1, 2, \ldots, 52.$ Alex, Blair, Corey y Dylan sacan cada uno una carta de la baraja sin reemplazo y con cada carta igualmente probable de ser sacada. Las dos personas con las cartas de menor número forman un equipo, y las dos personas con las cartas de mayor número forman otro equipo. Sea $p(a)$ la probabilidad de que Alex y Dylan estén en el mismo equipo, dado que Alex saca una de las cartas $a$ y $a + 9,$ y Dylan saca la otra de estas dos cartas. El mínimo valor de $p(a)$ para el cual $p(a) \ge \frac{1}{2}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The $52$ cards in a deck are numbered $1, 2, \ldots, 52.$ Alex, Blair, Corey, and Dylan each picks a card from the deck without replacement and with each card being equally likely to be picked. The two persons with lower numbered cards form a team, and the two persons with higher numbered cards form another team. Let $p(a)$ be the probability that Alex and Dylan are on the same team, given that Alex picks one of the cards $a$ and $a + 9,$ and Dylan picks the other of these two cards. The minimum value of $p(a)$ for which $p(a) \ge \frac{1}{2}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad condicional combinaciones desigualdad

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Condiciona en que Alex y Dylan tengan $a$ y $a + 9.$ Blair y Corey sacan entonces $2$ de las $50$ cartas restantes, y Alex y Dylan son compañeros exactamente cuando ambas de esas cartas están por debajo de $a$ (Alex y Dylan son el equipo alto) o ambas por encima de $a + 9$ (el equipo bajo). Hay $a - 1$ cartas por debajo y $52 - (a + 9) = 43 - a$ cartas por encima, así que $p(a) = \frac{\binom{a-1}{2} + \binom{43-a}{2}}{\binom{50}{2}}.$

El numerador es $\frac{(a-1)(a-2) + (43-a)(42-a)}{2}$ $= a^2 - 44a + 904,$ así que $p(a) \ge \frac{1}{2}$ se convierte en $a^2 - 44a + 904 \ge \frac{25 \cdot 49}{2},$ es decir, $(a - 22)^2 \ge \frac{385}{2}.$ Como $a$ es entero, $|a - 22| \ge 14,$ así que $a \le 8$ o $a \ge 36.$

La parábola es más pequeña en los puntos admisibles más cercanos a $a = 22:$ $p(8) = p(36)$ $= \frac{\binom{7}{2} + \binom{35}{2}}{\binom{50}{2}}$ $= \frac{616}{1225}$ $= \frac{88}{175},$ que en efecto es al menos $\frac{1}{2}.$ Por tanto $m + n = 88 + 175 = 263.$

Condition on Alex and Dylan holding $a$ and $a + 9.$ Blair and Corey then draw $2$ of the remaining $50$ cards, and Alex and Dylan are teammates exactly when both of those cards are below $a$ (Alex and Dylan are the high team) or both are above $a + 9$ (the low team). There are $a - 1$ cards below and $52 - (a + 9) = 43 - a$ cards above, so $p(a) = \frac{\binom{a-1}{2} + \binom{43-a}{2}}{\binom{50}{2}}.$

The numerator is $\frac{(a-1)(a-2) + (43-a)(42-a)}{2}$ $= a^2 - 44a + 904,$ so $p(a) \ge \frac{1}{2}$ becomes $a^2 - 44a + 904 \ge \frac{25 \cdot 49}{2},$ that is, $(a - 22)^2 \ge \frac{385}{2}.$ Since $a$ is an integer, $|a - 22| \ge 14,$ so $a \le 8$ or $a \ge 36.$

The parabola is smallest at the admissible points closest to $a = 22:$ $p(8) = p(36)$ $= \frac{\binom{7}{2} + \binom{35}{2}}{\binom{50}{2}}$ $= \frac{616}{1225}$ $= \frac{88}{175},$ which is indeed at least $\frac{1}{2}.$ Thus $m + n = 88 + 175 = 263.$

14.

En el triángulo rectángulo $ABC$ con el ángulo recto en $C,$ $\angle BAC \lt 45^\circ$ y $AB = 4.$ El punto $P$ en $\overline{AB}$ tiene las propiedades de que $\angle APC = 2\angle ACP$ y $CP = 1.$ La razón $\frac{AP}{BP}$ se puede representar en la forma $p + q\sqrt{r},$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $p + q + r.$

In right triangle $ABC$ with the right angle at $C,$ $\angle BAC \lt 45^\circ$ and $AB = 4.$ Point $P$ on $\overline{AB}$ has the properties that $\angle APC = 2\angle ACP$ and $CP = 1.$ The ratio $\frac{AP}{BP}$ can be represented in the form $p + q\sqrt{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers and $r$ is not divisible by the square of any prime. Find $p + q + r.$

Respuesta

Conceptos:potencia de un punto circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio ángulo inscrito

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Como el ángulo recto está en $C,$ el segmento $AB$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita; sea $O$ su centro, así que el radio es $2.$ Sea $\alpha = \angle ACP$ y prolonga $\overline{CP}$ hasta cortar de nuevo la circunferencia en $D.$ El ángulo central sobre el arco $AD$ es $\angle AOD = 2\angle ACD = 2\alpha,$ mientras que los ángulos opuestos por el vértice dan $\angle DPB = \angle APC = 2\alpha.$ Así, $\overline{OD}$ y $\overline{PD}$ forman ángulos iguales con la recta $AB,$ y el triángulo $ODP$ es isósceles con $DP = DO = 2.$

Por la potencia del punto $P,$ $\begin{aligned} AP \cdot PB = CP \cdot PD = 1 \cdot 2 &= 2, \\ AP + PB &= 4, \end{aligned}$ así que $AP$ y $PB$ son las raíces de $t^2 - 4t + 2,$ a saber $2 \pm \sqrt{2}.$ Como $\angle BAC \lt 45^\circ,$ tenemos $BC \lt AC$ con $AC^2 + BC^2 = 16,$ así que $AC \gt 2\sqrt{2},$ y la desigualdad triangular da $AP \ge AC - CP$ $\gt 2\sqrt{2} - 1$ $\gt 2 - \sqrt{2}.$ Por tanto $AP = 2 + \sqrt{2}.$

Por tanto $\begin{aligned} \frac{AP}{BP} &= \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \\ &= \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2} = 3 + 2\sqrt{2}, \end{aligned}$ así que $p + q + r = 3 + 2 + 2 = 7.$

Because the right angle is at $C,$ segment $AB$ is a diameter of the circumcircle; let $O$ be its center, so the radius is $2.$ Let $\alpha = \angle ACP$ and extend $\overline{CP}$ to meet the circle again at $D.$ The central angle over arc $AD$ is $\angle AOD = 2\angle ACD = 2\alpha,$ while vertical angles give $\angle DPB = \angle APC = 2\alpha.$ So $\overline{OD}$ and $\overline{PD}$ make equal angles with line $AB,$ and triangle $ODP$ is isosceles with $DP = DO = 2.$

By the power of the point $P,$ $\begin{aligned} AP \cdot PB = CP \cdot PD = 1 \cdot 2 &= 2, \\ AP + PB &= 4, \end{aligned}$ so $AP$ and $PB$ are the roots of $t^2 - 4t + 2,$ namely $2 \pm \sqrt{2}.$ Since $\angle BAC \lt 45^\circ,$ we have $BC \lt AC$ with $AC^2 + BC^2 = 16,$ so $AC \gt 2\sqrt{2},$ and the triangle inequality gives $AP \ge AC - CP$ $\gt 2\sqrt{2} - 1$ $\gt 2 - \sqrt{2}.$ Hence $AP = 2 + \sqrt{2}.$

Therefore $\begin{aligned} \frac{AP}{BP} &= \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \\ &= \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2} = 3 + 2\sqrt{2}, \end{aligned}$ and $p + q + r = 3 + 2 + 2 = 7.$

15.

En el triángulo $ABC,$ $AC = 13,$ $BC = 14,$ y $AB = 15.$ Los puntos $M$ y $D$ están en $\overline{AC}$ con $AM = MC$ y $\angle ABD = \angle DBC.$ Los puntos $N$ y $E$ están en $\overline{AB}$ con $AN = NB$ y $\angle ACE = \angle ECB.$ Sea $P$ el otro punto de intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle AMN$ y $\triangle ADE.$ El rayo $AP$ corta a $\overline{BC}$ en $Q.$ La razón $\frac{BQ}{CQ}$ se puede escribir en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m - n.$

In triangle $ABC,$ $AC = 13,$ $BC = 14,$ and $AB = 15.$ Points $M$ and $D$ lie on $\overline{AC}$ with $AM = MC$ and $\angle ABD = \angle DBC.$ Points $N$ and $E$ lie on $\overline{AB}$ with $AN = NB$ and $\angle ACE = \angle ECB.$ Let $P$ be the other point of intersection of the circumcircles of $\triangle AMN$ and $\triangle ADE.$ Ray $AP$ meets $\overline{BC}$ at $Q.$ The ratio $\frac{BQ}{CQ}$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m - n.$

Respuesta

Conceptos:cuadrilátero cíclico teorema de la bisectriz ley de los senos razón de áreas

Nivel de dificultad: 3700

Solución:

Por el teorema de la bisectriz, $AE = \frac{13}{27} \cdot 15$ y $CD = \frac{14}{29} \cdot 13,$ así que $E$ está en $\overline{AN}$ y $D$ está en $\overline{MC},$ con $\begin{aligned} NE &= AN - AE = \frac{15}{2} - \frac{65}{9} \\ &= \frac{5}{18}, \\ MD &= CM - CD = \frac{13}{2} - \frac{182}{29} \\ &= \frac{13}{58}. \end{aligned}$

Como $AMPN$ es cíclico, $\angle ENP = \angle ANP$ $= 180^\circ - \angle AMP$ $= \angle DMP,$ y como $AEPD$ es cíclico, $\angle NEP = 180^\circ - \angle AEP$ $= \angle ADP$ $= \angle MDP.$ Por tanto los triángulos $ENP$ y $DMP$ son semejantes, así que $\frac{NP}{MP} = \frac{NE}{MD}.$ Por la ley de los senos en los triángulos $ANP$ y $AMP,$ cuyos ángulos $\angle ANP$ y $\angle AMP$ son suplementarios, $\begin{aligned} \frac{\sin\angle BAQ}{\sin\angle CAQ} &= \frac{\sin\angle NAP}{\sin\angle MAP} \\ &= \frac{NP}{MP} = \frac{5/18}{13/58} \\ &= \frac{145}{117}. \end{aligned}$

Comparando las áreas de los triángulos $ABQ$ y $ACQ,$ que comparten la ceviana $\overline{AQ},$ $\begin{aligned} \frac{BQ}{CQ} &= \frac{[ABQ]}{[ACQ]} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAQ}{AC \sin\angle CAQ} \\ &= \frac{15}{13} \cdot \frac{145}{117} = \frac{725}{507}, \end{aligned}$ que está en su mínima expresión ya que $507 = 3 \cdot 13^2$ y $725 = 5^2 \cdot 29.$ Por tanto $m - n = 725 - 507 = 218.$

By the angle bisector theorem, $AE = \frac{13}{27} \cdot 15$ and $CD = \frac{14}{29} \cdot 13,$ so $E$ lies on $\overline{AN}$ and $D$ lies on $\overline{MC},$ with $\begin{aligned} NE &= AN - AE = \frac{15}{2} - \frac{65}{9} \\ &= \frac{5}{18}, \\ MD &= CM - CD = \frac{13}{2} - \frac{182}{29} \\ &= \frac{13}{58}. \end{aligned}$

Since $AMPN$ is cyclic, $\angle ENP = \angle ANP$ $= 180^\circ - \angle AMP$ $= \angle DMP,$ and since $AEPD$ is cyclic, $\angle NEP = 180^\circ - \angle AEP$ $= \angle ADP$ $= \angle MDP.$ Hence triangles $ENP$ and $DMP$ are similar, so $\frac{NP}{MP} = \frac{NE}{MD}.$ By the law of sines in triangles $ANP$ and $AMP,$ whose angles $\angle ANP$ and $\angle AMP$ are supplementary, $\begin{aligned} \frac{\sin\angle BAQ}{\sin\angle CAQ} &= \frac{\sin\angle NAP}{\sin\angle MAP} \\ &= \frac{NP}{MP} = \frac{5/18}{13/58} \\ &= \frac{145}{117}. \end{aligned}$

Comparing the areas of triangles $ABQ$ and $ACQ,$ which share the cevian $\overline{AQ},$ $\begin{aligned} \frac{BQ}{CQ} &= \frac{[ABQ]}{[ACQ]} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAQ}{AC \sin\angle CAQ} \\ &= \frac{15}{13} \cdot \frac{145}{117} = \frac{725}{507}, \end{aligned}$ which is in lowest terms since $507 = 3 \cdot 13^2$ and $725 = 5^2 \cdot 29.$ Thus $m - n = 725 - 507 = 218.$