Question

¿Para cuántos enteros positivos $n$ menores o iguales que $1000$ se cumple $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= \sin nt + i \cos nt \end{aligned}$ para todo real $t$ ?

For how many positive integers $n$ less than or equal to $1000$ is $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= \sin nt + i \cos nt \end{aligned}$ true for all real $t?$

Respuesta

Solución:

Como $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i \sin t)$ y $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt)$ , el teorema de de Moivre (aplicado al ángulo $-t$ ) da $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= i^n(\cos t - i\sin t)^n \\ &= i^n(\cos nt - i \sin nt). \end{aligned}$

Así que la ecuación se cumple para todo real $t$ exactamente cuando $i^n = i$ , es decir, cuando $n \equiv 1 \pmod 4$ . Los valores $n = 1, 5, 9, \ldots, 997$ dan exactamente $250$ enteros positivos hasta $1000$ .

Since $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i \sin t)$ and $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt),$ de Moivre's theorem (applied to angle $-t$ ) gives $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= i^n(\cos t - i\sin t)^n \\ &= i^n(\cos nt - i \sin nt). \end{aligned}$

So the equation holds for all real $t$ exactly when $i^n = i,$ that is, when $n \equiv 1 \pmod 4.$ The values $n = 1, 5, 9, \ldots, 997$ give exactly $250$ positive integers up to $1000.$

2005 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años