Question

¿Para cuántos enteros positivos $n$ menores o iguales que $1000$ se cumple $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= \sin nt + i \cos nt \end{aligned}$ para todo real $t$ ?

For how many positive integers $n$ less than or equal to $1000$ is $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= \sin nt + i \cos nt \end{aligned}$ true for all real $t?$

Respuesta

Respuesta: 250

Conceptos:Teorema de De Moivre número complejo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Escribe $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i\sin t)$ y $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt).$

Write $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i\sin t)$ and $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt)$

Pista grande:

Por el teorema de De Moivre, la ecuación se reduce a $i^n = i,$ así que $n$ debe ser $1$ más que un múltiplo de $4.$

By de Moivre the equation reduces to $i^n = i,$ so $n$ must be $1$ more than a multiple of $4$

Solución:

Como $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i \sin t)$ y $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt),$ el teorema de De Moivre (aplicado al ángulo $-t$ ) da $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= i^n(\cos t - i\sin t)^n \\ &= i^n(\cos nt - i \sin nt). \end{aligned}$

Así que la ecuación se cumple para todo real $t$ exactamente cuando $i^n = i,$ es decir, cuando $n \equiv 1 \pmod 4.$ Los valores $n = 1, 5, 9, \ldots, 997$ dan exactamente $250$ enteros positivos hasta $1000.$

Since $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i \sin t)$ and $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt),$ de Moivre’s theorem (applied to angle $-t$ ) gives $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= i^n(\cos t - i\sin t)^n \\ &= i^n(\cos nt - i \sin nt). \end{aligned}$

So the equation holds for all real $t$ exactly when $i^n = i,$ that is, when $n \equiv 1 \pmod 4.$ The values $n = 1, 5, 9, \ldots, 997$ give exactly $250$ positive integers up to $1000.$

2005 AIME II Problema 9

Respuesta: 250

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años