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2012 AIME II Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2012 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Sean xx y yy números reales tales que sin⁡xsin⁡y=3\frac{\sin x}{\sin y} = 3 y cos⁡xcos⁡y=12.\frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{2}. El valor de sin⁡2xsin⁡2y+cos⁡2xcos⁡2y\frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x}{\cos 2y} puede expresarse en la forma pq,\frac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos primos entre sí. Halle p+q.p + q.
Let xx and yy be real numbers such that sin⁡xsin⁡y=3\frac{\sin x}{\sin y} = 3 and cos⁡xcos⁡y=12.\frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{2}. The value of sin⁡2xsin⁡2y+cos⁡2xcos⁡2y\frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x}{\cos 2y} can be expressed in the form pq,\frac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers. Find p+q.p + q.
Respuesta: 107
Conceptos:identidad trigonométricamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
sin⁡2xsin⁡2y\frac{\sin 2x}{\sin 2y} es simplemente el producto de las dos razones dadas.
sin⁡2xsin⁡2y\frac{\sin 2x}{\sin 2y} is just the product of the two given ratios
Pista grande:
Eleve al cuadrado ambas ecuaciones dadas y súmelas, usando sin⁡2+cos⁡2=1,\sin^2 + \cos^2 = 1, para hallar cos⁡2y;\cos^2 y; luego aplique cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1.
Square both given equations and add, using sin⁡2+cos⁡2=1,\sin^2 + \cos^2 = 1, to find cos⁡2y;\cos^2 y; then apply cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1
Solución:
Por la fórmula del ángulo doble, sin⁡2xsin⁡2y=2sin⁡xcos⁡x2sin⁡ycos⁡y=3⋅12=32. \begin{aligned} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} &= \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} \\ &= 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \end{aligned}
Elevando al cuadrado las ecuaciones dadas, sin⁡2x=9sin⁡2y\sin^2 x = 9\sin^2 y y cos⁡2x=14cos⁡2y.\cos^2 x = \frac{1}{4}\cos^2 y. Sumando, 1=9(1−cos⁡2y)+14cos⁡2y,1 = 9(1 - \cos^2 y) + \frac{1}{4}\cos^2 y, así que 354cos⁡2y=8\frac{35}{4}\cos^2 y = 8 y cos⁡2y=3235.\cos^2 y = \frac{32}{35}. Entonces cos⁡2y=2cos⁡2y−1=2935\cos 2y = 2\cos^2 y - 1 = \frac{29}{35} y cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 =12cos⁡2y−1= \frac{1}{2}\cos^2 y - 1 =−1935,= -\frac{19}{35}, así que cos⁡2xcos⁡2y=−1929.\frac{\cos 2x}{\cos 2y} = -\frac{19}{29}.
El valor pedido es 32−1929=87−3858=4958,\frac{3}{2} - \frac{19}{29} = \frac{87 - 38}{58} = \frac{49}{58}, y p+q=49+58=107.p + q = 49 + 58 = 107.
From the double-angle formula, sin⁡2xsin⁡2y=2sin⁡xcos⁡x2sin⁡ycos⁡y=3⋅12=32. \begin{aligned} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} &= \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} \\ &= 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \end{aligned}
Squaring the given equations, sin⁡2x=9sin⁡2y\sin^2 x = 9\sin^2 y and cos⁡2x=14cos⁡2y.\cos^2 x = \frac{1}{4}\cos^2 y. Adding, 1=9(1−cos⁡2y)+14cos⁡2y,1 = 9(1 - \cos^2 y) + \frac{1}{4}\cos^2 y, so 354cos⁡2y=8\frac{35}{4}\cos^2 y = 8 and cos⁡2y=3235.\cos^2 y = \frac{32}{35}. Then cos⁡2y=2cos⁡2y−1=2935\cos 2y = 2\cos^2 y - 1 = \frac{29}{35} and cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 =12cos⁡2y−1= \frac{1}{2}\cos^2 y - 1 =−1935,= -\frac{19}{35}, so cos⁡2xcos⁡2y=−1929.\frac{\cos 2x}{\cos 2y} = -\frac{19}{29}.
The requested value is 32−1929=87−3858=4958,\frac{3}{2} - \frac{19}{29} = \frac{87 - 38}{58} = \frac{49}{58}, and p+q=49+58=107.p + q = 49 + 58 = 107.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

El Problema 9 en otros años

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