Question

Supón que $x$ está en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ y $\log_{24 \sin x}(24 \cos x) = \frac{3}{2}.$ Halla $24 \cot^2 x.$

Suppose $x$ is in the interval $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ and $\log_{24 \sin x}(24 \cos x) = \frac{3}{2}.$ Find $24 \cot^2 x.$

Respuesta

Solución:

En forma exponencial la ecuación dice $(24 \sin x)^{3/2} = 24 \cos x.$ Elevando al cuadrado se obtiene $24^3 \sin^3 x = 24^2 \cos^2 x,$ así que $\cos^2 x = 24 \sin^3 x.$

Escribiendo $s = \sin x$ y usando $\cos^2 x = 1 - s^2,$ obtenemos $24s^3 + s^2 - 1 = 0,$ que se factoriza como $(3s - 1)(8s^2 + 3s + 1) = 0.$ El factor cuadrático tiene discriminante negativo, así que $\sin x = \frac{1}{3}.$

Entonces $\begin{aligned} 24 \cot^2 x &= 24 \cdot \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= 24 \cdot \frac{8/9}{1/9} \\ &= 24 \cdot 8 = 192. \end{aligned}$

In exponential form the equation says $(24 \sin x)^{3/2} = 24 \cos x.$ Squaring gives $24^3 \sin^3 x = 24^2 \cos^2 x,$ so $\cos^2 x = 24 \sin^3 x.$

Writing $s = \sin x$ and using $\cos^2 x = 1 - s^2,$ we get $24s^3 + s^2 - 1 = 0,$ which factors as $(3s - 1)(8s^2 + 3s + 1) = 0.$ The quadratic factor has negative discriminant, so $\sin x = \frac{1}{3}.$

Then $\begin{aligned} 24 \cot^2 x &= 24 \cdot \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= 24 \cdot \frac{8/9}{1/9} \\ &= 24 \cdot 8 = 192. \end{aligned}$

2011 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años