Question

Sea $S$ el conjunto de divisores enteros positivos de $20^9.$ Se eligen tres números de forma independiente y al azar del conjunto $S$ y se etiquetan $a_1,$ $a_2,$ y $a_3$ en el orden en que se eligen. La probabilidad de que a la vez $a_1$ divida a $a_2$ y $a_2$ divida a $a_3$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m.$

Let $S$ be the set of positive integer divisors of $20^9.$ Three numbers are chosen independently and at random from the set $S$ and labeled $a_1,$ $a_2,$ and $a_3$ in the order they are chosen. The probability that both $a_1$ divides $a_2$ and $a_2$ divides $a_3$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m.$

Respuesta

Solución:

Escriba $20^9 = 2^{18} \cdot 5^9,$ así que cada $a_i = 2^{x_i} 5^{y_i}$ con $0 \le x_i \le 18$ y $0 \le y_i \le 9;$ hay $19 \cdot 10 = 190$ divisores, y los exponentes de los dos primos se eligen de forma independiente y uniforme. La cadena $a_1 \mid a_2 \mid a_3$ se cumple exactamente cuando $x_1 \le x_2 \le x_3$ y $y_1 \le y_2 \le y_3.$

Las ternas no decrecientes de un conjunto de $k$ valores corresponden a multiconjuntos de tamaño $3,$ contados por $\binom{k+2}{3}.$ Así que la probabilidad es $\begin{aligned} \frac{\binom{21}{3}}{19^3} \cdot \frac{\binom{12}{3}}{10^3} &= \frac{1330}{6859} \cdot \frac{220}{1000} \\ &= \frac{70}{361} \cdot \frac{11}{50} \\ &= \frac{77}{1805}. \end{aligned}$

Como $1805 = 5 \cdot 19^2$ no comparte ningún factor con $77 = 7 \cdot 11,$ la fracción está en su forma más simple y $m = 77.$

Write $20^9 = 2^{18} \cdot 5^9,$ so each $a_i = 2^{x_i} 5^{y_i}$ with $0 \le x_i \le 18$ and $0 \le y_i \le 9;$ there are $19 \cdot 10 = 190$ divisors, and the exponents of the two primes are chosen independently and uniformly. The chain $a_1 \mid a_2 \mid a_3$ holds exactly when $x_1 \le x_2 \le x_3$ and $y_1 \le y_2 \le y_3.$

Non-decreasing triples from a set of $k$ values correspond to multisets of size $3,$ counted by $\binom{k+2}{3}.$ So the probability is $\begin{aligned} \frac{\binom{21}{3}}{19^3} \cdot \frac{\binom{12}{3}}{10^3} &= \frac{1330}{6859} \cdot \frac{220}{1000} \\ &= \frac{70}{361} \cdot \frac{11}{50} \\ &= \frac{77}{1805}. \end{aligned}$

Since $1805 = 5 \cdot 19^2$ shares no factor with $77 = 7 \cdot 11,$ the fraction is in lowest terms and $m = 77.$

2020 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años