Soluciones del 2020 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En el $\triangle ABC$ con $AB = AC,$ el punto $D$ está estrictamente entre $A$ y $C$ sobre el lado $\overline{AC},$ y el punto $E$ está estrictamente entre $A$ y $B$ sobre el lado $\overline{AB}$ de modo que $AE = ED = DB = BC.$ La medida en grados de $\angle ABC$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

In $\triangle ABC$ with $AB = AC,$ point $D$ lies strictly between $A$ and $C$ on side $\overline{AC},$ and point $E$ lies strictly between $A$ and $B$ on side $\overline{AB}$ such that $AE = ED = DB = BC.$ The degree measure of $\angle ABC$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sea $\angle BAC = \alpha$ y persiga los ángulos a lo largo de la cadena de triángulos isósceles $AED,$ $EDB,$ y $DBC.$

Let $\angle BAC = \alpha$ and chase angles along the chain of isosceles triangles $AED,$ $EDB,$ and $DBC.$

Pista grande:

El ángulo exterior da $\angle DEB = 2\alpha;$ luego los tres ángulos en $D$ a lo largo de $\overline{AC}$ obligan a $\angle BDC = 3\alpha = \angle BCD.$

The exterior angle gives $\angle DEB = 2\alpha;$ then the three angles at $D$ along $\overline{AC}$ force $\angle BDC = 3\alpha = \angle BCD.$

Solución:

Sea $\angle BAC = \alpha.$ Como $AE = ED,$ el triángulo $AED$ es isósceles con $\angle ADE = \angle DAE = \alpha,$ así que el ángulo exterior en $E$ da $\angle DEB = 2\alpha.$ Como $ED = DB,$ el triángulo $EDB$ cumple $\angle DBE = \angle DEB = 2\alpha,$ por lo que $\angle EDB = 180^\circ - 4\alpha.$

Los tres ángulos en $D$ sobre el segmento $\overline{AC}$ suman un ángulo llano: $\alpha + (180^\circ - 4\alpha)$ $+ \angle BDC = 180^\circ,$ así que $\angle BDC = 3\alpha.$ Como $DB = BC,$ también $\angle BCD = \angle BDC = 3\alpha.$ Pero $AB = AC$ hace que $\angle ABC = \angle ACB = 3\alpha,$ de modo que la suma de ángulos del $\triangle ABC$ da $\alpha + 3\alpha + 3\alpha = 180^\circ,$ por lo que $\alpha = \frac{180}{7}$ grados.

Entonces $\angle ABC = 3\alpha = \frac{540}{7}$ grados, y $m + n = 540 + 7 = 547.$

Let $\angle BAC = \alpha.$ Since $AE = ED,$ triangle $AED$ is isosceles with $\angle ADE = \angle DAE = \alpha,$ so the exterior angle at $E$ gives $\angle DEB = 2\alpha.$ Since $ED = DB,$ triangle $EDB$ has $\angle DBE = \angle DEB = 2\alpha,$ hence $\angle EDB = 180^\circ - 4\alpha.$

The three angles at $D$ on segment $\overline{AC}$ sum to a straight angle: $\alpha + (180^\circ - 4\alpha)$ $+ \angle BDC = 180^\circ,$ so $\angle BDC = 3\alpha.$ Since $DB = BC,$ also $\angle BCD = \angle BDC = 3\alpha.$ But $AB = AC$ makes $\angle ABC = \angle ACB = 3\alpha,$ so the angle sum of $\triangle ABC$ gives $\alpha + 3\alpha + 3\alpha = 180^\circ,$ hence $\alpha = \frac{180}{7}$ degrees.

Then $\angle ABC = 3\alpha = \frac{540}{7}$ degrees, and $m + n = 540 + 7 = 547.$

2.

Existe un único número real positivo $x$ tal que los tres números $\log_8(2x),$ $\log_4 x,$ y $\log_2 x,$ en ese orden, forman una progresión geométrica con razón común positiva. El número $x$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

There is a unique positive real number $x$ such that the three numbers $\log_8(2x),$ $\log_4 x,$ and $\log_2 x,$ in that order, form a geometric progression with positive common ratio. The number $x$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Ponga $t = \log_2 x;$ los tres términos se convierten en $\frac{1+t}{3},$ $\frac{t}{2},$ y $t.$

Set $t = \log_2 x;$ the three terms become $\frac{1+t}{3},$ $\frac{t}{2},$ and $t.$

Pista grande:

El término central al cuadrado es igual al producto de sus vecinos; resuelva para $t,$ descartando $t = 0.$

The middle term squared equals the product of its neighbors; solve for $t,$ discarding $t = 0.$

Solución:

Sea $t = \log_2 x.$ Entonces $\log_4 x = \frac{t}{2}$ y $\log_8(2x) = \frac{1 + t}{3}.$ En una progresión geométrica el término central al cuadrado es igual al producto de los términos extremos: $\left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1 + t}{3} \cdot t.$

Como $t = 0$ no da una razón válida, divida entre $t:$ $\frac{t}{4} = \frac{1 + t}{3},$ así que $3t = 4 + 4t$ y $t = -4.$ Por lo tanto $x = 2^{-4} = \frac{1}{16},$ y la progresión es $-1,$ $-2,$ $-4$ con razón común $2,$ que es positiva como se requiere.

Por lo tanto $m + n = 1 + 16 = 17.$

Let $t = \log_2 x.$ Then $\log_4 x = \frac{t}{2}$ and $\log_8(2x) = \frac{1 + t}{3}.$ In a geometric progression the middle term squared equals the product of the outer terms: $\left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1 + t}{3} \cdot t.$

Since $t = 0$ gives no valid ratio, divide by $t:$ $\frac{t}{4} = \frac{1 + t}{3},$ so $3t = 4 + 4t$ and $t = -4.$ Thus $x = 2^{-4} = \frac{1}{16},$ and the progression is $-1,$ $-2,$ $-4$ with common ratio $2,$ which is positive as required.

Therefore $m + n = 1 + 16 = 17.$

3.

Un entero positivo $N$ tiene representación en base once $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ y representación en base ocho $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ representan dígitos (no necesariamente distintos). Halle el menor $N$ de este tipo expresado en base diez.

A positive integer $N$ has base-eleven representation $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ and base-eight representation $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ where $a,$ $b,$ and $c$ represent (not necessarily distinct) digits. Find the least such $N$ expressed in base ten.

Respuesta

Conceptos:base numérica dígitos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Iguale los valores en base diez: $121a + 11b + c$ $= 512 + 64b + 8c + a.$

Set the base-ten values equal: $121a + 11b + c$ $= 512 + 64b + 8c + a.$

Pista grande:

Simplifique a $120a = 512 + 53b + 7c$ con dígitos $a, b, c \le 7.$ El lado derecho obliga a $a \ge 5,$ y un menor $a$ produce un menor $N.$

Simplify to $120a = 512 + 53b + 7c$ with digits $a, b, c \le 7.$ The right side forces $a \ge 5,$ and smaller $a$ means smaller $N.$

Solución:

Igualar las dos representaciones en base diez da $121a + 11b + c$ $= 512 + 64b + 8c + a,$ lo que se simplifica a $120a = 512 + 53b + 7c.$ Todos $a,$ $b,$ $c$ son dígitos en base ocho, así que $0 \le a, b, c \le 7$ (y $a \ge 1$ ya que encabeza la representación en base once).

El lado derecho es al menos $512,$ así que $a \ge 5.$ Como $N = 121a + 11b + c$ crece con $a,$ pruebe $a = 5:$ entonces $53b + 7c = 88.$ Aquí $b = 0$ da $7c = 88,$ imposible, y $b \ge 2$ se pasa, así que $b = 1$ y $7c = 35,$ dando $c = 5.$

Por lo tanto $N = 121 \cdot 5 + 11 + 5 = 621,$ cuya representación en base ocho es $1155$ y en base once es $515,$ como se requiere. El menor $N$ de este tipo es $621.$

Equating the two representations in base ten gives $121a + 11b + c$ $= 512 + 64b + 8c + a,$ which simplifies to $120a = 512 + 53b + 7c.$ All of $a,$ $b,$ $c$ are base-eight digits, so $0 \le a, b, c \le 7$ (and $a \ge 1$ since it leads the base-eleven representation).

The right side is at least $512,$ so $a \ge 5.$ Since $N = 121a + 11b + c$ increases with $a,$ try $a = 5:$ then $53b + 7c = 88.$ Here $b = 0$ gives $7c = 88,$ impossible, and $b \ge 2$ overshoots, so $b = 1$ and $7c = 35,$ giving $c = 5.$

Thus $N = 121 \cdot 5 + 11 + 5 = 621,$ whose base-eight representation is $1155$ and base-eleven representation is $515,$ as required. The least such $N$ is $621.$

4.

Sea $S$ el conjunto de enteros positivos $N$ con la propiedad de que los últimos cuatro dígitos de $N$ son $2020,$ y cuando se eliminan los últimos cuatro dígitos, el resultado es un divisor de $N.$ Por ejemplo, $42{,}020$ está en $S$ porque $4$ es un divisor de $42{,}020.$ Halle la suma de todos los dígitos de todos los números en $S.$ Por ejemplo, el número $42{,}020$ aporta $4 + 2 + 0 + 2 + 0 = 8$ a este total.

Let $S$ be the set of positive integers $N$ with the property that the last four digits of $N$ are $2020,$ and when the last four digits are removed, the result is a divisor of $N.$ For example, $42{,}020$ is in $S$ because $4$ is a divisor of $42{,}020.$ Find the sum of all the digits of all the numbers in $S.$ For example, the number $42{,}020$ contributes $4 + 2 + 0 + 2 + 0 = 8$ to this total.

Respuesta

Conceptos:divisibilidad factor dígitos

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Escriba $N = 10000k + 2020;$ entonces $k$ divide a $N$ exactamente cuando $k$ divide a $2020.$

Write $N = 10000k + 2020;$ then $k$ divides $N$ exactly when $k$ divides $2020.$

Pista grande:

Cada uno de los $12$ divisores $k$ de $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ aporta la suma de dígitos de $k$ más $2 + 0 + 2 + 0.$

Each of the $12$ divisors $k$ of $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ contributes the digit sum of $k$ plus $2 + 0 + 2 + 0.$

Solución:

Si eliminar los últimos cuatro dígitos deja $k \ge 1,$ entonces $N = 10000k + 2020,$ y la condición de que $k$ divida a $N$ es equivalente a que $k$ divida a $2020.$ Como $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101,$ hay $12$ opciones de $k:$ $1,$ $2,$ $4,$ $5,$ $10,$ $20,$ $101,$ $202,$ $404,$ $505,$ $1010,$ $2020.$

Cada miembro de $S$ tiene una suma de dígitos igual a la suma de dígitos de $k$ más $2 + 0 + 2 + 0 = 4.$ Las sumas de dígitos de los doce divisores son $1, 2, 4, 5, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 2, 4,$ que totalizan $45.$

La respuesta es $45 + 12 \cdot 4 = 93.$

If removing the last four digits leaves $k \ge 1,$ then $N = 10000k + 2020,$ and the condition that $k$ divides $N$ is equivalent to $k$ dividing $2020.$ Since $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101,$ there are $12$ choices of $k:$ $1,$ $2,$ $4,$ $5,$ $10,$ $20,$ $101,$ $202,$ $404,$ $505,$ $1010,$ $2020.$

Each member of $S$ has digit sum equal to the digit sum of $k$ plus $2 + 0 + 2 + 0 = 4.$ The digit sums of the twelve divisors are $1, 2, 4, 5, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 2, 4,$ totaling $45.$

The answer is $45 + 12 \cdot 4 = 93.$

5.

Seis cartas numeradas del $1$ al $6$ se van a alinear en una fila. Halle el número de disposiciones de estas seis cartas en las que se puede retirar una de las cartas dejando las cinco cartas restantes en orden ascendente o descendente.

Six cards numbered $1$ through $6$ are to be lined up in a row. Find the number of arrangements of these six cards where one of the cards can be removed leaving the remaining five cards in either ascending or descending order.

Respuesta

Conceptos:permutaciones arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Cuente las disposiciones que se pueden convertir en orden ascendente: inserte una carta entre las otras cinco escritas en orden creciente. Cuidado con construir la misma disposición dos veces.

Count arrangements fixable to ascending order: insert one card into the other five written in increasing order. Beware of building the same arrangement twice.

Pista grande:

La fila ordenada surge de las $6$ inserciones, y cada intercambio de adyacentes surge dos veces. Ninguna disposición sirve tanto para ascendente como para descendente.

The sorted row arises from all $6$ insertions, and each adjacent swap arises twice. No arrangement works for both ascending and descending.

Solución:

Primero cuente las disposiciones de las que retirar alguna carta deja el resto en orden ascendente. Cualquier disposición así surge al elegir la carta a retirar ( $6$ formas) e insertarla en uno de los $6$ huecos de las otras cinco cartas escritas en orden creciente, lo que da $36$ construcciones. Pero la fila completamente ordenada $123456$ surge de las $6$ elecciones de carta, y cada una de las $5$ disposiciones obtenidas al intercambiar dos cartas adyacentes de la fila ordenada surge dos veces (hacer pasar cualquiera de las dos cartas del par al otro lado de la otra). Cualquier otra construcción da una disposición distinta.

Así que el conteo ascendente es $1 + 5 + (36 - 6 - 10) = 26,$ y por simetría hay $26$ disposiciones descendentes. Ninguna disposición se cuenta en ambos totales: eso requeriría una subsecuencia ascendente y una descendente de cinco cartas, necesitando al menos $5 + 5 - 1 = 9$ cartas.

El total es $26 + 26 = 52.$

First count arrangements from which some card’s removal leaves the rest ascending. Any such arrangement arises by choosing the card to remove ( $6$ ways) and inserting it into one of the $6$ gaps of the other five cards written in increasing order, for $36$ constructions. But the fully sorted row $123456$ arises from all $6$ card choices, and each of the $5$ arrangements obtained by swapping two adjacent cards of the sorted row arises twice (move either card of the pair past the other). Every other construction gives a distinct arrangement.

So the ascending count is $1 + 5 + (36 - 6 - 10) = 26,$ and by symmetry there are $26$ descending arrangements. No arrangement is counted in both totals: that would require an ascending and a descending subsequence of five cards, needing at least $5 + 5 - 1 = 9$ cards.

The total is $26 + 26 = 52.$

6.

Una tabla plana tiene un agujero circular de radio $1$ y un agujero circular de radio $2$ tales que la distancia entre los centros de los dos agujeros es $7.$ Dos esferas de radios iguales se asientan en los dos agujeros de modo que las esferas son tangentes entre sí. El cuadrado del radio de las esferas es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

A flat board has a circular hole with radius $1$ and a circular hole with radius $2$ such that the distance between the centers of the two holes is $7.$ Two spheres with equal radii sit in the two holes such that the spheres are tangent to each other. The square of the radius of the spheres is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:esfera Teorema de Pitágoras radical

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Una esfera de radio $r$ asentada en un agujero de radio $a$ tiene su centro a distancia $\sqrt{r^2 - a^2}$ del plano de la tabla.

A sphere of radius $r$ sitting in a hole of radius $a$ has its center at distance $\sqrt{r^2 - a^2}$ from the plane of the board.

Pista grande:

Los centros están a $2r$ de distancia: $49$ $+ \left(\sqrt{r^2 - 1} - \sqrt{r^2 - 4}\right)^2$ $= 4r^2.$ Aísle el radical y eleve al cuadrado.

The centers are $2r$ apart: $49$ $+ \left(\sqrt{r^2 - 1} - \sqrt{r^2 - 4}\right)^2$ $= 4r^2.$ Isolate the radical and square.

Solución:

Una esfera de radio $r$ apoyada en un agujero circular de radio $a$ tiene su centro sobre el eje del agujero; como el centro está a distancia $r$ de cada punto del borde del agujero, se sitúa a distancia $\sqrt{r^2 - a^2}$ del plano de la tabla. Así que los dos centros están a profundidades $\sqrt{r^2 - 1}$ y $\sqrt{r^2 - 4}$ del mismo lado de la tabla, con separación horizontal $7.$

La tangencia de las esferas significa que los centros están a $2r$ de distancia: $\begin{aligned} &49 + \left(\sqrt{r^2 - 1} - \sqrt{r^2 - 4}\right)^2 \\ &= 4r^2. \end{aligned}$ Al desarrollar se obtiene $49 + 2r^2 - 5$ $- 2\sqrt{(r^2 - 1)(r^2 - 4)}$ $= 4r^2,$ así que $\sqrt{(r^2 - 1)(r^2 - 4)} = 22 - r^2.$ Al elevar al cuadrado, $r^4 - 5r^2 + 4 = 484 - 44r^2 + r^4,$ por lo que $39r^2 = 480$ y $r^2 = \frac{160}{13}.$

Por lo tanto $m + n = 160 + 13 = 173.$

A sphere of radius $r$ resting in a circular hole of radius $a$ has its center on the axis of the hole; since the center is at distance $r$ from every point of the hole’s rim, it sits at distance $\sqrt{r^2 - a^2}$ from the plane of the board. So the two centers lie at depths $\sqrt{r^2 - 1}$ and $\sqrt{r^2 - 4}$ on the same side of the board, with horizontal separation $7.$

Tangency of the spheres means the centers are $2r$ apart: $\begin{aligned} &49 + \left(\sqrt{r^2 - 1} - \sqrt{r^2 - 4}\right)^2 \\ &= 4r^2. \end{aligned}$ Expanding gives $49 + 2r^2 - 5$ $- 2\sqrt{(r^2 - 1)(r^2 - 4)}$ $= 4r^2,$ so $\sqrt{(r^2 - 1)(r^2 - 4)} = 22 - r^2.$ Squaring, $r^4 - 5r^2 + 4 = 484 - 44r^2 + r^4,$ hence $39r^2 = 480$ and $r^2 = \frac{160}{13}.$

Thus $m + n = 160 + 13 = 173.$

7.

Un club formado por $11$ hombres y $12$ mujeres necesita elegir un comité de entre sus miembros de modo que el número de mujeres en el comité sea uno más que el número de hombres en el comité. El comité podría tener tan solo $1$ miembro o hasta $23$ miembros. Sea $N$ el número de tales comités que se pueden formar. Halle la suma de los números primos que dividen a $N.$

A club consisting of $11$ men and $12$ women needs to choose a committee from among its members so that the number of women on the committee is one more than the number of men on the committee. The committee could have as few as $1$ member or as many as $23$ members. Let $N$ be the number of such committees that can be formed. Find the sum of the prime numbers that divide $N.$

Respuesta

Conceptos:combinaciones Convolución de Vandermonde Fórmula de Legendre factorización en primos

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Con $k$ hombres y $k + 1$ mujeres el conteo es $\sum_k \binom{11}{k}\binom{12}{k+1}.$

With $k$ men and $k + 1$ women the count is $\sum_k \binom{11}{k}\binom{12}{k+1}.$

Pista grande:

Como $\binom{12}{k+1} = \binom{12}{11-k},$ la identidad de Vandermonde colapsa la suma a $\binom{23}{11}.$ Factorice ese coeficiente binomial en primos.

Since $\binom{12}{k+1} = \binom{12}{11-k},$ Vandermonde’s identity collapses the sum to $\binom{23}{11}.$ Factor that binomial coefficient into primes.

Solución:

Un comité con $k$ hombres tiene $k + 1$ mujeres, así que $\begin{aligned} N &= \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k}\binom{12}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k}\binom{12}{11-k} \\ &= \binom{23}{11} \end{aligned}$ por la identidad de Vandermonde (ambos lados cuentan las formas de elegir $11$ personas de las $23$ en total).

Ahora factorice $\binom{23}{11} = \frac{23!}{11!\,12!}.$ Los primos $13,$ $17,$ $19,$ $23$ aparecen cada uno en el numerador pero no en el denominador. Por la fórmula de Legendre el exponente de $2$ es $19 - 8 - 10 = 1,$ el de $3$ es $9 - 4 - 5 = 0,$ el de $5$ es $4 - 2 - 2 = 0,$ el de $7$ es $3 - 1 - 1 = 1,$ y el de $11$ es $2 - 1 - 1 = 0.$ Por lo tanto $N = 2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23.$

La suma de los primos que dividen a $N$ es $2 + 7 + 13 + 17 + 19 + 23 = 81.$

A committee with $k$ men has $k + 1$ women, so $\begin{aligned} N &= \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k}\binom{12}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k}\binom{12}{11-k} \\ &= \binom{23}{11} \end{aligned}$ by Vandermonde’s identity (both sides count ways to choose $11$ people from all $23$ ).

Now factor $\binom{23}{11} = \frac{23!}{11!\,12!}.$ The primes $13,$ $17,$ $19,$ $23$ each appear in the numerator but not the denominator. By Legendre’s formula the exponent of $2$ is $19 - 8 - 10 = 1,$ of $3$ is $9 - 4 - 5 = 0,$ of $5$ is $4 - 2 - 2 = 0,$ of $7$ is $3 - 1 - 1 = 1,$ and of $11$ is $2 - 1 - 1 = 0.$ Hence $N = 2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23.$

The sum of the primes dividing $N$ is $2 + 7 + 13 + 17 + 19 + 23 = 81.$

8.

Un insecto camina todo el día y duerme toda la noche. El primer día, parte del punto $O,$ mira hacia el este y camina una distancia de $5$ unidades hacia el este. Cada noche el insecto gira $60^\circ$ en sentido antihorario. Cada día camina en esta nueva dirección la mitad de lo que caminó el día anterior. El insecto se acerca arbitrariamente al punto $P.$ Entonces $OP^2 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

A bug walks all day and sleeps all night. On the first day, it starts at point $O,$ faces east, and walks a distance of $5$ units due east. Each night the bug rotates $60^\circ$ counterclockwise. Each day it walks in this new direction half as far as it walked the previous day. The bug gets arbitrarily close to point $P.$ Then $OP^2 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:número complejo sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Use números complejos: el desplazamiento total es $5\left(1 + z + z^2 + \cdots\right)$ con $z = \frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}.$

Use complex numbers: the total displacement is $5\left(1 + z + z^2 + \cdots\right)$ with $z = \frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}.$

Pista grande:

La serie suma $\frac{5}{1 - z};$ calcule $|1 - z|^2$ a partir de $z = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i.$

The series sums to $\frac{5}{1 - z};$ compute $|1 - z|^2$ from $z = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i.$

Solución:

Trabaje en el plano complejo con $O$ en el origen y el este a lo largo del eje real positivo. El desplazamiento de cada día es el anterior multiplicado por $z = \frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}},$ así que $\begin{aligned} P &= 5\left(1 + z + z^2 + \cdots\right) \\ &= \frac{5}{1 - z}. \end{aligned}$

Como $z = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i,$ obtenemos $1 - z = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i,$ cuya magnitud al cuadrado es $\frac{9}{16} + \frac{3}{16} = \frac{3}{4}.$ Por lo tanto $OP^2 = \frac{25}{\frac{3}{4}} = \frac{100}{3},$ y $m + n = 100 + 3 = 103.$

Work in the complex plane with $O$ at the origin and east along the positive real axis. Each day’s displacement is the previous one multiplied by $z = \frac{1}{2}e^{\frac{i\pi}{3}},$ so $\begin{aligned} P &= 5\left(1 + z + z^2 + \cdots\right) \\ &= \frac{5}{1 - z}. \end{aligned}$

Since $z = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i,$ we get $1 - z = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i,$ whose squared magnitude is $\frac{9}{16} + \frac{3}{16} = \frac{3}{4}.$ Therefore $OP^2 = \frac{25}{\frac{3}{4}} = \frac{100}{3},$ and $m + n = 100 + 3 = 103.$

9.

Sea $S$ el conjunto de divisores enteros positivos de $20^9.$ Se eligen tres números de forma independiente y al azar del conjunto $S$ y se etiquetan $a_1,$ $a_2,$ y $a_3$ en el orden en que se eligen. La probabilidad de que a la vez $a_1$ divida a $a_2$ y $a_2$ divida a $a_3$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m.$

Let $S$ be the set of positive integer divisors of $20^9.$ Three numbers are chosen independently and at random from the set $S$ and labeled $a_1,$ $a_2,$ and $a_3$ in the order they are chosen. The probability that both $a_1$ divides $a_2$ and $a_2$ divides $a_3$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m.$

Respuesta

Conceptos:factorización en primos probabilidad básica estrellas y barras

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Como $20^9 = 2^{18} \cdot 5^9,$ exigir que $a_1$ divida a $a_2$ y que $a_2$ divida a $a_3$ dice que los exponentes de cada primo forman una terna no decreciente.

Since $20^9 = 2^{18} \cdot 5^9,$ requiring $a_1$ to divide $a_2$ and $a_2$ to divide $a_3$ says each prime’s exponents form a non-decreasing triple.

Pista grande:

Las ternas no decrecientes son multiconjuntos: $\binom{21}{3}$ opciones para los exponentes de $2$ y $\binom{12}{3}$ para $5.$

Non-decreasing triples are multisets: $\binom{21}{3}$ choices for the exponents of $2$ and $\binom{12}{3}$ for $5.$

Solución:

Escriba $20^9 = 2^{18} \cdot 5^9,$ así que cada $a_i = 2^{x_i} 5^{y_i}$ con $0 \le x_i \le 18$ y $0 \le y_i \le 9;$ hay $19 \cdot 10 = 190$ divisores, y los exponentes de los dos primos se eligen de forma independiente y uniforme. Las condiciones de que $a_1$ divida a $a_2$ y de que $a_2$ divida a $a_3$ se cumplen exactamente cuando $x_1 \le x_2 \le x_3$ y $y_1 \le y_2 \le y_3.$

Las ternas no decrecientes de un conjunto de $k$ valores corresponden a multiconjuntos de tamaño $3,$ contados por $\binom{k+2}{3}.$ Así que la probabilidad es $\begin{aligned} \frac{\binom{21}{3}}{19^3} \cdot \frac{\binom{12}{3}}{10^3} &= \frac{1330}{6859} \cdot \frac{220}{1000} \\ &= \frac{70}{361} \cdot \frac{11}{50} \\ &= \frac{77}{1805}. \end{aligned}$

Como $1805 = 5 \cdot 19^2$ no comparte ningún factor con $77 = 7 \cdot 11,$ la fracción está en su forma más simple y $m = 77.$

Write $20^9 = 2^{18} \cdot 5^9,$ so each $a_i = 2^{x_i} 5^{y_i}$ with $0 \le x_i \le 18$ and $0 \le y_i \le 9;$ there are $19 \cdot 10 = 190$ divisors, and the exponents of the two primes are chosen independently and uniformly. The conditions that $a_1$ divides $a_2$ and $a_2$ divides $a_3$ hold exactly when $x_1 \le x_2 \le x_3$ and $y_1 \le y_2 \le y_3.$

Non-decreasing triples from a set of $k$ values correspond to multisets of size $3,$ counted by $\binom{k+2}{3}.$ So the probability is $\begin{aligned} \frac{\binom{21}{3}}{19^3} \cdot \frac{\binom{12}{3}}{10^3} &= \frac{1330}{6859} \cdot \frac{220}{1000} \\ &= \frac{70}{361} \cdot \frac{11}{50} \\ &= \frac{77}{1805}. \end{aligned}$

Since $1805 = 5 \cdot 19^2$ shares no factor with $77 = 7 \cdot 11,$ the fraction is in lowest terms and $m = 77.$

10.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos que satisfacen las condiciones

• $\gcd(m + n, 210) = 1,$

• $m^m$ es múltiplo de $n^n,$ y

• $m$ no es múltiplo de $n.$

Halle el menor valor posible de $m + n.$

Let $m$ and $n$ be positive integers satisfying the conditions

• $\gcd(m + n, 210) = 1,$

• $m^m$ is a multiple of $n^n,$ and

• $m$ is not a multiple of $n.$

Find the least possible value of $m + n.$

Respuesta

Conceptos:factorización en primos divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Todo primo que divide a $n$ debe dividir a $m,$ por lo que divide a $m + n$ : así que todos los factores primos de $n$ son al menos $11.$

Every prime dividing $n$ must divide $m,$ hence divides $m + n$ — so all prime factors of $n$ are at least $11.$

Pista grande:

Pruebe $n = 11^2$ y $m = 11t$ con $t$ no divisible por $11;$ entonces que $n^n$ divida a $m^m$ necesita $m \ge 242.$ Explore hacia arriba buscando $\gcd(m + n, 210) = 1,$ y luego use la cota superior resultante para descartar exponentes deficientes más altos y valores mayores de $n.$

Try $n = 11^2$ and $m = 11t$ with $t$ not divisible by $11;$ then $n^n$ dividing $m^m$ needs $m \ge 242.$ Scan upward for $\gcd(m + n, 210) = 1,$ then use the resulting upper bound to rule out larger deficient exponents and larger $n.$

Solución:

Si un primo $p$ divide a $n,$ entonces $p$ divide a $n^n,$ que a su vez divide a $m^m,$ así que $p$ divide a $m$ y por lo tanto $p$ divide a $m + n.$ Como $\gcd(m + n, 210) = 1,$ ningún factor primo de $n$ es $2,$ $3,$ $5,$ o $7:$ todo factor primo de $n$ es al menos $11.$ Como $m$ no es múltiplo de $n,$ algún primo $p$ cumple $b = v_p(m) \lt a = v_p(n),$ donde $v_p$ denota el exponente de $p.$ Como $n^n$ divide a $m^m,$ comparar los exponentes de $p$ da $bm \ge an,$ así que $m \ge \frac{a}{b}n.$ En particular $a \ge 2,$ así que $p^2$ divide a $n$ y $n \ge 11^2 = 121.$

Tome $n = 121$ con $p = 11,$ $a = 2,$ $b = 1:$ entonces $m$ es múltiplo de $11$ pero no de $121,$ y $m \ge 2 \cdot 121 = 242.$ Los candidatos $m = 253, 264, 275$ dan $m + n = 374 = 2 \cdot 11 \cdot 17,$ $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11,$ $396 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11,$ todos compartiendo un factor con $210,$ mientras que $m = 242 = 2 \cdot 11^2$ es múltiplo de $121.$ Pero $m = 286 = 2 \cdot 11 \cdot 13$ funciona: $v_{11}(m^m) = 286$ $\ge 242 = v_{11}(n^n),$ así que $n^n$ divide a $m^m,$ y $m + n = 407 = 11 \cdot 37$ es coprimo con $210.$

Falta demostrar que nada menor funciona. Suponga que $m + n \lt 407.$ Entonces $n \lt 407.$ Para el primo deficiente anterior, $a \ge 3$ implicaría $n \ge 11^3 \gt 407,$ así que $a = 2$ y $b = 1.$ Por ello $m \ge 2n,$ y $m + n \lt 407$ implica $n \le 135.$ El único entero en este intervalo divisible por el cuadrado de un primo al menos $11$ , sin factores primos menores que $11,$ es $n = 121.$ La comprobación anterior agota todos los valores posibles de $m$ para este $n$ menores que $286,$ así que el menor valor posible es $407.$

If a prime $p$ divides $n,$ then $p$ divides $n^n,$ which in turn divides $m^m,$ so $p$ divides $m$ and hence $p$ divides $m + n.$ Since $\gcd(m + n, 210) = 1,$ no prime factor of $n$ is $2,$ $3,$ $5,$ or $7:$ every prime factor of $n$ is at least $11.$ Because $m$ is not a multiple of $n,$ some prime $p$ has $b = v_p(m) \lt a = v_p(n),$ where $v_p$ denotes the exponent of $p.$ Since $n^n$ divides $m^m,$ comparing exponents of $p$ gives $bm \ge an,$ so $m \ge \frac{a}{b}n.$ In particular $a \ge 2,$ so $p^2$ divides $n$ and $n \ge 11^2 = 121.$

Take $n = 121$ with $p = 11,$ $a = 2,$ $b = 1:$ then $m$ is a multiple of $11$ but not of $121,$ and $m \ge 2 \cdot 121 = 242.$ The candidates $m = 253, 264, 275$ give $m + n = 374 = 2 \cdot 11 \cdot 17,$ $385 = 5 \cdot 7 \cdot 11,$ $396 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11,$ all sharing a factor with $210,$ while $m = 242 = 2 \cdot 11^2$ is a multiple of $121.$ But $m = 286 = 2 \cdot 11 \cdot 13$ works: $v_{11}(m^m) = 286$ $\ge 242 = v_{11}(n^n),$ so $n^n$ divides $m^m,$ and $m + n = 407 = 11 \cdot 37$ is coprime to $210.$

It remains to prove that nothing smaller works. Suppose $m + n \lt 407.$ Then $n \lt 407.$ For the deficient prime above, $a \ge 3$ would imply $n \ge 11^3 \gt 407,$ so $a = 2$ and $b = 1.$ Thus $m \ge 2n,$ and $m + n \lt 407$ implies $n \le 135.$ The only integer in this range divisible by the square of a prime at least $11$ , with no prime factors below $11,$ is $n = 121.$ The preceding check exhausts every possible $m$ for this $n$ below $286,$ so the least possible value is $407.$

11.

Para enteros $a,$ $b,$ $c,$ y $d,$ sean $f(x) = x^2 + ax + b$ y $g(x) = x^2 + cx + d.$ Halle el número de ternas ordenadas $(a, b, c)$ de enteros con valores absolutos que no exceden $10$ para las cuales existe un entero $d$ tal que $g(f(2)) = g(f(4)) = 0.$

For integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ let $f(x) = x^2 + ax + b$ and $g(x) = x^2 + cx + d.$ Find the number of ordered triples $(a, b, c)$ of integers with absolute values not exceeding $10$ for which there is an integer $d$ such that $g(f(2)) = g(f(4)) = 0.$

Respuesta

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

$f(2)$ y $f(4)$ deben ser raíces de $g.$ Trate $f(2) = f(4)$ y $f(2) \ne f(4)$ por separado.

$f(2)$ and $f(4)$ must both be roots of $g.$ Treat $f(2) = f(4)$ and $f(2) \ne f(4)$ separately.

Pista grande:

$f(2) = f(4)$ obliga a $a = -6$ con $b, c$ libres; en caso contrario Vieta fija $c = -(20 + 6a + 2b),$ que debe estar en $[-10, 10].$

$f(2) = f(4)$ forces $a = -6$ with $b, c$ free; otherwise Vieta pins $c = -(20 + 6a + 2b),$ which must lie in $[-10, 10].$

Solución:

La condición dice que los enteros $f(2) = 4 + 2a + b$ y $f(4) = 16 + 4a + b$ son ambos raíces de la cuadrática mónica $g.$ Estos dos valores son iguales exactamente cuando $a = -6.$

Si $a = -6,$ entonces para cualquier $b$ y cualquier $c$ la elección $d = -f(2)^2 - c\,f(2)$ hace que $f(2) = f(4)$ sea raíz de $g,$ dando $21 \cdot 21 = 441$ ternas. Si $a \ne -6,$ los dos valores distintos deben ser las dos raíces de $g,$ así que Vieta obliga a $c = -(f(2) + f(4))$ $= -(20 + 6a + 2b),$ y entonces $d = f(2)f(4)$ es un entero. El requisito $|c| \le 10$ se convierte en $-15 \le 3a + b \le -5.$

Para cada $a,$ cuente los enteros $b \in [-10, 10]$ con $-15 - 3a \le b \le -5 - 3a:$ los conteos son $2, 5, 11, 11, 11, 11, 9, 6, 3$ para $a = -8,$ $-7,$ $-5,$ $-4,$ $-3,$ $-2,$ $-1,$ $0, 1$ respectivamente, y $0$ para todos los demás $a \ne -6,$ totalizando $69.$ La respuesta es $441 + 69 = 510.$

The condition says the integers $f(2) = 4 + 2a + b$ and $f(4) = 16 + 4a + b$ are both roots of the monic quadratic $g.$ These two values are equal exactly when $a = -6.$

If $a = -6,$ then for any $b$ and any $c$ the choice $d = -f(2)^2 - c\,f(2)$ makes $f(2) = f(4)$ a root of $g,$ giving $21 \cdot 21 = 441$ triples. If $a \ne -6,$ the two distinct values must be the two roots of $g,$ so Vieta forces $c = -(f(2) + f(4))$ $= -(20 + 6a + 2b),$ and then $d = f(2)f(4)$ is an integer. The requirement $|c| \le 10$ becomes $-15 \le 3a + b \le -5.$

For each $a,$ count integers $b \in [-10, 10]$ with $-15 - 3a \le b \le -5 - 3a:$ the counts are $2, 5, 11, 11, 11, 11, 9, 6, 3$ for $a = -8,$ $-7,$ $-5,$ $-4,$ $-3,$ $-2,$ $-1,$ $0, 1$ respectively, and $0$ for all other $a \ne -6,$ totaling $69.$ The answer is $441 + 69 = 510.$

12.

Sea $n$ el menor entero positivo para el cual $149^n - 2^n$ es divisible por $3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7.$ Halle el número de divisores positivos de $n.$

Let $n$ be the least positive integer for which $149^n - 2^n$ is divisible by $3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7.$ Find the number of positive divisors of $n.$

Respuesta

Conceptos:factorización en primos orden multiplicativo conteo de factores

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Trate $3^3,$ $5^5,$ $7^7$ por separado. Como $149 - 2 = 147 = 3 \cdot 7^2,$ el levantamiento del exponente se aplica directamente en $3$ y $7.$

Handle $3^3,$ $5^5,$ $7^7$ separately. Since $149 - 2 = 147 = 3 \cdot 7^2,$ lifting the exponent applies directly at $3$ and $7.$

Pista grande:

En $5,$ primero $4^n \equiv 2^n \pmod 5$ requiere que $4$ divida a $n.$ Luego $v_5(149^4 - 2^4) = 1,$ así que el levantamiento del exponente obliga a que $5^4$ divida a $\frac{n}{4}.$

At $5,$ first $4^n \equiv 2^n \pmod 5$ requires $4$ to divide $n.$ Then $v_5(149^4 - 2^4) = 1,$ so lifting the exponent forces $5^4$ to divide $\frac{n}{4}.$

Solución:

Trabaje primo por primo. Como $149 - 2 = 147 = 3 \cdot 7^2,$ el lema del levantamiento del exponente da $v_3(149^n - 2^n)$ $= v_3(147) + v_3(n)$ $= 1 + v_3(n)$ y $v_7(149^n - 2^n) = 2 + v_7(n)$ para todo entero positivo $n.$ Exigir al menos $3$ y $7$ obliga a que $n$ sea divisible por $3^2$ y por $7^5.$

Para $5$ primero necesitamos $149^n \equiv 2^n \pmod 5,$ es decir $4^n \equiv 2^n,$ es decir $2^n \equiv 1 \pmod 5,$ lo que requiere que $4$ divida a $n.$ Escriba $n = 4k.$ En $149^4 - 2^4$ $= (149 - 2)(149 + 2)(149^2 + 4),$ solo el último factor es divisible por $5,$ y solo una vez, ya que $149^2 + 4 = 22205 = 5 \cdot 4441.$ El levantamiento del exponente desde las bases $149^4, 2^4$ da $v_5(149^n - 2^n) = 1 + v_5(k),$ así que $5^4$ divide a $k,$ es decir $4 \cdot 5^4$ divide a $n.$

El menor $n$ válido es $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^5,$ que tiene $(2+1)(2+1)(4+1)(5+1)$ $= 270$ divisores positivos.

Work prime by prime. Since $149 - 2 = 147 = 3 \cdot 7^2,$ the lifting-the-exponent lemma gives $v_3(149^n - 2^n)$ $= v_3(147) + v_3(n)$ $= 1 + v_3(n)$ and $v_7(149^n - 2^n) = 2 + v_7(n)$ for every positive integer $n.$ Requiring at least $3$ and $7$ forces $n$ to be divisible by $3^2$ and by $7^5.$

For $5$ we first need $149^n \equiv 2^n \pmod 5,$ i.e. $4^n \equiv 2^n,$ i.e. $2^n \equiv 1 \pmod 5,$ which requires $4$ to divide $n.$ Write $n = 4k.$ In $149^4 - 2^4$ $= (149 - 2)(149 + 2)(149^2 + 4),$ only the last factor is divisible by $5,$ and only once, since $149^2 + 4 = 22205 = 5 \cdot 4441.$ Lifting the exponent from the base $149^4, 2^4$ gives $v_5(149^n - 2^n) = 1 + v_5(k),$ so $5^4$ divides $k,$ i.e. $4 \cdot 5^4$ divides $n.$

The least valid $n$ is $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^5,$ which has $(2+1)(2+1)(4+1)(5+1)$ $= 270$ positive divisors.

13.

El punto $D$ está en el lado $\overline{BC}$ del $\triangle ABC$ de modo que $\overline{AD}$ biseca $\angle BAC.$ La mediatriz de $\overline{AD}$ corta a las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ en los puntos $E$ y $F,$ respectivamente. Dado que $AB = 4,$ $BC = 5,$ y $CA = 6,$ el área del $\triangle AEF$ puede escribirse como $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ donde $m$ y $p$ son enteros positivos primos entre sí, y $n$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n + p.$

Point $D$ lies on side $\overline{BC}$ of $\triangle ABC$ so that $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ The perpendicular bisector of $\overline{AD}$ intersects the bisectors of $\angle ABC$ and $\angle ACB$ in points $E$ and $F,$ respectively. Given that $AB = 4,$ $BC = 5,$ and $CA = 6,$ the area of $\triangle AEF$ can be written as $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ where $m$ and $p$ are relatively prime positive integers, and $n$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:bisectriz ángulo inscrito trigonometría

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

En el triángulo $ABD,$ la bisectriz desde $B$ corta a la mediatriz de $AD$ en el punto medio del arco $AD,$ así que $\angle EAD = \frac{B}{2};$ de forma similar $\angle FAD = \frac{C}{2}.$

In triangle $ABD,$ the bisector from $B$ meets the perpendicular bisector of $AD$ at the arc midpoint of $AD,$ so $\angle EAD = \frac{B}{2};$ similarly $\angle FAD = \frac{C}{2}.$

Pista grande:

Con $M$ el punto medio de $\overline{AD},$ el área es $\frac{1}{2}AM^2\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right),$ y $AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC.$

With $M$ the midpoint of $\overline{AD},$ the area is $\frac{1}{2}AM^2\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right),$ and $AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC.$

Solución:

En el triángulo $ABD,$ la bisectriz interna del ángulo en $B$ vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita de $ABD$ en el punto medio del arco $AD$ que no contiene a $B,$ y ese punto medio del arco está en la mediatriz de $\overline{AD}$ , así que $E$ es exactamente ese punto medio del arco. Los ángulos inscritos $\angle EAD$ y $\angle EBD$ subtienden el mismo arco $ED,$ así que $\angle EAD = \frac{B}{2}.$ De forma similar $\angle FAD = \frac{C}{2},$ y $E, F$ están en lados opuestos de la recta $AD.$

Sea $M$ el punto medio de $\overline{AD}.$ En los triángulos rectángulos $AME$ y $AMF,$ $ME = AM\tan\frac{B}{2}$ y $MF = AM\tan\frac{C}{2},$ así que $EF = AM\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right),$ mientras que la distancia de $A$ a la recta $EF$ es $AM.$ Por lo tanto $[AEF]$ $= \frac{1}{2}AM^2\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right).$

Aquí $BD = 2$ y $DC = 3,$ así que $AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$ $= 24 - 6$ $= 18$ y $AM^2 = \frac{9}{2}.$ La ley de los cosenos da $\cos B = \frac{1}{8}$ y $\cos C = \frac{3}{4},$ así que $\tan\frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{8}}{1 + \frac{1}{8}}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ y $\tan\frac{C}{2} = \frac{1}{\sqrt{7}},$ con suma $\frac{10\sqrt{7}}{21}.$ El área es $\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{10\sqrt{7}}{21} = \frac{15\sqrt{7}}{14},$ así que $m + n + p = 15 + 7 + 14 = 36.$

In triangle $ABD,$ the internal bisector of the angle at $B$ meets the circumcircle of $ABD$ again at the midpoint of arc $AD$ not containing $B,$ and that arc midpoint lies on the perpendicular bisector of $\overline{AD}$ — so $E$ is exactly that arc midpoint. The inscribed angles $\angle EAD$ and $\angle EBD$ subtend the same arc $ED,$ so $\angle EAD = \frac{B}{2}.$ Similarly $\angle FAD = \frac{C}{2},$ and $E, F$ lie on opposite sides of line $AD.$

Let $M$ be the midpoint of $\overline{AD}.$ In right triangles $AME$ and $AMF,$ $ME = AM\tan\frac{B}{2}$ and $MF = AM\tan\frac{C}{2},$ so $EF = AM\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right),$ while the distance from $A$ to line $EF$ is $AM.$ Hence $[AEF]$ $= \frac{1}{2}AM^2\left(\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}\right).$

Here $BD = 2$ and $DC = 3,$ so $AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$ $= 24 - 6$ $= 18$ and $AM^2 = \frac{9}{2}.$ The law of cosines gives $\cos B = \frac{1}{8}$ and $\cos C = \frac{3}{4},$ so $\tan\frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{8}}{1 + \frac{1}{8}}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ and $\tan\frac{C}{2} = \frac{1}{\sqrt{7}},$ with sum $\frac{10\sqrt{7}}{21}.$ The area is $\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{10\sqrt{7}}{21} = \frac{15\sqrt{7}}{14},$ so $m + n + p = 15 + 7 + 14 = 36.$

14.

Sea $P(x)$ un polinomio cuadrático con coeficientes complejos cuyo coeficiente de $x^2$ es $1.$ Suponga que la ecuación $P(P(x)) = 0$ tiene cuatro soluciones distintas, $x = 3,$ $4,$ $a,$ $b.$ Halle la suma de todos los valores posibles de $(a + b)^2.$

Let $P(x)$ be a quadratic polynomial with complex coefficients whose $x^2$ coefficient is $1.$ Suppose the equation $P(P(x)) = 0$ has four distinct solutions, $x = 3,$ $4,$ $a,$ $b.$ Find the sum of all possible values of $(a + b)^2.$

Respuesta

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta número complejo análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Las cuatro raíces se dividen en los pares de soluciones de $P(x) = r_1$ y $P(x) = r_2,$ donde $r_1, r_2$ son las raíces de $P.$ Cada par de soluciones tiene la misma suma.

The four roots split into the solution pairs of $P(x) = r_1$ and $P(x) = r_2,$ where $r_1, r_2$ are the roots of $P.$ Each pair of solutions has the same sum.

Pista grande:

Si $3$ y $4$ están en pares distintos, ponga $3 + a = 4 + b = s.$ Entonces $P(3)$ y $P(4)$ son las dos raíces de $P,$ así que su suma es $s$ y su producto es el término constante.

If $3$ and $4$ lie in different pairs, set $3 + a = 4 + b = s.$ Then $P(3)$ and $P(4)$ are the two roots of $P,$ so their sum is $s$ and their product is the constant term.

Solución:

Escriba $P(x) = x^2 + px + q$ con raíces $r_1$ y $r_2.$ Las soluciones de $P(P(x)) = 0$ se dividen en las dos soluciones de $P(x) = r_1$ y las dos de $P(x) = r_2,$ y cada par suma $-p.$

Si $3$ y $4$ forman un par, entonces $a + b = -p = 3 + 4 = 7,$ así que $(a + b)^2 = 49.$ Esto es alcanzable: $P(x) = (x - 3)(x - 4) + r_1$ con $r_1$ satisfaciendo $r_1^2 - 6r_1 + 12 = 0,$ que tiene soluciones complejas, y las cuatro raíces son distintas.

En caso contrario $3$ y $4$ están en pares distintos: $3 + a = 4 + b = -p = s,$ y $\{P(3), P(4)\} = \{r_1, r_2\}.$ La suma de raíces da $P(3) + P(4) = 25 + 7p + 2q$ $= s,$ así que con $p = -s$ obtenemos $q = 4s - \frac{25}{2},$ y entonces $P(3) = s - \frac{7}{2}$ y $P(4) = \frac{7}{2}.$ El producto de raíces da $\frac{7}{2}\left(s - \frac{7}{2}\right) = q = 4s - \frac{25}{2},$ cuya solución es $s = \frac{1}{2}.$ Entonces $a + b = (s - 3) + (s - 4) = -6,$ así que $(a + b)^2 = 36,$ siendo $a = -\frac{5}{2}$ y $b = -\frac{7}{2}$ distintos entre sí y de $3$ y $4.$ La suma de todos los valores posibles es $49 + 36 = 85.$

Write $P(x) = x^2 + px + q$ with roots $r_1$ and $r_2.$ The solutions of $P(P(x)) = 0$ split into the two solutions of $P(x) = r_1$ and the two of $P(x) = r_2,$ and each pair sums to $-p.$

If $3$ and $4$ form one pair, then $a + b = -p = 3 + 4 = 7,$ so $(a + b)^2 = 49.$ This is achievable: $P(x) = (x - 3)(x - 4) + r_1$ with $r_1$ satisfying $r_1^2 - 6r_1 + 12 = 0,$ which has (complex) solutions, and the four roots are distinct.

Otherwise $3$ and $4$ lie in different pairs: $3 + a = 4 + b = -p = s,$ and $\{P(3), P(4)\} = \{r_1, r_2\}.$ The root sum gives $P(3) + P(4) = 25 + 7p + 2q$ $= s,$ so with $p = -s$ we get $q = 4s - \frac{25}{2},$ and then $P(3) = s - \frac{7}{2}$ and $P(4) = \frac{7}{2}.$ The root product gives $\frac{7}{2}\left(s - \frac{7}{2}\right) = q = 4s - \frac{25}{2},$ whose solution is $s = \frac{1}{2}.$ Then $a + b = (s - 3) + (s - 4) = -6,$ so $(a + b)^2 = 36,$ with $a = -\frac{5}{2},$ $b = -\frac{7}{2}$ all distinct from $3$ and $4.$ The sum of all possible values is $49 + 36 = 85.$

15.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y ortocentro $H.$ Suponga que la tangente a la circunferencia circunscrita del $\triangle HBC$ en $H$ corta a $\omega$ en los puntos $X$ y $Y$ con $HA = 3,$ $HX = 2,$ y $HY = 6.$ El área del $\triangle ABC$ puede escribirse como $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

Let $\triangle ABC$ be an acute triangle with circumcircle $\omega$ and orthocenter $H.$ Suppose the tangent to the circumcircle of $\triangle HBC$ at $H$ intersects $\omega$ at points $X$ and $Y$ with $HA = 3,$ $HX = 2,$ and $HY = 6.$ The area of $\triangle ABC$ can be written as $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio transformación vector

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

La circunferencia circunscrita de $HBC$ es la reflexión de $\omega$ respecto de $BC.$ Con el circuncentro $O$ en el origen, su centro es $B + C = H - A,$ así que la recta $XY$ es perpendicular a $OA.$

The circumcircle of $HBC$ is the reflection of $\omega$ over $BC.$ With circumcenter $O$ at the origin its center is $B + C = H - A,$ so line $XY$ is perpendicular to $OA.$

Pista grande:

Ponga $A = (0, R)$ para que $XY$ sea horizontal. Entonces la semicuerda es $4,$ $H$ está a $2$ del punto medio de la cuerda, y $HA = 3$ da $R - h = \sqrt{5},$ determinando $R.$

Put $A = (0, R)$ so $XY$ is horizontal. Then the half-chord is $4,$ $H$ is $2$ from the chord’s midpoint, and $HA = 3$ gives $R - h = \sqrt{5},$ determining $R.$

Solución:

Reflejar $H$ respecto de la recta $BC$ cae sobre $\omega,$ así que la circunferencia circunscrita de $HBC$ es la reflexión de $\omega$ respecto de $BC.$ Tome el circuncentro $O$ como el origen, de modo que $H = A + B + C$ como vectores. Si $M$ es el punto medio de $\overline{BC},$ entonces $OM \perp BC,$ así que el centro reflejado es $2M - O = B + C = H - A.$ La tangencia en $H$ significa que $XY$ es perpendicular al radio de $B + C$ a $H,$ que es el vector $A:$ la cuerda $XY$ es perpendicular a $OA.$

Coloque $A = (0, R)$ de modo que $XY$ sea horizontal a altura $h,$ con $H = (x_0, h).$ La longitud de la semicuerda es $\sqrt{R^2 - h^2},$ y $HX = 2,$ $HY = 6$ dan $\sqrt{R^2 - h^2} = 4$ con $|x_0| = 2.$ De $HA = 3:$ $4 + (R - h)^2 = 9,$ así que $R - h = \sqrt{5}.$ Entonces $\begin{aligned} 16 &= R^2 - h^2 \\ &= (R - h)(R + h) \\ &= \sqrt{5}\left(2R - \sqrt{5}\right), \end{aligned}$ dando $R = \frac{21}{2\sqrt{5}}.$

Ahora $B + C = H - A = (\pm 2, -\sqrt{5}),$ así que $M = \left(\pm 1, -\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ y $OM = \frac{3}{2},$ de donde $BC = 2\sqrt{R^2 - \frac{9}{4}} = 2\sqrt{\frac{99}{5}}.$ La distancia de $A$ a la recta $BC$ (que pasa por $M,$ perpendicular a $OM$ ) es $\frac{|A \cdot M - OM^2|}{OM} = \frac{\frac{21}{4} + \frac{9}{4}}{\frac{3}{2}} = 5,$ usando $A \cdot M = -\frac{\sqrt{5}R}{2} = -\frac{21}{4}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} [ABC] &= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{99}{5}} \cdot 5 \\ &= \sqrt{495} \\ &= 3\sqrt{55}, \end{aligned}$ y $m + n = 3 + 55 = 58.$

Reflecting $H$ over line $BC$ lands on $\omega,$ so the circumcircle of $HBC$ is the reflection of $\omega$ over $BC.$ Take the circumcenter $O$ as the origin, so that $H = A + B + C$ as vectors. If $M$ is the midpoint of $\overline{BC},$ then $OM \perp BC,$ so the reflected center is $2M - O = B + C = H - A.$ Tangency at $H$ means $XY$ is perpendicular to the radius from $B + C$ to $H,$ which is the vector $A:$ the chord $XY$ is perpendicular to $OA.$

Place $A = (0, R)$ so that $XY$ is horizontal at height $h,$ with $H = (x_0, h).$ The half-chord length is $\sqrt{R^2 - h^2},$ and $HX = 2,$ $HY = 6$ give $\sqrt{R^2 - h^2} = 4$ with $|x_0| = 2.$ From $HA = 3:$ $4 + (R - h)^2 = 9,$ so $R - h = \sqrt{5}.$ Then $\begin{aligned} 16 &= R^2 - h^2 \\ &= (R - h)(R + h) \\ &= \sqrt{5}\left(2R - \sqrt{5}\right), \end{aligned}$ giving $R = \frac{21}{2\sqrt{5}}.$

Now $B + C = H - A = (\pm 2, -\sqrt{5}),$ so $M = \left(\pm 1, -\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ and $OM = \frac{3}{2},$ whence $BC = 2\sqrt{R^2 - \frac{9}{4}} = 2\sqrt{\frac{99}{5}}.$ The distance from $A$ to line $BC$ (through $M,$ perpendicular to $OM$ ) is $\frac{|A \cdot M - OM^2|}{OM} = \frac{\frac{21}{4} + \frac{9}{4}}{\frac{3}{2}} = 5,$ using $A \cdot M = -\frac{\sqrt{5}R}{2} = -\frac{21}{4}.$ Hence $\begin{aligned} [ABC] &= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{99}{5}} \cdot 5 \\ &= \sqrt{495} \\ &= 3\sqrt{55}, \end{aligned}$ and $m + n = 3 + 55 = 58.$